5. Polynome und rationale Funktionen.

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1 5-1 Funktionen 5 Polnome und rationale Funktionen Wir betrachten nun ganz allgemein Polnome, und gleich auch rationale Funktionen Wir sind bisher ganz bedächtig vorgegangen: die Abschnitte 2 und 3 waren den linearen Funktionen gewidmet, der Abschnitt 3 den quadratischen Nun sollten wir mit der gleichen Sorgfalt die kubischen Funktionen (also die Polnome vom Grad 3) betrachten, dann die biquadratischen (Polnome vom Grad 4), usw Die Zeit reicht dafür nicht aus In jedem Fall müssten wir nach einer Weile abbrechen, denn keineswegs können wir allen Graden die gleiche Aufmerksamkeit widmen (dies würde ja ein Buch mit unendlich vielen Abschnitten liefern) Auch wäre gar nicht klar, was man über die Unterschiede der Polnome vom Grad 72 und denen vom Grad 74 notieren sollte Nach einer allgemeinen Einführung werden wir wenigstens kurz auf diejenigen vom Grad 3 eingehen, da hier ein wichtiges Phänomen zum ersten Mal auftaucht, das des Wendepunkts 51 Polnome Definition: Eine Funktion der Form f() = n a i i = a 0 + a 1 + a a n n i=0 mit reellen Zahlen a i (0 i n) nennt man ein Polnom, die Zahlen a i heißen die Koeffizienten des Polnoms, (dabei ist n 0 eine ganze Zahl) Ist a n 0 so nennt man n den Grad des Polnoms und a n seinen höchsten Koeffizienten, falls notwendig schreibt man gradf() = n Ist der höchste Koeffizient a n = 1, so nennt man f() ein normiertes Polnom Sind alle Koeffizienten a i gleich Null, so handelt es sich um die Nullfunktion, man weist ihr den Grad 1 zu (1) Manche Bücher geben der Nullfunktion als Grad das Smbol (2) Man beachte, dass man bei der Summendarstellung ai i neben den üblichen Potenzen 2, 3, auch die Potenzschreibweise 1 und 0 verwendet: dabei ist 1 = und 0 = 1 (3) Die meisten Tete verwenden die Konvention, den Koeffizienten von i mit a i oder c i oder so zu bezeichen, also mit Inde i (und nicht etwa n i) Die Reihenfolge der Koeffizienten beginnt demnach mit a 0, dann kommt a 1, danach a 2 und so weiter Dies erklärt, warum wir in den Abschnitten 2 und 4 als Koeffizienten für lineare bzw quadratische Funktionen ganz entsprechend die Reihenfolge a, b bzw a, b, c verwendet haben: f() = a + b, f() = a + b + c 2

2 Leitfaden 5-2 Es gilt also: Es gibt genau ein Polnom vom Grad 1, nämlich die Nullfunktion Die Polnome vom Grad 0 sind die konstanten Funktionen ungleich Null Die Polnome vom Grad 1 sind die nicht-konstanten linearen Funktionen Die Polnome vom Grad 2 sind die echten quadratischen Funktionen Die Polnome vom Grad 3 werden wir im Abschnitt 52 analsieren Polnome kann man wie üblich addieren und multiplizieren, man erhält dann wieder Polnome Addition Sind f() und g() Polnome vom Grad höchstens n, so ist auch f() + g() ein Polnom vom Grad höchstens n Hier die Additionsregel: Sei f() = n i=0 a i i, und g() = n i=0 b i i, so ist (f + g)() = f() + g() = n (a i + b i ) i i=0 (dabei haben wir vorausgesetzt, dass man für f() und g() die gleiche obere Summenschranke n verwendet gegebenenfalls füge man eben zu einem der beiden Polnome noch Koeffizienten a i = 0 hinzu) Multiplikation Seien Polnome f() = n i=0 a i i, und g() = m j=0 b j j gegeben, dann ist (fg)() = f()g() = n+m k=0 c k k, mit c k = k a i b k i i=0 Es ist also c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0, c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0, c n+m 1 = a n 1 b m + a n b m 1 c n+m = a n b m (eigentlich müsste man bei der Bildung der letzten Koeffizienten ebenfalls an eine ganz lange Summe denken, so etwa beim Koeffizienten c n+m an c n+m = a 0 b n+m + a 1 b n+m 1 + a n+m b 0, aber bis auf den Summanden a n b m sind alle anderen Summanden gleich Null (die ersten, weil b j = 0 aus j > m folgt, und die letzten, weil a i = 0 aus i > n folgt) Insbesondere gilt: Satz Der Grad des Produkts f()g() zweier von Null verschiedener Polnome f(), g() ist die Summe der Grade und der höchste Koeffizient von f()g() ist das Produkt der höchsten Koeffizienten von f() und g()

