r Oberflächeninhalt 1 Berechnungen am Kreis O 4r 1.1 Bogenmaß Das Bogenmaß x ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge, also die 1.

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1 Grundwissen Mathematik 0 Berechnungen am Kreis. Bogenmaß Das Bogenmaß ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge, also die Radius Zahl / r Umrechnungen: r r Kreisteile Sektorfläche:.3 Kugel Volumen V oder r A 360 r A r Oerflächeninhalt O 4r Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite von 4

2 -sin sin sin Grundwissen Mathematik 0 Sinus, Kosinus und Tangens am inheitskreis - -sin tan -cos cos Sinus, Kosinus und Tangens elieiger Winkel Für die Vorzeichen gilt Sinus Kosinus Tangens - Für negative Winkel (im Uhrzeigersinn) gilt: sin( ) sin, cos( ) cos, tan( ) tan Bsp.: sin50 sin( -50 ) sin30 tan300 tan( ) tan60 sin 45 und Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite von 4

3 Grundwissen Mathematik 0 3 Trigonometrie am allgemeinen Dreieck 3. Sinussatz In einem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die Sinuswerte der gegenüerliegenden Winkel. a sin sin usw. 3. Kosinussatz In jedem Dreieck gilt c a acos usw. Sonderfall: Satz des Pythagoras, falls der Winkel 90 hat. Der Kosinussatz liefert den Winkel eindeutig, der Sinussatz nicht. Bsp.: Das Dreieck mit a=6cm, =4,5cm und =6 ist nach SsW eindeutig. Aus dem Sinussatz ergit sich sin 4,5cm sin6 sin 0,66 a 6cm 4,5 und 4,5 38,5 scheidet aus, weil im Dreieck der größeren Seite der größere Winkel gegenüerliegen muss. Die Üerprüfung mit der Innenwinkelsumme liefert diesele ntscheidung. Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite 3 von 4

4 Grundwissen Mathematik 0 4 Trigonometrische Funktionen y O Sinusfunktion f() = sin mit D f = IR. punktsymmetrisch zu (0/0); Periodenlänge W f = [-;] Kosinusfunktion f() = cos mit D f = IR. achsensymmetrisch zur y-achse; Periodenlänge W f = [-;] y O - 3 Tangensfunktion f() = tan mit D f = IR \(z ) punktsymmetrisch zu (0/0); Periodenlänge W f = IR - Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite 4 von 4

5 Grundwissen Mathematik 0 Die allgemeine Sinusfunktion f () asin[ ( c)] d mit a, 0 Periode a: Streckung oder Stauchung in y-richtung : Streckung oder Stauchung in -Richtung c: Verschieung nach rechts ( c < 0) oder links (c > 0) d: Verschieung nach oen (d > 0) oder unten (d < 0) 5 ponentialfunktion 5. ponentielles Wachstum Ist die Änderung pro Zeiteinheit direkt proportional zum aktuellen Bestand, so liegt ein eponentielles Wachstum oder eine eponentielle Anahme vor. ( im ponenten) Wachstumsgesetz y a : Anfangswert a: Wachstumsfaktor oder Anahmefaktor a> eponentielle Zunahme, 0<a< eponentielle Anahme Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite 5 von 4

6 Grundwissen Mathematik 0 5. ponentialfunktionen y a a IR, IR W = IR + streng monoton steigend für a> streng monoton fallend für 0<a< Die Graphen von y a und y a sind zueinander symmetrisch zgl. der y-achse. 0 y O 6 Logarithmus Ist IR \ und a, so heißt der ponent der Logarithmus von a zur Basis : log a. ( log a ist diejenige Zahl, mit der man potenzieren muss, um a zu erhalten.) log 0; l og log log ; Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite 6 von 4

7 Grundwissen Mathematik 0 6. Rechnen mit Logarithmen log (u v) log u log v log (u : v) log u log v log u z z log u (,u,v IR,, z IR) log 3log y log z log y z 3 log log 4 log a 4 log 4 a a log Basisumrechnung: log a log a Zehnerlogarithmus: Schreiweise: lg : log0 Prais: Auf dem TR ist die Zehnerlogarithmus-Taste mit log eschriftet! Näherungsweises Berechnen von Logarithmen mit elieiger log5 Basis auf dem TR z.b. log 5, 39 log Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite 7 von 4

