Statistik I WS 2014/2015. Prof. Dr. Walter Krämer

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1 Statistik I WS 2014/2015 Prof. Dr. Walter Krämer

2 Organisatorisches Dozenten: Vorlesung: Prof. Dr. Walter Krämer Übungen: Dipl.-Stat. Marianthi Neblik cand.stat. Eva-Maria Becker cand.stat. Nicole Dauzenroth cand.stat. Carmen Van Meegen cand.stat. Simon Neumärker Netzseite zur Vorlesung:

3 Übungstermine Gruppe 1 Mittwoch, 12:00 14:00 Uhr CDI 120 Gruppe 2 Mittwoch, 16:00 18:00 Uhr M E21 Gruppe 3 Donnerstag, 12:00 14:00 Uhr M E21 Gruppe 4 Donnerstag, 16:00 18:00 Uhr CDI 120 Gruppe 5 Donnerstag, 16:00 18:00 Uhr BCI ZE01 - Tragen Sie die für Sie möglichen Termine bis zum in das Formular auf der Lehrstuhl-Netzseite ein. - Die Einteilung in die Übungsgruppen wird dann im Laufe der zweiten Vorlesungswoche auf der Netzseite bekanntgegeben. - Der Übungsbetrieb startet in der dritten Vorlesungswoche, also ab dem Netzseite zur Vorlesung:

4 Leistungsnachweise Zum Bestehen der Vorlesung sind zwei Dinge zu erfüllen: Unbenoteter Übungsschein: - Jeden Montag wird ein Übungszettel auf die Netzseite gestellt, der gelöst werden muss. - Abgabe der Lösungen ist der jeweils nächste Montag, 12 Uhr, in den Briefkästen im Mathefoyer. - Der Übungszettel enthält Pflichtaufgaben und freiwillige Aufgaben. Für die Pflichtaufgaben werden Punkte vergeben. - Für den Erwerb des Übungsscheins müssen am Ende des Semesters mindestens 50% der Punkte erreicht sein. - Es werden nur Einzelabgaben akzeptiert. Netzseite zur Vorlesung:

5 Unbenotete Klausur: Am Ende des Semesters ist eine zweistündige Klausur zu bestehen. Haupttermin: , Uhr Nachklausur: , Uhr Teilnahmevoraussetzung ist ein Statistik I-Übungsschein. Dabei werden auch Scheine aus vergangenen Semestern akzeptiert. Für Nebenfächler und ERASMUS-Studenten wird die Klausur benotet. Netzseite zur Vorlesung:

6 Nebenfachvereinbarung Mathematik Modul Deskriptive Statistik (12 ECTS) - Benoteter Leistungsnachweis zur Vorlesung Statistik I - Unbenoteter Leistungsnachweis zur Vorlesung Programmierung mit R Das Modul ist erst abgeschlossen, wenn beide Teilleistungen erbracht wurden. Die Teilleistungen sind unabhängig voneinander und müssen nicht im gleichen Semester erbracht werden. Für Statistik III wird in der Regel kein Vorwissen in der Programmierung mit R vorausgesetzt (Dozenten-abhängig).

7 Statistik I: Literatur Bauer, T., Gigerenzer, G., W. Krämer: Warum dick nicht doof macht und Genmais nicht tötet: Über Risiken und Nebenwirkungen der Unstatistik, Frankfurt 2014, Campus Verlag. W. Krämer: Statistik verstehen, 10. Auflage, München 2012, Piper. W. Krämer: Armut in der Bundesrepublik, Frankfurt 2000, Campus. W. Krämer: Measurement of inequality, Handbook of Applied Economic Statistics, 1998, W. Krämer: Eine einfache axiomatische Begründung des arithmetischen Mittelwertes, Stochastik in der Schule Heft 2, P.S. Bullen, D.S. Mitrinovic und M. Vasic: Means and Their Inequalities, Dordrecht 1987, Kluwer. Netzseite zur Vorlesung:

8 Themenüberblick 1. Daten & Datenorganisation 2. Mittelwerte 3. Weitere Kennzahlen von Datensätzen metrischer Variablen 4. Maße für Korrelation und Abhängigkeit 5. Regressionsrechnung 6. Indexzahlen 7. Konzentration und Ungleichheit 8. Statistische und sonstige Probleme der Armutsmessung 9. Elementare Zeitreihenanalyse 10. Ausgewählte Probleme bei der Datenerhebung 11. Grafische Darstellung quantitativer Informationen

9 1 Daten & Datenorganisation 1.1 Datentypen (=Merkmalsarten) Merkmal (=Variable) quantitativ (metrisch, kardinal) qualitativ ordinal nominal binär >2 Ausprägungen (Werte)

10 Notation X, Y, Z, : x 1,, x n : x (1),, x (n) : x = (x 1,, x n ) R n : x = (x (1),, x n ) R n : Merkmale (= Variable) Ausprägungen (= Beobachtungen oder Werte) des Merkmals X der Größe nach sortierte Ausprägungen Vektor der beobachteten Ausprägungen Vektor der sortierten beob. Ausprägungen x = x x n = n i=1 x i : Summe der Beobachtungen