3 5-3 Funktionen Beweis: Ist a n der höchste Koeffizient von f() und b m der höchste Koeffizient von g(), so ist, wie wir gerade gesehen haben, der höchste Koeffizient von f()g() gleich c n+m = a n b m Wegen a n 0 und b m 0 ist c n+m = a n b m 0 Insbesondere hat f()g() den Grad n + m Monome Polnome der Form n nennt man Monome Polnome sind also nichts anderes als Linearkombinationen von Monomen Hier zeigen wir die Graphen der Monome n mit 1 n 5: = = 2 = 3 = 4 = 5 Ist n gerade, so ist n eine gerade Funktion, ist n ungerade, so ist n eine ungerade Funktion Dabei heißt eine Funktion f() gerade, wenn f( ) = f() für alle gilt, wenn also der Graph von f spiegelsmmetrisch zur -Achse ist Die Funktion f() heißt ungerade, wenn f( ) = f() für alle gilt, wenn also der Graph von f punktsmmetrisch zum Ursprung ist Für das Rechnen mit Polnomen ist es oft wichtig, die Potenzen von ( + ) n für beliebiges n zu kennen! Es gelten die folgenden allgemeinen binomischen Formeln: ( + ) 2 = ( + ) 3 = ( + ) 4 = Die Koeffizienten, die hier auftreten, sind die des Pascal schen Dreieck: Dabei stehen links und rechts außen jeweils Einsen, die weiteren Zahlen erhält man jeweils als Summe der beiden darüberstehenden Zahlen Der Name verweist auf Blaise Pascal ( ), diese Zahlenanordnung war aber auch schon dem persischen Astronomen Omar Chaam ( ) und dem chinesischen Mathematiker Yang Hui (ca ) bekannt

4 Leitfaden 5-4 Skalierung: Durch lineares Skalieren kann man erreichen, dass einige der Koeffizienten eines Polnoms zu Null oder zu 1 werden: Vertikales Verschieben: dies betrifft den Koeffizienten a 0 Man kann a 0 = 0 annehmen Vertikale Streckung/Stauchung; Spiegelung an der -Achse: Man kann a n = 1 annehmen ( Normierung ) Horizontales Verschieben: Sei f() schon normiert Ersetze durch 1 n a n 1 Dann erhält man ein Polnom der Form n +b n 2 n 2 + Man kann demnach a n 1 = 0 annehmen Zum Beweis verwendet man die oben genannten allgemeinen binomischen Formeln (im Abschnitt 52 wird der Fall n = 3 genauer betrachtet) 52 Polnome vom Grad 3 Skalieren Sei f() ein Polnom vom Grad 3 Durch Normierung (also vertikale Streckung oder Stauchung, gegebenenfalls zusätzlich noch Spiegelung an der -Achse) erhält man ein normiertes Polnom Sei nun f() = 3 + a a 1 + a 0 Betrachte g() = f( 1 3 a 2) = ( 1 3 a 2) 3 + a 2 ( 1 3 a 2) 2 + a 1 ( 1 3 a 2) + a 0 = a a Hingeschrieben sind nur die Potenzen mit Eponent größer oder gleich 2 Man sieht, dass der zweithöchste Koeffizient von g() gleich Null ist Der Übergang von f() zu g() entspricht einer Horizontalverschiebung, und zwar wird die -Achse um 1 3 a 2 nach rechts verschoben Sei nun f() = 3 + b 1 + b 0 Durch Vertikal-Verschiebung kann man den Koeffizienten b 0 zu Null machen Auf diese Weise erhalten wir also die Form: f() = 3 + b Diese Funktion ist Summe von 3 und einer Proportionalität Es bleibt noch die horizontale Streckung/Stauchung zu thematisieren Wir unterscheiden drei Fälle: Fall 1: b = 0 Dann ändern wir nichts Fall 2: b > 0, etwa b = β 2 Ist f() = 2 + β 2, so ist g() = 1 β 3 f(β) = 1 β 3 ( (β) 3 + β 2 (β) ) = 3 +