8 Grundwissen Mathematik 0 6. ponential- und Logarithmusgleichungen Variale im ponenten Lösungsprinzip 3 logarithmieren lg lg 3 lg ( )lg 3 nach auflösen lg lg 3 - lg 3 lg lg 3 lg 3 (lg lg 3 ) lg 3 lg 3 lg lg 3 Variale im Logarithmus Lösungsprinzip log ( ) 3 delogarithmieren Ganzrationale Funktionen in Term der Form n n an an... a a a 0 mit a 0...a n IR; an 0 heißt Polynom n-ten Grades. Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite 8 von 4

9 Grundwissen Mathematik 0 ine Funktion der Form n n f : a a... a a mit a...a ;a 0 n n 0 0 n n mit D heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades. f 7. Potenzfunktionen Jede Funktion f() = n mit D f = IR und n IN heißt Potenzfunktion mit natürlichem ponenten. y y O n gerade n ungerade W f = IR 0 W f = IR achsensymmetrisch zur y Achse punktsymmetrisch zu (0 0) gemeinsam ( ), (0 0), ( ) gemeinsam ( ), (0 0), ( ) Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite 9 von 4

10 Grundwissen Mathematik 0 7. Polynomdivision 6 3 : 3 Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite 0 von : (6 4 ) ( 5 0) 0 (3 ) : 3 usw. 7.3 Nullstellen f ist eine ganzrationale Funktion n-ten Grades. Dann hat sie höchstens n Nullstellen. Ist = a Nullstelle von f, so gilt f() = ( a) g() mit Grad g() = n. 7.4 Grenzwert Unterscheiden sich die Funktionswerte von f() für zw. elieig wenig von der Zahl a, so konvergiert f() gegen den Grenzwert a. lim f () a zw. lim f () a

11 Grundwissen Mathematik Felder astreichen f() = 3 = (+)( ) NST =, = 0, 3 = f() + + y 3 f() 7.6 Symmetrie f(-) = f() Graph punktsymmetrisch zu (0 0). - - O f(-) f(-) y f() f(-) = f() Graph achsensymmetrisch zur y-achse - - O Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite von 4

12 Grundwissen Mathematik 0 8 Zusammengesetzte Zufallseperimente 8. Bedingte Wahrscheinlichkeit heißt für P(B) 0 die edingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung P(A B) P B(A) P(B) B. oder Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, oder Wahrscheinlichkeit von A im rgenisraum B. Bsp.: Bei einer Befragung von Personen geen 65 an nglisch und 55 Französisch zu sprechen. Von denen die nglisch sprechen, sprechen 45 auch Französisch. 65 P() 45 P (F) 65 0 P (F) 65 F F P( F) P( F) 55 P(F) 5 P() P (F) P (F) F F P( F) P( F) Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite von 4

13 Grundwissen Mathematik a) P( nur F ) = P( F) P(F) P( F) 65 ) Mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die kein nglisch sprechen, jemand Französisch? 0 P( F) 0 P (F) ; P() 5 5 c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die kein nglisch sprechen, jemand auch kein Französisch? P (F) d) P( keine der eiden Sprachen ) = P( F) P() P (F) e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die Französisch sprechen, jemand auch nglisch? P( F) P F() P(F) Lösung der Aufgaen mit der Vierfeldertafel (Nur anwendar ei zwei reignissen) Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite 3 von 4

14 Grundwissen Mathematik 0 8. Vierfeldertafel Vierfeldertafel mit der asoluten Häufigkeit. + Gesamt F F Gesamt 65 5 a) 0 sprechen nur Französisch. P( nur F ) = 0 0 ) P (F) 5 5 c) P (F) 5 5 d) P( F) 45 e) P F() 55 Vierfeldertafel mit der Wahrscheinlichkeit. + Gesamt F F Gesamt Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 09 Seite 4 von 4