Fit in Mathe. Mai Klassenstufe 11. Funktionsuntersuchungen. b) c) d) e)

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1 Thema a) Musterlösungen 1 Funktionsuntersuchungen b) c) d) e) Das Steigungsverhalten von Funktionsgraphen kann mit den Begriffen (1) (streng) monoton steigend / fallend. () rechtsgekrümmt oder konkav bzw. linksgekrümmt oder konvex beschrieben werden. Auch Kombinationen sind möglich wie (3) degressiv/progressiv fallend/steigend für monoton fallend/steigend und konkav/konvex. Ordne den obigen Graphen den richtigen Begriff aus (1) bis (3) zu, der eindeutig nur ihm im Intervall [0; 10] zukommt. zu a) linksgekrümmt oder konvex, also sziffer, zu b) streng monoton steigend, kein einheitliches Krümmungsverhalten, also sziffer 1, zu c) degressiv fallend, also sziffer 3, zu d) rechtsgekrümmt oder konkav, also sziffer, zu e) progressiv steigend, also sziffer 3 Die Ziffern in der richtigen Reihenfolge ergeben die szahl 133, also Buchstabenpaar KI Die folgenden Ableitungen beschreiben in entsprechender Reihenfolge das Steigungsverhalten der Funktionen aus Aufgabe 1. (1) f ' x = π cos π 10 x () f ' x = 0, x (3) f ' x = ln x 10 (4) f ' x = 0,8 x 4 (5) f ' x = 0,04 x 3 0,4 x 0,6 x

2 Musterlösungen zu a) gehört die Funktion (4), (hat Nullstelle beim Minimum an Stelle x=5). zu b) gehört die Funktion (5), (hat Nullstellen an den Sattelpunkten bei x=0 und x=5) zu c) gehört die Funktion (), (ist auf dem Intervall negativ und hat Nullstelle bei Minimum an Stelle x=10) zu d) gehört die Funktion (1), (hat bis x=5 positive Steigungen, dann negative) zu e) gehört die Funktion (3), (ist über dem Intervall progressiv steigend, wie der Funktionsgraph) Die Ziffern in der richtigen Reihenfolge ergeben die szahl 4513, also Buchstabenpaar RS. Gegeben sind die Funktionen: a) f x = x 4 3 x b) f x = x 5 3 x 3 x 1 c) f x = x 3 x d) f x = x e x x e) f x = x sin x f) f x = 1 9 Gib an, welche Funktionen auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich * achsensymmetrisch (=1), * punktsymmetrisch (=) oder * keines von beidem (=0) sind. zu a) f x = x 4 3 x = x 4 3 x = f x, also liegt Achsensymmetrie vor, d.h. sziffer 1. zu b) f x = x 5 3 x 3 x 1 = x 5 3 x 3 x 1, = x 5 3 x 3 x 1 = f x 1 1 = f x also liegt weder Achsensymmetrie noch Punktsymmetrie vor, d.h. sziffer 0. zu c) f x = x 3 x = x 3 x = 1 x 3 x = x 3 x = f x, also liegt Achsensymmetrie vor, d.h. sziffer 1. zu d) f x = x e x = x e x = f x, also liegt Punktsymmetrie vor, d.h. sziffer.

3 Musterlösungen 3 zu e) f x = x sin x = x sin x = x sin x = f x, also liegt Achsensymmetrie vor, d.h. sziffer 1. zu f) Die Funktion ist nur definiert für 1 x x 3 x oder x [ 3 ;3] und für x [ 3 ;3] ist x x f x = 1 = = f x, also liegt Achsensymmetrie vor, d.h. sziffer 1. Die sziffern in der richtigen Reihenfolge ergeben die szahl 10111, also Buchstabenpaar CH. Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen (falls existent) a) f x = x x 6 b) f x = x 4 5 x 6 x 1 c) f x = 10 x 10 x 10,1 1 d) f x = sin π x 1,5sin π x 0,5 für x [ 1 ;1] e) f x = x 3 6 x 11 x 6 f) f x = x 4 x 4 g) f x = sin x 4 zu a) 0 = x x 6 x = oder x = x = 1 5 oder x = x = 3 oder x = d.h. die Nullstellen sind x 1 = 3 und x =. zu b) Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn ein Faktor 0 ist. Der. Faktor wird aber niemals 0, also reicht die Untersuchung des 1.Faktors, d.h. 0 = x 4 5 x 6. Zur ssuche ersetzen wir diese Gleichung durch das Gleichungssystem z = x und 0 = z 5 z 6. 0 = z 5 z 6 z = oder z = z = oder z = z = 3 oder z = Wegen z = x suchen wir nun weiterhin nach x mit der Eigenschaft: x = oder x = 3 und erhalten schließlich als smenge: x 1 =, x =, x 3 = 3, x 4 = 3.