5 5-5 Funktionen Fall 3: b < 0, etwa b = β 2, also f() = 2 β 2, so ist g() = 1 β 3 f(β) = 1 β 3 ( (β) 3 β 2 (β) ) = 3 Es gibt also nur drei wesentlich verschiedene Fälle: b = 1, b = 0, b = 1 Insgesamt sehen wir: Satz Durch lineares Skalieren kann jedes Polnom vom Grad 3 in die Form gebracht werden f() = 3 + b mit b { 1, 0, 1} = = = 3 = 3 = 3 + In allen drei Fällen sehen wir: Für 0 ist der Graph rechts-gekrümmt, für 0 dagegen links-gekrümmt Der Ursprung ist ein Wendepunkt Ganz allgemein betrachten wir ein normiertes Polnom f() vom Grad 3 und dessen Ableitungen: f() = 3 + a a 1 + a 0 f () = a 2 + a 1 f () = 6 + 2a 2 Für einen Wendepunkt gilt: die zweite Ableitung verschwindet Nun ist die zweite Ableitung eine lineare, nicht-konstante Funktion, sie besitzt also genau eine Nullstelle, nämlich 0 = 1 3 a 2 (denn aus f ( 0 ) = 0 folgt 6 0 = 2a 2, also 0 = 1 3 a 2) Es sei daran erinnert, dass wir beim linearen Skalieren die -Achse um 1 3 a 2 nach rechts verschoben haben: auf diese Weise haben wir also gerade erreicht, dass der Wendepunkt auf der -Achse liegt Nullstellen Offensichtlich besitzt jedes Polnom f() vom Grad 3 mindestens eine Nullstelle

6 Leitfaden 5-6 Ist die Tangensteigung im Wendepunkt positiv oder Null, so besitzt f() genau eine Nullstelle Sucht man also weitere Nullstellen, so muss man annehmen, dass die Tangentensteigung im Wendepunkt negativ ist Hier kommt es offensichtlich auf die Vertikalverschiebung an: Wie man sieht, gibt es höchstens drei Nullstellen Wenn es zwei Nullstellen gibt, dann ist die -Achse Tangente für eine dieser Nullstellen: man sagt, dass es sich um hier um eine doppelte Nullstelle handelt Eine Formel für die Nullstellen werden wir erst dann angeben können, wenn wir die kompleen Zahlen eingeführt haben werden 53 Teilen mit Rest, Abspalten von Nullstellen Seien f(), g() zwei Polnome Man nennt g() einen Teiler von f(), falls es ein Polnom q() mit f() = g()q() gibt Üblicherweise setzt man hier voraus, dass zumindest das Polnom g() von Null verschieden ist Dann ist q() eindeutig bestimmt! Es gibt ein Verfahren, mit dem man feststellen kann, ob g() ein Teiler von f() ist: man teilt f() durch g() mit Rest: Satz Seien f(), g() Polnome, sei g() nicht das Null-Polnom Dann gibt es Polnome q() und r() mit f() = g()q() + r() mit gradr() < gradg() Diese Polnome q() und r() sind eindeutig bestimmt Beweis: Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit: Sei m = gradg() Sei f() = g()q() + r() = g()p() + s() mit Polnomen q(), p(), r(), s() und es sei gradr() < m und auch grads() < m Die zweite Gleichheit können wir umschreiben zu g()(q() p()) = s() r()

7 5-7 Funktionen Rechts steht ein Polnom mit Grad echt kleiner als m, links steht ein Vielfaches des Polnoms g() Aber gradg() = m Vielfache von g() haben Grad größer oder gleich m, mit der einzigen Aussnahme, wenn g() mit dem Nullpolnom multipliziert wird Wir sehen also: q() p() muss das Nullpolnom sein, also q() = p() und demnach ist dann auch s() r() das Nullpolnom, also s() = r() Die Eistenz von q() und r() zeigt man induktiv: Ist gradf() < gradg(), so nimmt man für q() das Nullpolnom, und setzt r() = f() Ist grad f() g(), so schaut man sich zuerst nur die höchstens Koeffizienten von f() und g() an: sei etwa gradf() = n und gradg() = m, und f() = a n n + und g() = b m m + mit a n 0, b m 0 Nach Voraussetzung ist n m, wir können also das Polnom q 1 () = a n b m m n bilden Wir multiplizieren g() mit q 1 () und erhalten ein Polnom vom Grad n mit höchstem Koeffizienten b m an b m = a n Bilden wir daher die Differenz f() g()q 1 (), so erhalten wir ein Polnom, dessen Grad echt kleiner als n ist Nun wird das gleiche Verfahren für f() g()q 1 () angewandt: wieder ziehen wir ein Vielfaches von g() ab, usw Das Verfahren wird einfacher, wenn das Polnom g() normiert ist, denn dann brauchen wir nicht immer b m im Nenner mitschleppen Hier ein Beispiel: Wir wollen f() = durch g() = 2 +1 mit Rest teilen ( ) : ( 2 + 1) = ( ) 5 3 ( ) ( 2 3 2) ( 2 +1) +3 Rechts steht das Polnom q() = , unten steht das Restpolnom r() = 3 Insgesamt haben wir gezeigt: f() = = ( 2 + 1)( ) + 3 = g() q() + r() Wie beim Rechnen mit ganzen Zahlen kann man das Teilen mit Rest dazu benutzen, den größten gemeinsamen Teiler zweier von Null verschiedener Polnome f(), g() zu bestimmen Dafür verwendet man den euklid schen Algorithmus: Man teilt f() durch g 1 () = g() mit Rest Ist

