Mathematik Lineare Gleichungssysteme Grundwissen und Übungen

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Mathilde Lichtenberg
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1 Mathematik Lineare Gleichungsssteme Grundwissen und Übungen Stefan Gärtner 00-00

2 Gr Mathematik Lineare Gleichungsssteme Seite Lineare Gleichung: a + b c ( a,b R) ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ( und ). Beispiele: Die Lösung dieser Gleichung sind alle Zahlenpaare (/), die die Gleichung zu einer wahren Aussage machen. Stellt man die Lösungsmenge einer linearen Gleichung im Koordinatensstem graphisch dar, so erhält man eine Gerade. Um die Gerade einfach zeichnen zu können, bringt man die Gleichung am besten durch äquivalente Umformungen in die Normalform: Beispiele: <> + : <> - <> Lineares Gleichungssstem: a + a + b c b c Variablen (Unbekannten) ( und ). (a, b, c, a, b, c R )ist ein lineares Gleichungssstem mit zwei Beispiel: Durch die beiden Gleichungen sind zwei Bedingungen für die Variablen und formuliert. Die Lösung des linearen Gleichungssstems sind also alle alle Zahlenpaare, die beide Gleichungen gleichzeitig zu einer wahren Aussage machen. Anschaulich bedeutet dies, dass die Koordinaten der gemeinsamen Punkte (Im Beispiel der Schnittpunkt (/) die Lösung des Gleichungsstems darstellen.

3 Gr Mathematik Lineare Gleichungsssteme Seite Lösungstpen von linearen Gleichungssstemen: Ein lineares Gleichungssstem kann genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen besitzen. Beispiel für genau eine Lösung: Die beiden Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam, den Schnittpunkt. L {(/)} Beispiel für keine Lösung: + Die beiden Geraden verlaufen parallel, sie haben keinen gemeinsamen Punkt. L { } Beispiel für unendlich viele Lösungen: - - Die beiden Geraden sind identisch, ihre Graphen liegen aufeinander, sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte. L {(/) - -}

4 Gr Mathematik Lineare Gleichungsssteme Seite Lösungsverfahren für lineare Gleichungsssteme:. Gleichsetzungsverfahren Beispiel: <> <> - + <> - :(-) (-) - <> -7 L {(-/-7)} Erläuterungen zum Verfahren: Gesucht ist das Zahlenpaar (/), das beide Gleichungen gleichzeitig zu einer wahren Aussage macht. Die gesuchte Zahl muss sowohl durch - (. Gleichung) als auch durch + (. Gleichung) darstellbar sein. Daher muss das so sein, dass - + gilt. Man kann also die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen, um zu ermitteln. Diese neue Gleichung wird nun nach aufgelöst, und man erhält den in Frage kommenden -Wert. Durch einsetzen des gefundenen -Wertes in eine der Gleichungen des Gleichungssstems erhält man dann den zu gehörenden -Wert. Das Zahlenpaar (/) ist damit Lösung des Gleichungssstems.. Einsetzungsverfahren Beispiel: + () () - () <> + <> ( ) ( ( ) in () <> ( <> 7 <> 7 ( ) + ( ) in ( ) <> + 7 Erläuterungen zum Verfahren: Zunächst wird eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst (hier die. Gleichung nach ) Die Bedingung für und ändert sich dabei nicht, d. h. es wird äquivalent umgeformt. Die neue Gleichung stellt den gesuchten -Wert mit Hilfe des gesuchte - Wertes dar. Statt kann nun also auch + stehen. Dieses wird ausgenutzt, um in der. Gleichung die Zahl zu ersetzen. Für wird + eingesetzt. Diese neue Gleichung wird nach aufgelöst, und man erhält den in Frage kommenden -Wert. Durch Einsetzen des gefundenen -Wertes in eine der Gleichungen des Gleichungssstems erhält man den zu gehörenden - Wert. 0 L {( / )} 7 7 Das Zahlenpaar (/) ist damit Lösung des Gleichungssstems.

5 Gr Mathematik Lineare Gleichungsssteme Seite. Additionsverfahren a) Vorüberlegungen am Beispiel: Das Gleichungssstem + () () hat die Lösung (/). Das ist der Schittpunkt der beiden zu () und () gehörenden Geraden. Addiert man nun die beiden Gleichugen des Sstems, so erhält man die Gleichung (). <> Auch zu dieser Gleichung gehört eine Gerade, die ebenfalls durch den Punkt (/) verläuft, denn: ein Zahlenpaar, das Lösung der Gleichung () und () ist, ist auch Lösung der durch Addition entstandenen Gleichung (). <> + + () () () () L {(/))} L {(/))} Damit gilt, dass jede beliebige Zweierkombination der drei Gleichugen (), () oder () dieselbe Lösung besitzt. Die Gleichungsssteme sind also aquivalent. <> () () L {(/))} Diese Tatsache wird nun ausgenutzt, um lineare Gleichungsssteme zu lösen: b) Verfahren () <> 6 8 () - () <> 0 0 () + () 6 <> 6 <> <> L (/-) Das Additionsverfahren wird so eingesetzt, dass durch das Addieren in einer eine der beiden Gleichungen eine der Variablen entfällt und eine Gleichung mit nur einer Variablen entsteht. Dazu muss man evtl. zuvor eine (oder auch beide) Gleichungen durch äquivalente Umformungen vorbereiten. Anschliessend wird addiert. Das neue Gleichungssstem enthält dann eine der alten Gleichungen und statt der zweiten Gleichung die neue, durch Addition entstandene Gleichung. Aus der Gleichung mit einer Variablen wird der erste Wert bestimmt. Durch Einsetzen in die andere Gleichung wird dann der zweite Wert berechnet und man erhält die Lösung. Auch das letzte Gleichungssstem lässt sich graphisch deuten: Es liegen zwei Gleichungen für zwei Geraden (senkrecht und waagerecht) vor, die sich im Lösungspunkt schneiden.