4 Musterlösungen 4 zu c) Setze z :=10 x. Damit wird aus 0 = 10 x 10 x 10,1 1 das Gleichungssystem: z = 10 x und z 10,1 z 1 = 0. Wir lösen zunächst die quadratische Gleichung in z und erhalten die en oder z bzw = 10 oder z = Damit gehen wir in die erste Gleichung und erhalten aus 10 x = 10 x = 1 bzw. 10 x = 1 10 = 10 1 x = 1. Die smenge besteht also aus den en x 1 = 10 und x = zu d) Setze z :=sin π x. Damit wird aus 0 = sin π x 1,5sin π x 0,5 das Gleichungssystem: z = sin π x und z 1,5z 0,5 = 0. Wir lösen zunächst die quadratische Gleichung in z und erhalten die en = oder z = bzw. = = 1 oder z = = 1. Damit gehen wir in die erste Gleichung und erhalten aus 1 = sin π x x = 1 bzw. 1 = sin π x x = 1 6 oder x = 5 6. Die smenge besteht also aus den en x 1 = 1, x = 1 6, x 3 = 5 6. zu e) Es ist die Gleichung 0 = x 3 6 x 11 x 6 zu lösen. Wenn die en ganzzahlig sind, sind sie Teiler des additiven Gliedes. Deswegen testen wir erst diese und finden durch Probieren x 1 = 1, dann ist aber der Linearfaktor x 1 ein Teiler des Polynoms, d.h. x 3 6 x 11 x 6 : x 1 = x 5x 6 x 3 x x 11 x 5 x 5 x x 6 6 x 6 Die Nullstellen dieses Polynoms (wie schon in Aufgabenteil b durchgeführt) sind: x = und x 3 = 3

5 Musterlösungen 5 zu f) Es ist die Gleichung 0 = x 4 zu lösen. x 4 Ein Bruch ist genau dann 0, wenn der Zähler 0 ist. Die Nullstellen des Zählers sind aber x 1 = und x =. zu g) Es ist die Gleichung 0 = sin x 4 zu lösen. Es gilt aber immer sin x 1, also auch sin x 1 für x R. Es gibt also keine. Die Summe aller Nullstellen ist , = 19,1, also Buchstabenpaar BL. Gegeben ist die Funktion f x = x 3 6 x a x 3. Bestimme a so, dass der Graph zu f a) an der Stelle x = eine Nullstelle hat. b) genau eine Tangente mit der Steigung 0 besitzt. zu a) Wenn x = eine Nullstelle ist, so muss sich das Polynom mit geeigneten p und q darstellen lassen als x 3 6 x a x 3 = x p x q x = x 3 p x q p x q. Durch Koeffizientenvergleich führt das auf die Gleichungen: (1) p = 6 () q p = a (3) q = 3 Aus (1) folgt: p = 4 und aus (3): q = 3 a = 3 8 = 19 = 9,5 und damit ergibt sich aus (): zu b) Die Steigungen des Graphen an einer Stelle x ergeben sich aus: f ' x = 3 x 1 x a. Gäbe es eine Steigung 0, so müsste sein: 0 = 3 x 1 x a 0 = x 4 x a 3. Die en dieser Gleichung mit der pq-formel sind x 1 / = ± a 3. Genau eine ist gegeben, wenn a 3 = 0 a = 1 ist. Die Summe beider en ist 9,5 + 1 = 1,5, also Buchstabenpaar UE