8 Leitfaden 5-8 der Rest Null, so ist g() ein Teiler von f() und demnach ein gemeinsamer Teiler von f() und g() mit größtmöglichem Grad Sei andernfalls g 2 () der Rest Man teilt nun g 1 () durch g 2 () mit Rest Nun gilt: Ist der Rest Null, so sieht man leicht, dass g 2 () ein gemeinsamer Teiler von f() und g(), und zwar wieder mit größtmöglichem Grad Andernfalls bezeichnet man den neuen Rest mit g 3 () und teilt nun g 2 () durch g 3 () mit Rest Und so weiter Das Teilen mit Rest liefert folgendes wichtige Ergebnis: Satz Sei f() ein von Null verschiedenes Polnom Sei a R Genau dann ist f(a) = 0, wenn das Polnom a das Polnom f() teilt Beweis: Ist a ein Teiler von f(), so gibt es ein Polnom g() mit f() = ( a)g() Setzen wir a ein, so erhalten wir f(a) = (a a)g(a) = 0 g(a) = 0 Umgekehrt setzen wir voraus, dass f(a) = 0 gilt Wir teilen f() durch das Polnom a mit Rest: Wir erhalten Polnome q(), r() mit f() = ( a)q() + r() mit gradr() < grad( a) Nun ist aber grad( a) = 1, also gilt gradr() < 1, demnach ist r() eine Konstante, sagen wir r() = c R, es gilt also f() = ( a)q() + c Setzen wir = a, so sehen wir: 0 = f(a) = (a a)q(a) + c = 0 + c = c Demnach gilt f() = ( a)q() Ist also a eine Nullstelle eines Polnoms f() vom Grad n 1, so können wir f() in der Form f() = ( a)q() schreiben, dabei ist dann q() ein Polnom vom Grad n 1; man sagt, dass man q() durch Abspalten einer Nullstelle erhält Nun können wir fragen: Besitzt q() Nullstellen? Beachte: jede Nullstelle von q() ist natürlich auch Nullstelle von f() Besitzt q() mindestens eine Nullstelle, so werden wir auch diese abspalten, usw Insgesamt erhaltn wir folgenden Satz: Satz Jedes Polnom vom Grad n 0 lässt sich als Produkt ( a 1 )( a 2 ) ( a t )p() schreiben, wobei p() ein Polnom ohne Nullstellen ist Dabei hat p() den Grad n t Folgerung 1: Ein Polnom vom Grad n 0 hat höchstens n Nullstellen Folgerung 2 Ist f() ein Polnom vom Grad n 1 und ist c R, so gibt es höchstens n Zahlen a i R mit f(a i ) = c Beweis: Betrachte das Polnom g() = f() c Wegen gradf() 1, hat g() den gleichen Grad wie f(); insbesondere ist es nicht das Null-Polnom Demnach hat g() höchstens n Nullstellen Die Nullstellen von g() sind aber genau die Zahlen a i R mit f(a i ) = c

