mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Baumann

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1 mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Geometrie: Winkelfunktionen, Trigonometrie, Additionstheoreme, Vektorrechnung von Rolf Baumann 1. Auflage mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Baumann schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Mentor 2008 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN

2 Inhalt Vorwort Die Einstiegstests A Winkelfunktionen im Dreieck Einstiegstest Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck Bogenmaß Die Graphen der Winkelfunktionen von 0 bis Erste Anwendungen der Winkelfunktionen Sinussatz und Kosinussatz Anwendungen Wann brauche ich was? B Allgemeine trigonometrische Funktionen Einstiegstest Steigung und Schnittwinkel Stumpfwinklige Dreiecke Die vollständigen Graphen der Winkelfunktionen Graph der Sinusfunktion Graph der Kosinusfunktion Graph der Tangensfunktion Die allgemeine Sinusfunktion Gleichungen mit Winkelfunktionen C Anwendungen der Winkelfunktionen Einstiegstest Schnittwinkel zwischen zwei Geraden Abstand eines Punktes von einer Geraden Fläche eines Parallelogramms Fläche eines Dreiecks Umkreisradius D Vektorrechnung Einstiegstest Vektoraddition Vektorsubtraktion Vervielfachung von Vektoren Betrag eines Vektors Lineare Abhängigkeit Linearkombinationen Orthogonale Vektoren Verschiedene Schreibweisen Winkel zwischen zwei Vektoren Geschwindigkeiten als Vektoren Flächenberechnung mit Vektoren

3 Lösungen Zeichnungsvorlagen Mathematische Zeichen und Abkürzungen Stichwortverzeichnis Planfiguren erkennst du in diesem Buch an einem P vor der Nummer. Beispiel: P39 Figur Erstelle dir rechtzeitig vier Kopien der Figur 63 aus den Zeichnungsvorlagen. Dieses leere Koordinatensystem kannst du nämlich auch für die Figuren 38, 68, 69 und 71 gut gebrauchen! Die folgenden Buttons helfen dir bei der Orientierung: Näheres zu den Einstiegstests findest du auf Seite 6. Merke klar: Das musst du dir merken! Definition legt fest, was ein Begriff bedeutet. Tipp gibt dir Hinweise und Anleitungen. Regel bringt eine mathematische Gesetzmäßigkeit zum Ausdruck. Achtung! Pass auf, dass du hier keine Fehler machst! 4

4 Der Graph der Funktion y = a sin x geht aus dem Graphen der Funktion y = sin x durch Streckung in y-richtung mit dem Streckungsfaktor a hervor. Allgemeine trigonometrische Funktionen Der Parameter a bewirkt eine Streckung in y-richtung. Für a > 1 sagt man auch Dehnung / Stauchung. Für a < 1 sagt man auch Dehnung / Stauchung. B10 Zeichne in das Koordinatensystem der Figur 44a aus den Zeichnungsvorlagen den qualitativen Verlauf des Graphen der Funktion y = 3 sin x bzw. y = 3 sin φ im Bereich 0 x 2π bzw. 0 φ 360. Hierbei ist eine Wertetabelle nicht erforderlich; nur die Funktionswerte für 30 und die Vielfachen hiervon sollen exakt sein. (Damit erreichst du neben den Hoch- und Tiefpunkten auch die Nullstellen sowie genügend Zwischenpunkte, die dir das exakte Zeichnen des Graphen erlauben.) Lösungshinweis: Im Lösungsteil findest du die Graphen der soeben gezeichneten Funktionen y = 3 sin x und y = 2 sin x sowohl einzeln in einem Koordinatensystem als auch gemeinsam mit dem Graphen der zugehörigen Grundfunktion in Figur 44b. Durch diese Methode, die auch noch in weiteren Beispielen und Aufgaben angewandt wird, kannst du leichter erkennen, wie der Grundgraph durch die Parameter a, b und c verändert wird. Zeichne den Graphen der Funktion y = sin (2x) bzw. y = sin (2φ) im Bereich 0 x 2π bzw. 0 φ 360. Beispiel 2 Ergänze die Wertetabelle: φ , ,5 75 2φ sin (2 φ) 0 0,50 φ φ sin (2 φ) 1 Tabelle 12 63