6 Musterlösungen 6 Ein Kraftwerk erzeugt gleichmäßig 4 Stunden am Tag Strom. Die Stromabnahme ist aber über den Tag ungleichmäßig, sie steigt von ihrem Minimum um 0 Uhr auf ihr Maximum um 1 Uhr und fällt symmetrisch zum Anstieg bis 4 Uhr wieder ab. Um dieses Verhalten auszugleichen, pumpt man mit dem gewonnenen Strom des Kraftwerkes gleichmäßig Wasser in einen höher gelegenen Speichersee und erzeugt bedarfsgerecht Strom durch Ablassen des Wassers über eine tiefer gelegene Turbine. Gib ein Polynom 3. Grades für den Pegelstand des Speichersees P t an, wenn wir annehmen, dass der tägliche Strombedarf einer Differenz von 1 m entspricht. Setze P 0 = P 4 = RG Betrachten wir zunächst die Entnahmeseite und setzen wir hierfür ein Polynom 3.Grades für den Pegelstand an: P E t = a t 3 bt c t d mit P E ' t = 3 a t b t c und P E ' ' t = 6a t b Da im Zeitpunkt t=0 keine Entnahme stattfindet, ist P E ' 0 = c = 0. Bei t=1 ist die Entnahme maximal, d.h. (1) P E ' ' 1 = 7a b = 0. Außerdem muss sein: () P E 4 = 1384 a 576 b = 1 Das führt auf das Gleichungssystem 36 a + b = a + 48 b = 1 und mit b = 36 a in die. Gleichung eingesetzt ergibt sich 115a 178a = 1 a = und b = Die Zulaufseite kann durch folgende Funktion beschrieben werden: P Z t = 1 4 t = 1 t. Insgesamt ist die Pegelfunktion also P t = P E t P Z t = t t 1 t. Die Ableitung hiervon ist P ' t = 1 19 t 1 8 t 1 mit den Nullstellen aus der Gleichung 0 = 1 19 t 1 8 t 1 t 4t 96 = 0 : t 1/ = 1± 1 96 = 1±4 3 t 1 5,07 und t 18,93 Der höchste Pegel ist P ,155 m und der niedrigste ist P ,155 m, Der Pegelhub ist ca.,3 m, also Buchstabenpaar TE. 1,5 UE 311 OS 133 KI swort: KIRSCHBLUETE en mit Kennsilben 18,5 LO,3 TE 5,4 EN 4513 RS 19,1 BL 5134 TE 0,9 CK CH

7 Musterlösungen 7 Expertenaufgabe Man kann Funktionswerte einer unbekannten Funktion mit Näherungspolynomen annähern, wenn man Stützstellen kennt. Das nachstehende Verfahren ist als Newtonsche Interpolation bekannt. Es seien die Stützpunkte x 0, y 0,..., x n, y n gegeben. Definiere ein Polynom p n x x x 0 c x x 0 x x 1... c n x... x x n. und bestimme die c i so, dass p n x i = y i für i = 0,..., n. Das führt auf ein Gleichungssystem in Dreiecksgestalt für die unbekannten c i (warum?), das relativ leicht zu lösen ist. Damit lässt sich nun ein Näherungswert p n x * für einen Wert x * ausrechnen. Bestimme z.b. ein Polynom durch die Punkte: 1 9, 3 7, 4 30, Das entstehende Gleichungssystem ist: y 0 x 0 y 1 x 1 x 1 y x x c x x 0 x x 1... y n x n x n c x n x n x 1... c n x n x n x 1... x n x n 1 und dieses kann beginnend mit der ersten Zeile gelöst werden, weil von Zeile zu Zeile immer eine Unbekannte hinzukommt. Beim gegebenen Beispiel ist n=3 (da die Zählung bei 0 beginnt) und es ergibt sich das Gleichungssystem: 9 = c 0 7 = c 0 30 = c 0 3 c = c 0 6 c 4 c 3 7 Dieses hat die : c 0 = 9 c 1 = 7 9 c = c 3 = also = 18 = 5 = p 3 x = 9 18 x 1 5 x 1 x 3 x 1 x 3 x 4 = x 3 11 x 18