9 5-9 Funktionen Folgerung 3 Sei f() ein Polnom vom Grad n Ist n 1, so hat f() höchstens n 1 lokale Etrema Ist n 2, so hat f() höchstens n 2 Wendepunkte Beweis: Aus gradf() = n 1 folgt gradf () = n 1 0 Jedes lokale Etremum von f() ist eine Nullstelle von f () Folgerung 1 zeigt, dass es nur höchstens n 1 lokale Etrema geben kann Aus gradf() = n 2 folgt gradf () = n 2 0 Jeder Wendepunkt von f() ist eine Nullstelle von f () Folgerung 1 zeigt, dass es nur höchstens n 2 Wendepunkte geben kann Im Rahmen der Behandlung der kompleen Zahlen werden wir folgenden Satz kennenlernen: Fundamentalsatz der Algebra Jedes Polnom vom Grad n 1 lässt sich als Produkt von Polnomen vom Grad 1 und 2 schreiben Insbesondere gilt also: Jedes Polnom vom Grad n 1 ohne Nullstellen ist ein Produkt von Polnomen vom Grad 2 54 Grobvorstellung polnomialer Funktionen Im Abschnitt 12 wird definiert werden, was es bedeutet, wenn man sagt, dass eine Funktion stetig ist Grob gesagt, soll dies bedeutet, dass man den Graph (in jedem Intervall, in dem die Funktion definiert ist) ohne Absetzen des Bleistifts zeichnen kann Wir werden dann beweisen: Polnome sind stetige Funktionen (B) Beschränktheit Jede stetige Funktion auf einem Intervall [a, b] ist beschränkt Das soll heißen: Die Funktion f() sei auf einem Intervall [a, b] definiert und dort stetig Dann gibt es eine reelle Zahl v mit f() v für alle [a, b] (Z) Zwischenwertsatz Für eine stetige Funktion auf einem Intervall [a, b] treten alle Zahlen in [f(a), f(b)] als Werte auf Das soll heißen: Die Funktion f() sei auf einem Intervall [a, b] definiert und dort stetig Zu jedem reellen Zahl r [f(a), f(b)] gibt es ein [a, b] mit f() = r Wir werden diese Eigenschaften von Polnomen non verwenden, um eine Grobvorstellung der zugehörigen Graphen zu entwickeln Als erstes notieren wir: Eine auf R definierte stetige Funktion ohne Nullstellen nimmt entweder nur positive oder aber nur negative Werte an Beweis: Dies folgt unmittelbar aus dem Zwischenwertsatz Wie sieht eine Funktion der Form ( a 1 )( a 2 ) ( a t )p()

10 Leitfaden 5-10 mit einer stetigen Funktion p(), die keine Nullstellen hat, aus? Wir wollen notieren, wann f() positiv oder negativ ist Offensichtlich häng dies gar nicht von p() ab; es reicht also das Polnom f() = ( a 1 )( a 2 ) ( a t ) zu betrachten Regel Ist 0 keine Nullstelle von f() = ( a 1 )( a 2 ) ( a t ), so ist f( 0 ) genau dann positiv, wenn die Anzahl der a i mit 0 < a i gerade ist Beweis: Ist 0 > a i, so ist ( 0 a i ) > 0 Ist 0 < a i, so ist ( 0 a i ) < 0 Die Anzahl der a i mit 0 < a i sei s Wir sehen also: von den t Faktoren ( 0 a i ) im Produkt f( 0 ) = ( 0 a 1 )( 0 a 2 ) ( 0 a t ) sind t s Faktoren positive und s Faktoren negativ Beispiel: Seien c 1 < c 2 < c 3 < c 4 < c 5 reelle Zahlen Wir betrachten das Polnom f() = ( c 1 )( c 2 ) 3 ( c 3 ) 2 ( c 4 )( c 5 ) Dies ist ein Polnom vom Grad 8 und die Regel besagt, dass der Graph von f() innerhalb der folgenden nicht-punktierten Bereiche verläuft: c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 Ungefähr könnte der Graph wie folgt aussehen: c 1 c 2 c 3 c 4 c 5

11 5-11 Funktionen Satz Sei f() ein normiertes Polnom mit Grad n 2 Dann gibt es positive reelle Zahlen u, v mit folgenden Eigenschaften: Ist u, so ist f() v Ist u, so ist f() Ist u, so ist f() falls n ungerade f() falls n gerade Der Graph von f() verläuft also innerhalb der folgenden nicht-punktierten Bereiche: = u v n ungerade = u v n gerade Beweis: Sei a eine reelle Zahl mit a i a für alle i Dann gilt für alle 1 und i n 1 ± a i i a i i a i a n 1, und demnach ist n 1 i=0 a i i n 1 i=0 an 1 = na n 1, also na n 1 + n 1 i=0 a i i 0 Setzen wir also u = ma{2na, 1}, so ist für u f() = n + n 1 i=0 a i i 2na n 1 + n 1 i=0 a i i = na n 1 + na n 1 + n 1 i=0 a i i na n 1 (die letzte Abschätzung gilt wegen n 2) Entsprechend erhält man die genannten Abschätzungen für u

