Die komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C.

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1 Die omplexen Zahlen und Salarprodute Kurze Wiederholung des Körpers der omplexen Zahlen C. Erinnerung an die Definition von exp, sin, cos als Potenzreihen C C Herleitung der Euler Formel Definition eines Salarprodutes Beispiele von Salarproduten e ix = cos x + i sin x für alle x R. Geometrische Bedeutung des Salarproduts (verallgemeinerter Winel) und die induzierte Norm. Damit die Cauchy Schwarz Ungleichung erläutern/wiederholen(ohne Beweis). Definition eines (omplexen) Hilbertraums H Beispiele von (endlich dimensionalen) Hilberträumen Definition von Projetionen P Definition des orthogonalen Komplements eines linearen Untervetorraumes W H. Beweisen Sie: Sei 0 ψ H ein festes Element. Sei ferner W = λ ψ λ C} der lineare Vetorraum aufgespannt durch w. Dann ist P : H W, definiert durch P(f) = f, ψ ψ eine Projetion und es gilt H = W W d. h. jedes f H lässt sich eindeutig darstellen als f = φ + φ 2 mit φ W, φ 2 W. Man ann W nun wieder in einen eindimensionalen Unterraum W 2 W und W 2 spalten und erhält und damit W = W 2 W 2, H = W W 2 W 2. Vermutung Man ann H in eindimensionale, paarweise orthogonale Unterräume aufteilen. (Kein Beweis!) Literatur: G. Fischer: Lineare Algebra (Kapitel 5), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 3, 8), H. Amann, J. Escher: Analysis (Kapitel II.3)

2 Definition der Fouriertransformation Kurze Wiederholung zu stetigen Funtionen f : I C, wobei I ein ompates Intervall ist. Definition von periodischen Funtionen, und die Definition der stetigen Funtionen f: R C, welche periodisch auf I sind, als C 0 per(i). Beweisen Sie: Stetige, periodische Funtionen f : R C sind beschränt. Beweisen Sie: Die Abbildung, : Cper(I) 0 Cper(I) 0 C ˆ f, g = f(x) g(x)dx I definiert ein Salarprodut auf C 0 per(i). Der Raum C 0 per(i) ist also ein Prähilbertraum (aber ein Hilbertraum), welche wir mit der vom Salarprodut induzierten Norm ausstatten. Im Folgenden wird mit I grundsätzlich I = [, π] gemeint. Man definiere für alle Z die Funtionen ψ : R C ψ (x) = exp(i x). Man definiere die N-te Partialsumme der Fourierreihe von f Cper(I) 0 als P N (f) : C C P N (f)(z) = f, ψ ψ (z). Die Fourieroeffizienten werden mit f() = f, ψ bezeichnet und die dadurch definierte Funtion F(f) : N C heißt Fouriertransformierte von f. Für f C 0 per(i) gilt (formal) F(f)() = f(). f = lim N P N(f). Beweisen Sie: Die Funtionen (ψ ) sind paarweise orthonormal, d.h. ψ, ψ l = δ l für alle, l Z. Also ann die Fourierreihenentwiclung auch als orthogonale Projetion auf die Funtionen (ψ ) Z gesehen werden, und damit als Darstellung der Funtion f bzgl. der Orthonormalbasis (ψ ) Z. Literatur O. Forster: Analysis (Kapitel 23), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 7,6), H. Amann, J. Escher: Analysis II (Kapitel VI.7)

3 Wohldefiniertheit und Konvergenz Formulieren und beweisen Sie: Die Bessel Ungleichung und die erläutern Sie diese anschaulich. Satz 7. in Analysis II von H. Amann, J. Escher. Formulieren und beweisen Sie: Das Lemma von Riemann Lebesgue: Ist f C per(i), so gilt für 0, dass f() = f, ψ = ˆ = i f(x)e ix dx I ˆ I f (x)e ix dx = i f (). Also f() = f () (0.) Folglich folgt mit der, in, gleichmäßigen Schrane f () f (x) dx, dass f() 0, falls oder. Beweisen Sie: Aus (0.) folgt P N (f) = f()ψ onvergiert absolut und gleichmäßig für N. Dazu bemere man, dass für zwei reelle Folgen (a ) Z, (b ) Z gilt a b = a N a N. a (N ) a N b N b N. b (N ) b N, wobei das Standardsalarprodut auf R 2N+ darstellt. Nach der, im ersten Vortrag vorgestellten, Cauchy Schwarz Ungleichung gilt somit Folglich, 0 a b a 2 b 2 = f () ( N 2, 0 2 a 2 ) 2 ( N, 0 Die Behauptung folgt nun mit der Bessel Ungleichung. b 2 ) 2 f () Literatur O. Forster: Analysis (Kapitel 23), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 6), H. Amann, J. Escher: Analysis II (Kapitel VI.7) 2 2