6 Gr Mathematik Lineare Gleichungsssteme Seite 6 Lineare Gleichungssteme mit Variablen: Das Additionsverfahren eignet sich insbesondere, wenn Gleichungsssteme mit mehr als zwei Gleichungen zu lösen sind. Beispiel : <> 6 + z <> 8 + z <> - L ( / - / ) () () () () () + () () + () () (' ) (' ) (' ) (' ) (' ) Nebenrechnungen: z - () ( ) ( ) 90+ ( ) <> 6 + <> - <> <> - <> z 0 <> z Erläuterungen zum Verfahren:. Als erstes muss man entscheiden, welche Variable aus welchen beiden Gleichungen entfernt werden soll. Hier fällt die Entscheidung für das Eliminieren von z aus den beiden Gleichungen () und ().. Nun wird die erste Gleichung übernommen und die beiden anderen Gleichungen durch Addition der Gleichungen so umgeformt, dass eine Variable aus beiden Gleichungen verschwindet. Dazu sind evtl. entprechende Nebenrechnungen erforderlich. Hier die Multiplikation der. Gleichung mit.. Aus den beiden Gleichungen mit zwei Varablen wird nun wiederum aus einer der beiden Gleichungen eine weitere Variable eliminiert. Hier fällt die Entscheidung für das Eliminieren von aus der Gleichung ( ). Man erhält die tpische Dreiecksform für das Gleichungssstem.. Nun können (evtl. in Nebenrechnungen) nacheinander alle Variablen bestimmt werden: - Die erste Variable aus der Gleichung mit einer Variablen ( hier ) - Die zweite Variable ( hier ) durch Einsetzten der berechneten Variablen ( hier ) in die Gleichung mit zwei Variablen ( hier ( ) ) - Die dritte Variable ( hier z ) durch Einsetzten der berechneten Variablen ( hier und ) in die Gleichung mit drei Variablen ( hier ( ) ) Das Additionsverfahren kann nach diesem Muster auch für Lösen von linearen Gleichunngssstemen mit (, 6 usw.) Gleichungen mit (,6 usw.) Variablen benutzt werden. Das Verfahren heißt Gauß sches Eliminationsverfahren.

7 Gr Mathematik Lineare Gleichungsssteme Seite 7 Aufgabe : Lösen sie die folgenden linearen Gleichungsssteme nach einem der drei Verfahren. Wählen Sie das Ihnen am günstigsten erscheinende Verfahren aus! a) + b) c) + d) g) e) h) 6 + ( + ) ( + ) f) i) 6 j) + 6 k) ( + )( ) ( )( + ) ( + 7)( ) ( )( + ) l) m) n) 7 7 o) 0,7 + p) Aufgabe : Bestimmen Sie in den folgenden linearen Gleichungssstemen die Zahl a so, dass das Gleichungssstem keine (genau eine) Lösung besitzt! a) 6 a b) a + c) Aufgabe : Wieviel Liter %ige Essigsäure und wie viel Liter 0%ige Essigsäure muss man mischen, um Liter %ige Essigsäure zu erhalten? Schätzen Sie erst und rechnen Sie dann! Aufgabe : Eine Wandergruppe, die km/h zurücklegt, startet um 8 Uhr am See und wandert am Gasthaus vorbei zur Hütte. Eine zweite Gruppe, die km/h zurücklegt, startet um 9 Uhr an der Hütte und wandert am Gasthaus vorbei zum See. a) Wann und wo trefen sich die Gruppen? b) Wann müssten die Gruppen jeweils starten, um sich genau am Gasthaus zu treffen? + a

8 Gr Mathematik Lineare Gleichungsssteme Seite 8 Aufgabe : Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichungsssteme: a) z 0 b) + z 9 c) 6 z 7 d) 7 e) f) 7 8 g) h) 7 i) 6 k) 6 + 9z 0 0 l) 0 m) + 0 Ergebnisse: zu Aufgabe ) 7 a) ( / ) b) (/-) c) (/) d) keine Lösung e) (/+) f) (-/) g) (/ ) h) ( / ) i) (/-) j) (/ + ) k) (/7) l) keine Lösung 6 9 m) ( / ) n) (-/-) o) ( / ) p) (0 / -) zu Aufgabe ) a) a b) a c) a zu Aufgabe ) Liter (, ccm) 0%ige Lösung und Liter (0,66 ccm) % ige Lösung zu Aufgabe ) a) TIP: Koordinatensstem b) TIP: Rückwärtsrechnen zu Aufgabe ) a) L {( / / )} b) L {(//7)} c) L {(-//)} d) L {(/-/)} e) L {(-//)} f) L {(0//-)} g) L {(//0)} h) L {(/0/-)} i) L {(/-/-)} k) L {( / / )} l) L {(-/-8/)} m) L {(/-7/)}

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