12 Leitfaden 5-12 Auf diese Weise haben wir u erhalten Die Beschränktheit (B) auf dem Intervall [ u, u] liefert die Schranke v Insbesondere gilt: Jedes Polnom ungeraden Grads hat eine Nullstelle (Zum Beweis verwende (Z)) Jedes normierte Polnom geraden Grads ist nach unten beschränkt 55 Interpolation Satz Seien reelle Zahlen 0, 1,, n, 0, 1, n gegeben, dabei seinen die Zahlen i paarweise verschieden Dann gibt es genau ein Polnom f() mit Grad höchstens n, sodass gilt f( i ) = i für 0 i n Beweis: Eindeutigkeit Gilt f( i ) = i = g( i ) für alle 0 i n, so sind die Zahlen 0,, n (paarweise verschiedene) Nullstellen der Funktion f() g() Diese Funktion ist ein Polnom vom Grad höchstens n Da es mindestens n + 1 Nullstellen besitzt, muss es das Nullpolnom sein, also f() = g() Eistenz: Lagrange-Interpolation Setze p i () = ( 0) ( i 1 )( i+1 ) ( n ) ( i 0 ) ( i i 1 )( i i+1 ) ( i n ) dies ist ein Polnom vom Grad n (beachte: der Nenner ist eine reelle Zahl verschieden von Null) Es gilt: { 1 falls j i p i ( j ) = 0 sonst Sei nun Dann gilt offensichtlich f() = n f( j ) = n i=0 f( i)p i () i=0 f( i)p i ( j ) = f( j ), denn die Summanden mit Inde i j sind Null, derjenige mit Inde i = j ist f( j )p j ( j ) = f( j ) 1 = f( j ) Hier die Formeln für n = 1 und n = 2 Im Fall n = 1 sind reelle Zahlen 0, 1, 0, 1 mit 0 1 gegeben Wir erhalten das lineare Polnom und es gilt f( 0 ) = 0, f( 1 ) = 1 f() = ,

13 5-13 Funktionen Im Fall n = 2 sind 0, 1, 2, 0, 1, 2 gegeben, mit Wir erhalten das quadratische Polnom ( 1 )( 2 ) f() = 0 ( 0 1 )( 0 2 ) + ( 0 )( 2 ) 1 ( 1 0 )( 1 2 ) + ( 0 )( 1 ) 2 ( 2 0 )( 2 1 ) und es gilt f( 0 ) = 0, f( 1 ) = 1, f( 2 ) = 2 Man beachte, dass der Grad von f() nicht unbedingt 2 sein muss; man weiß nur gradf() 2 (so ist für 0 = 1 = 2 = 0 das Polnom f() offensichtlich das Nullpolnom) 56 Rationale Funktionen Definition: Sind f(), g() Polnome und ist g() nicht das Nullpolnom, so nennt man die Funktion h() = f() g() eine rationale Funktion Der Definitionsbereich D h von h() ist die Menge der reellen Zahlen r mit g(r) 0 Ist r eine Nullstelle von g(), so nennt man r eine Singularität der Funktion h() Hat g() den Grad m, so wissen wir, dass g() höchstens m Nullstellen besitzt, also gibt es höchstens m Singularitäten Der Definitionsbereich ensteht also aus R durch Weglassen der Singularitäten Man unterscheidet zwei Fällen: Sei 0 eine Singularität von h(), also eine Nullstelle des Nenners g() Fall 1 Ist 0 auch Nullstelle des Zählers f() und ist die Multiplizität t von 0 als Nullstelle des Nenners kleiner oder gleich der Multiplizität von 0 als Nullstelle des Zählers, so kann man im Zähler und Nenner t Faktoren 0 wegkürzen: wir vergrößern auf diese Weise den Definitionsbereich um den Punkt 0 (ansonsten ändert sich nichts an der Funktion) In diesem Fall spricht man von einer hebbaren Singularität Fall 2: Entweder ist 0 keine Nullstelle des Zählers oder aber die Multiplizität s von 0 als Nullstelle des Zählers ist echt kleiner als die Multiplizität t von 0 als Nullstelle des Nenners In diesem Fall nennt man 0 einen Pol der Ordnung t s (natürlich wird man auch in diesem Fall kürzen, also Zähler und Nenner durch ( 0 ) s teilen; dabei ändert sich nun nicht einmal der Definitionsbereich)

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