4 Es wird gezeigt, dass P N f f für N puntweise onvergiert, und nach dem vorigen Result, sogar gleichmäßig (unter der Annahme, dass f C 2 ). Beweis: Bemere, dass P N f(x) = f(t) Mit dem Umschrieb e ix it dt; f(x) = e is = + f(x) (e is + e is) =0 e ix it dt. und Anwenden der geometrischen Summenformel für s [, π] und s 0 gilt e is = + (e is + e is) =0 (0.2) = + ei(n+)s e is + e i(n+)s e is. Erweitern den letzten Terms mit e is liefert weiter e i(n+)s e is = e ins e is e is. Alles auf einen Bruch zusammengefasst, lässt sich (0.2) schreiben als e is = ( e is e i(n+)s + e ins) = 2ie is/2 e is/2 e is/2 ( ) e i(n+ 2 )s + e i(n+ 2 )s 2ie is/2 Das Einsetzen von sin(x) = eix e ix 2i liefert nun für alle s [, π] die Gleichheit sin((n+ )s) e is 2 falls s 0, = sin( 2) s N + falls s = 0. Nach der Substitution s = t x ist somit Aus sin x x P N f(x) f(x) = = [f(x + s) f(x)] e is ds [f(x + s) f(x)] 2 sin( s 2 ) sin((n + 2 )s) ds. π x 0 folgt, dass s f(x+s) f(x) 2 sin(s/2) eine stetig differenzierbare Funtion ist. Mit sin((n + 2 )s) = Im(ei(N+ 2 )s ) folgt das Resultat mit dem Riemann Lebesgue Lemma. Literatur K. Königsberger: Analysis (Kapitel 6.3)

5 Elementare Rechenregeln Im folgenden seien f, g: R C stetige, periodische Funtionen. Beweisen Sie: Die Abbildung F ist linear, d.h. f + g = f + ĝ λf = λ f für alle λ C. Die Funtion f ist reellwertig genau dann, wenn f(x) = f( x) für alle x R gilt. Die Funtion f ist achsensymmetrisch, d.h. f() = f( ) für alle Z genau dann, wenn f achsensymmetrisch ist, d.h. f(x) = f( x) für alle x R. Die Funtion f ist puntsymmetrisch genau dann, wenn f puntsymmetrisch ist Sind zudem f, g stetig differenzierbare Funtionen, so gilt f g() = l= f(l)ĝ( l) für alle Z. Beweis: Es gilt nach Definition für festes Z die Gleichheit Nun ist f(x) = f g() = n= Eingesetzt ergibt dies f g() = ˆ ( π f(x)g(x)e ix dx. f(n)e inx und g(x) = n= f(n)e inx )( m= m= ĝ(m)e imx. ĝ(m)e imx )e ix dx. Mit der Cauchy Produtformel (Quelle) und der Orthogonalität der Basisfuntionen ψ folgt die Aussage. Sei h gegeben durch h(x) = f(x + x 0 ) für alle x R und eine feste Zahl x 0 R. Dann ist h ebenfalls eine stetige, periodische Funtion und es gilt ĥ() = exp( i x 0 ) f() für alle Z Literatur O. Forster: Analysis (Kapitel 8,23), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 6,6)

6 Explizite Beispiele der Fouriertransformation Es sollen erste Beispiele zu Fourierreihen gerechnet werden. Berechnen Sie die Fourieroeffizienten der Funtionen und f : R R, x, falls π x < π f(x) = periodisch fortgesetzt. g : R R, x 2, g(x) = falls π x < π periodisch fortgesetzt. Bemerung: Obwohl die Funtionen nicht auf R stetig differenzierbar sind, so onvergiert die Fourierreihe dennoch gegen die Funtion. Es gilt 0 = 0, f() = i cos(π) 0. 0 = 0, = i ( ) 0. Bemerung: Obwohl f reell war, ist es die Fouriertransformation f nicht. Diese ist sogar rein imaginär! Mit g = 2f folgt ĝ() = iĝ () = 2i f() 0 = 0, = 8π ( ) + 0, also mit der direten Rechnung ĝ(0) = g(x)dx = x 2 dx = 2 3 π3, dass 2 3 ĝ() = π3 = 0, ( ) + 0,, 2 Beweisen Sie: Sei f Cper([, π]). Seien ferner die Folgen (c ) N, (s ) N definiert über c (f) = f() + f( ) ( ) und s (f) = i f() f( ). Dann gilt f(x) = c 0(f) 2 + ( ) c (f) cos(x) + s (f) sin(x) Literatur O. Forster: Analysis (Kapitel 8,23), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 6,6) =

7 Die Dirichletreihe 2 Beweisen Sie: Sei f Cper[, π]. Die Fourierreihe onvergiert in der Norm gegen f, also f P N (f) 2 = f(t) P N (f)(t) 2 dt 0 für N. Dies folgt sofort aus der gleichmäßigen Konvergenz P N (f) f für N und der Abschätzung f(t) P N (f)(t) 2 dt sup f(s) P N (f)(s) 2 dt s [,π] = sup f(s) P N (f)(s) 2 dt s [,π] = sup f(s) P N (f)(s) 2. s [,π] Aus der Konvergenz folgt, dass die Bessel Ungleichung für N zur Gleichheit wird. Dies wird als Satz von Parseval/Plancherel bezeichnet: = f() 2 = f(x) 2 dx. Wir zeigen zuerst per Telesopsumme, dass N = 2 und mit folgt demnach = N 2 = + =2 N 2 + ( ) = =2 N 2 + =2 ( ) = onvergiert. Es gilt ( ) = + N = 2 N 2. Das gibt uns auch die obere Schrane von 2. Für den expliziten Grenzwert berechnen wir für f aus dem vorigen Vortrag [f(x) = x auf [, π)] den Wert Ferner ist = f() 2 = f(x) 2 dx = =, 0 2 = 4π 2 = x 2 dx = 2 3 π3. Nach dem Satz von Parseval sind beide Terme gleich und damit = 2 = π2 6. Literatur: H. Amann, J. Escher: Analysis (Kapitel II.7), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 6.7)