11 1.2 Das Stängel-Blatt-Diagramm ( Stem-and-leaf- Display ) und das Histogramm Beispiel: X = Lebensalter, n = 25, Urliste : x=(38,16,15,35,48,18,9,41,35,13,14,43,39,74,34,50,36,20,53,56, 56,26,20,46,45)

12 1.2 Das Stängel-Blatt-Diagramm ( Stem-and-leaf- Display ) und das Histogramm Beispiel: X = Lebensalter, n = 25, Urliste : x=(38,16,15,35,48,18,9,41,35,13,14,43,39,74,34,50,36,20,53,56, 56,26,20,46,45) Stängel-Blatt-Diagramm: Stängel Blätter

13 Häufigkeit 1.3 Das Histogramm Merkmalsausprägung Wichtig: Fläche Anzahl (d.h. Höhe ~ Anzahl/Breite) Alternative senkrechte Achse: Besetzungsanteil/Breite Vorteil: Fläche = Anteil, Summe der Flächen = 1 = 100%

14 Normierte Häufigkeit (Besetzungsanteil / Breite) Normierte Häufigkeit (Besetzungsanteil / Breite) Dieses Prinzip überträgt sich auch auf unterschiedlich breite Intervalle:

15 1.3 Die Summenkurve geg.: x = x 1,, x n Definition: S z # x i x i z heißt Summenkurve von x F z S(z)/n heißt (empirische) Verteilungsfunktion von x Im Beispiel:

16 Definition: Sei 0 < p < 1 und sei np die nächstgrößere ganze Zahl von np (es sei denn, np ist selbst eine ganze Zahl, dann ist np = np). Dann heißt m p x x ( np ) das p%-quantil von x. m 0,25 (x) heißt auch unteres Quartil, m 0,75 (x) heißt auch oberes Quartil, m 0,1 x, m 0,2 x, heißen auch Dezile. Im Beispiel: Gesucht m 0,1 x n = 25, np = 2,5, np = 3, x (3) = 14 Achtung. Je nach Lehrbuch gibt es auch leicht abweichende Definitionen!

17 2 Mittelwerte Statistik Verstehen, Kap Das arithmetische Mittel Beispiel 1: Merkmal: Einkommen (quantitativ alias metrisch) Merkmalsausprägungen: 0,0,1,3,16 Gesucht: durchschnittliches Einkommen Antwort: arithmetisches Mittel: x a = = 20 5 = 4 Allgemein: x a = 1 n n i=1 x i = 1 n x n x n x n

18 Aufgabe: Ein Schüler wechselt von einem Gymnasium auf eine Gesamtschule. Darauf steigt an beiden Schulen der mittlere IQ (arithmetisches Mittel). Ist das möglich? Ja oder nein. Mit Begründung.

19 Aufgabe: In den deutschen Medien ist immer wieder von Einkommensrückständen der Frauen (im Vergleich zu Männern) die Rede. Ist es möglich, dass Frauen in allen Berufen bzw. Branchen im Durchschnitt mehr verdienen als Männer, aber insgesamt im Durchschnitt weniger (Durchschnitt = arithmetisches Mittel)? Wenn nein, warum nicht? Wenn ja: Zahlenbeispiel.

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21 Verallgemeinerung: gewichtetes arithmetisches Mittel Sei g = (g 1,, g n ) R n n mit g i 0, i=1 g i = 1. Dann heißt x a,g = n g i x i = g x i=1 das gewichtete arithmetische Mittel der x i. trivial: x a ist Spezialfall von x a,g mit g i = 1 n i

22 Eine schöne Eigenschaft des arithmetischen Mittels: Satz 2.1: Seien X, Y und Z metrische Merkmale mit den Ausprägungen x i, y i, z i i = 1,, n und z i = ax i + by i. Dann gilt: z a = ax a + by a Achtung: Das gilt für andere Durchschnitte im Allgemeinen nicht!

23 2.2 Der Median (= Zentralwert) In Beispiel 1: Median = x m = 1 Schlampige Definition: Der Median ist diejenige Merkmalsausprägung, die bei Anordnung der Größe nach in der Mitte steht. Korrekte Definition: Der Median ist das 50%-Quantil (n ungerade). Der Median ist jeder Wert zwischen x (n/2) und x (n/2+1) (inklusive der Endpunkte) (n gerade). Der Median ist also u.u. nicht eindeutig!!!

24 Statistik verstehen S. 30

25 Vorteile: robust gegen Ausreißer Wert ist immer eine tatsächlich vorkommende Merkmalsausprägung auch bei ordinalen Merkmalen anwendbar Beispiel: Fünf Restaurants: miserabel, schlecht, mäßig, gut, hervorragend Median: mäßig

26 Weitere Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians: Satz 2.2: x a = arg min z R n i=1 (x i z) 2 x m = arg min z R n i=1 x i z