5 CAnwendungen der Winkelfunktionen 1. Bestimme die Steigung m der Geraden g 2 so, dass gilt: g 1 g 1 g 1 : y = 0,5x 3; g 2 : y = mx + 2; m =... 8 P. 2. Gegeben sind die Punkte A( 2 1) und C(1 7). Bestimme den Punkt B so, dass das Dreieck ABC gleichschenklig-rechtwinklig ist, mit γ = 90. B(......) 15 P. 3. Bei einem Parallelogramm ABCD sind die Seiten a = 9 cm und b = 4 cm sowie der Winkel β = 135 gegeben. Berechne die Fläche des Parallelogramms. A Parallelogramm =... cm 2 19 P. 4. Bei einem Dreieck ABC sind die Seiten b = 7 dm und c = 9 dm sowie der Winkel α = 70 gegeben. Berechne die Fläche des Dreiecks. A Dreieck = P. 5. Bei einem Dreieck ABC sind die Seiten a = 8 dm und b = 5 dm sowie der Winkel α = 70 gegeben. a) Berechne den Umkreisradius r des Dreiecks. r =... 6 P. b) Berechne den Winkel β. β =... 6 P. c) Berechne die Länge der Seite c. c =... 6 P. Summe deiner Punkte:... 71

6 11. Flächenberechnung mit Vektoren Vektorrechnung Für die Flächenberechnung eines Dreiecks steht noch eine weitere Methode zur Verfügung, die hier aus Platzmangel nicht bewiesen wird. Dazu brauchen wir das sogenannte Kreuzprodukt zweier Vektoren. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a definiert als: = a x a y und b = b x b y ist a b = a x a y b x b y = a x b y a y b x Beachte: Beim Kreuzprodukt gilt, wie bei der Multiplikation, das Kommutativgesetz: a b = b a Bestimme das Kreuzprodukt der Vektoren a = 2 5 und b = 1 9. Beispiel a b = = =... Für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks mit dem Kreuzprodukt zweier Vektoren gilt: A = 1 2 AB AC = 1 2 B x A x B y A y C x A x C y A y aufge- Wird das Dreieck ABC von den beiden Vektoren AB und AC spannt, ist der Eckpunkt A Ausgangspunkt der Vektoren. P91 Figur 113

7 Lösungen Teil A Winkelfunktionen im Dreieck Seite 7 1. c = 5,20 cm; β = 30 ; γ = a) π 6,28 b) 60 1 π 1,05 3 c) 270 1,5 π 4,71 Seite 8 3. a) Tangensfunktion b) Sinusfunktion c) Kosinusfunktion 4. a) q = 8,60 cm; QPR = 35,54 ; PRQ = 54,46 ; A = 17,50 cm 2 b) q = 7,78 cm; r = 5,96 cm; PRQ = 50 ; A = 14,90 cm 2 c) p = 7,66 cm; r = 6,43 cm; QPR = 50 ; A = 24,63 cm 2 5. VUW = 33,56 ; WVU = 50,70 ; UWV = 95,74 6. EDF = 30 ; e = 9,40 cm; f = 9,85 cm Die beiden Dreiecke ZPQ und ZP Q sind ähnlich zueinander. Die Strecke [PQ] und ihre Bildstrecke [P Q ] verlaufen parallel zuei nander. In ähnlichen Figuren sind die entsprechenden Winkel gleich groß. In ähnlichen Figuren stehen die Längen entsprechender Seiten im gleichen Verhältnis. Seite 9 Seite 10 Für den Winkel β ist b Gegenkathete und a Ankathete. In Figur 3 gilt: ZA 1 X 1 ZA 2 X 2 ZA 3 X 3 ZA 4 X 4 Seite 11 In Figur 4 gilt: ZB 1 X 1 ZB 2 X 2 ZB 3 X 3 ZB 4 X 4 In Figur 5 gilt: ZC 1 X 1 ZC 2 X 2 ZC 3 X 3 ZC 4 X 4 Es gilt für die Winkel bei Z jeweils: Die waagerechten Seiten sind Ankatheten. Die dazu senkrechten Seiten sind Gegenkatheten. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Seite 12 Für Figur 3 gilt: Für Figur 4 gilt: A 1 X 1 ZX 1 = A 2X 2 ZX 2 = A 3X 3 ZX 3 = A 4X 4 ZX 4 B 1 X 1 ZX 1 = B 2X 2 ZX 2 = B 3X 3 ZX 3 = B 4X 4 ZX 4 C Für Figur 5 gilt: 1 X 1 = C 2X 2 = C 3X 3 = C 4X 4 ZX 1 ZX 2 ZX 3 ZX 4 Der Wert der Quotienten hängt jeweils nur von der Größe des Winkels bei Z ab. 115