α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel

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1 Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst, sieh in deinen Heften nach und wiederhole es gründlich!) 1. Kreis und Kugel 1.1 Bogenmaß und Kreissektor Das Bogenmaß x ist das zu einem Mittelpunktswinkel α gehörende Bogenlänge b απ Verhältnis x =, also x = = Radius r 180 Wichtige Bogenmaße: α x π π π π π 3π 2π Für einen Kreissektor mit Radius r und Mittelpunktswinkel α gilt: Länge des Kreisbogens b = α 180 π r Flächeninhalt des Kreissektors A = 1.2 Kugel α π r² 360 Für eine Kugel mit Radius r gilt: Volumen V = 3 4 r³ π Oberflächeninhalt O = 4 r² π

2 2. Wichtige geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie 2.1 Definition Ist x/y) ein beliebiger Punkt auf dem Einheitskreis und α der Winkel zwischen positiver x-achse als erstem Schenkel und der Halbgeraden [OP als zweitem Schenkel, so legt man fest: sinα sin α = y ; cos α = x und tan α = cosα Für die Vorzeichen in den vier Quadranten gilt: I. II. III. IV. sinα cosα tanα Trigonometrische Funktionen: sin(x) cos(x) Die Sinusfunktions f(x) = sin x mit Df = R ist punktsymmetrisch zu (0/0). Die Kosinusfunktion f(x) = cos x mit Df = R ist achsensymmetrisch zu (0/0). Beide Funktionen haben die Periodenlänge 2π und den Wertebereich Wf = [-1;1]. Bei der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin[b (x+c)] + d mit a 0, b>0, x R 2π und Periode bewirkt: b a : Streckung oder Stauchung in y - Richtung b : Streckung oder Stauchung in x - Richtung c : Verschiebung nach rechts für c<0 oder nach links für c>0 d : Verschiebung nach oben für d>0 oder nach unten für d<0.

3 3. Die Exponentialfunktion Eine Funktion f :x a b a x mit a,b R, a>0, a 0, b 0 heißt eine Exponentialfunktion. Hierbei gibt: die Konstante b = f(0) den Anfangswert an. die Konstante a den Wachstumsfaktor an. Für a>1 liegt ein exponentielles Wachstum vor (z.b. beim Vermögenssparen). Für 0<a<1 liegt eine exponentielle Abnahme vor (z.b. radioaktiver Zerfall). Beispiele für Exponentialfunktionen: f(x)=2 x f(x)=10 -x =0,1 x f(x)=2 1,6x 4. Logarithmus Die eindeutige Lösung der Exponentialgleichung a x = b (a>0, a 1, b>0) heißt Logarithmus von b zur Basis a. Man schreibt: x = log a b z.b.: log 2 8 = 3, denn 2³ = 8 Beachte: Dem dezimalen Stellenwertsystem angepasst sind Logarithmen zur Basis 10. Man bezeichnet sie als Zehnerlogarithmen und schreibt kurz lg b = log 10 b. Es ist : log a 1 = 0, denn a 0 = 1 log a a = 1, denn a 1 = a Rechengesetze für Logarithmen: (mit u>0, v>0, a>0, a 1) (u v) = log a u + log a v (u:v) = log a u - log a v u x = x log a u lgu u = lg a

4 5. Exponential und Logarithmusgleichungen Exponentialgleichung logarithmieren Bsp. 5 x = 3 x+ 1 log 5 x = log 3 x+ 1 x log 5 = (x+1) log 3 x log5 - x log 3 = log 3 x (log5 log3) = log 3 log3 x = log5 log3 Logarithmusgleichung delogarithmieren Bsp. log(x+1) = 4 x + 1 = 10 4 x = x = Zusammengesetzte Zufallsexperimente 6.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit Sind A und B zwei Ereignisse eines Zufallsexperiment mit a) 0. Dann versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P ( A ) (B) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B unter der Bedingung des Eintretens von A. Es gilt : P ( A ) (B) = A B) A) Beispiel: In der Klasse 10 mit 25 Schülern sind von den 15 Jungen zwei Drittel Clubfans. Insgesamt sind 14 Club-Anhänger unter den Schülern. a, Erstelle eine Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten. b, Zeichne ein Baumdiagramm mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. c, Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist jemand kein Clubfan, auch wenn er Junge ist? d, Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Clubfan ein Mädchen? Lösung: a, J J

5 10/15 b, 15/25 10/25 J J 5/15 4/10 6/10 c, P J ( ) = J ) J ) = 5 1 = d, P ( J ) = J ) ) = 4 2 = Ganzrationale Funktionen 7.1 Definition Eine Funktion der Form f:x a a x n mit n N, a 0, D f = R bezeichnet man als Potenzfunktion vom Grad n. Der zugehörige Graph heißt Parabel. Beispiele: Gerade Exponenten Ungerade Exponenten Mit Hilfe von Potenzfunktionen und konstanten Funktion f:x a c (c R) lassen sich ganzrationale Funktionen bilden. Beispiele : f 1 : x a x² +2x + 1 f 2 : x a x³ - 4x² +x 7 allgemein f n : x a a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Ein Term der Form a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 mit a n 0 heißt Polynom vom Grad n; eine Funktion f n bezeichnet man als Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion n-ten Grades.

6 7.2 Eigenschaften ganzrationaler Funktionen (1) Nullstelle f(x 0 ) = 0 Schnittpunkt mit der x-achse f(x) = (x - x 0 ) g(x) Berechnung von g(x) mittels Polynomdivision (faktorisieren!) (2) Schnittpunkt mit der y-achse: f(0) berechnen! 1 (3) Grenzwerte im Unendlichen : Beachte : lim = 0; n N x n x (4) Parameter verändern den Funktionsgraphen (vgl. auch sin-funktion) g(x) = f(x) + b Verschiebung um b in y-richtung. g(x) = a f(x) mit a 0 Streckung (Stauchung) mit dem Faktor a in y-richtung. Falls a<0 zusätzlich Spiegelung an der x-achse. g(x) = f(x+d) Verschiebung um -d in x-richtung. g(x) = f(c x) mit c 0 Streckung (Stauchung) mit dem Faktor c 1 in x-richtung. Falls c<0 zusätzlich Spiegelung an der y-achse. 7.3 Symmetrieeigenschaften Achsensymmetrie bzgl. der y-achse Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs liegt vor, falls für alle x Df gilt: f(-x) = f(x) Beispiele: f(x) = x² + 4 f(-x) = (-x)² + 4 = x² + 4 = f(x) f(x) = x³ + 2x f(-x) = - f(x) f(-x) = (-x)³ + 2(-x) = -x³ - 2x = -(x³+2x) = -f(x)

7 7.4 Grenzwertverhalten im Unendlichen (x + bzw. x - ) Streben die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für x + gegen eine reelle Zahl a, so heißt die Zahl a der Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich. Schreibweise: lim f(x) = a x + Die Gerade y = a heißt die waagrechte Asymptote des Graphen von f