Basiswissen Analytische Geometrie

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1 Basiswissen Analytische Geometrie Alle Grundlagen und Rechentechniken der analytischen Geometrie S. und deren beschreibende Verfahren Wissenskatalog der Grundlagen. Lösen einfacher linearer Gleichungssysteme (LGS) S.. Lagebeziehungen S.7. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. Parallelität und Orthogonalität. Ebenengleichung aus Punkten bzw. Geraden bilden S.. Von der Parameterform zur Normalenform und Koordinatengleichung. Von der Koordinatengleichung zur Parameterform. Spurpunkte und Achsenabschnittsform einer Ebene S.8. Länge eines Vektors S.. Schnittmöglichkeiten S.. g g (Gerade geschnitten mit Gerade ). E g (Ebene E geschnitten mit Gerade). E E (Ebene geschnitten mit Ebene ) 7. Abstandsmöglichkeiten S.7 7. P-E (Abstand Punkt-Ebene mit Hessescher NF) 7. Verfahrensbeschreibung und Alternative zur HNF 7. P-g (Abstand Punkt-Gerade mit Hilfsebene H ) + Verfahrensbeschreibung 7. Alternative zur Hilfsebene H ( laufender Punkt ) + Verfahrensbeschreibung 7. Weitere Abstände 8. Spiegelungen S. 9. Weitere beschreibende Verfahren S. Abi-Aufgaben der Aufgabe mit kommentierten Lösungswegen S. Abi-Aufgaben der Aufgabe 7 mit kommentierten Lösungswegen S.8 Abi-Aufgaben der Aufgabe 8 mit kommentierten Lösungswegen S.

2 . Lösen einfacher linearer Gleichungssysteme (LGS) Alle Grundlagen und Rechentechniken der analytischen Geometrie und deren beschreibende Verfahren Wissenskatalog der Grundlagen. Lösen einfacher linearer Gleichungssysteme (LGS; Gleichungen, Unbekannte). Lagebeziehungen. Lineare Abhängigkeit (l.a.) und lineare Unabhängigkeit (l.u.). Parallelität und Orthogonalität ( g g ; E g ; E E ). Ebenengleichung aus Punkten bzw. Geraden bilden. Von der Parameterform zur Normalenform und Koordinatengleichung. Von der Koordinatengleichung zur Parameterform. Spurpunkte und Achsenabschnittsform einer Ebene. Länge eines Vektors. Schnittmöglichkeiten. g g (Gerade geschnitten mit Gerade ; Prinzip: Gleichsetzen). E g (Ebene E geschnitten mit Gerade g; Prinzip: Einsetzen). E E (Ebene geschnitten mit Ebene ; Prinzip: Additionsverfahren) 7. Abstandsmöglichkeiten 7. P-E (Abstand Punkt-Ebene mit Hessescher NF) 7. Verfahrensbeschreibung und Alternative zur HNF 7. P-g (Abstand Punkt-Gerade mit Hilfsebene H ) + Verfahrensbeschreibung 7. Alternative zur Hilfsebene H ( laufender Punkt ) + Verfahrensbeschreibung 7. Weitere Abstände (Abstand windschiefer Geraden ist natürlich Schulstoff, aber nicht Thema im Pflichtteil) 8. Spiegelungen Jeweils allgemeine Verfahrensbeschreibung und Beispiel von 8. Punkt an Ebene (Prinzip Lotgerade) 8. Gerade an Ebene (Prinzip Lotgerade) 8. Variante (Spiegelebene gesucht; gespiegelte Punkte gegeben) 8. Punkt an Gerade (Prinzip Hilfsebene) 8. Weitere Spiegelungen 9. Weitere beschreibende Verfahren

3 . Lösen einfacher linearer Gleichungssysteme (LGS). Lösen einfacher linearer Gleichungssysteme (LGS) Alle Lösungswege von LGSen werden in diesem Buch in der Schreibweise einer Matrix vorgestellt. Eine Matrix besteht nur noch aus den Koeffizienten eines LGS, also den Zahlen vor x, x und x. x x x x x x x x x Matrix: Geometrisch gesehen sind dies Ebenen in Koordinatengleichung, deren gemeinsame Punkte man sucht. Es gibt grundsätzlich verschiedene Lösungsmöglichkeiten eines LGS:. eindeutige Lösung (geometrisch interpretiert ist es der Schnittpunkt von Ebenen). viele Lösungen (geometrisch interpretiert ist es die Schnittgerade von Ebenen). keine Lösung (geometrisch interpretiert liegen alle Ebenen parallel zueinander). Eindeutige Lösung und allgemeines Prinzip des Lösungsweges Im ersten Schritt werden in derselben Spalte Nullen durch das Additionsverfahren, also dem Addieren von Gleichungen, produziert. Ob man dabei die.,. oder. Spalte wählt, spielt keine Rolle. Man sollte Spalten wählen, die schon Nullen, viele Einsen oder möglichst kleine Zahlen haben. Es wird dabei nur die Zeile verändert, auf die man draufaddiert. Die beiden Anderen werden immer nur abgeschrieben. Gute Spalten sind hier die. und die. Wir stürzen uns auf die. Spalte:.Zeile+.Zeile:.Zeile+.Zeile :

4 . Lösen einfacher linearer Gleichungssysteme (LGS) Wie man leicht in der.zeile sieht, kann man diese mit - kürzen. Man rechnet mit den kleineren Zahlen leichter; ist aber für die richtige Lösung nicht unbedingt notwendig: Wir sind jetzt nur noch einen Rechenschritt von der Lösung entfernt. Im zweiten Schritt werden jetzt die Zeilen miteinander addiert, die die Null besitzen, um eine.null zu erhalten (hält man sich nicht dran und nimmt doch die.zeile, rechnet man im Kreis). Also:.Zeile +.Zeile: In dieser Form kann man die Lösungen aus der Matrix ermitteln: Aus der.zeile folgt: x x x x x x Mit x in die.zeile: Mit x und Eindeutige Lösung des LGS: x in die.zeile: x oder auch L=(,,) d.h. geometrisch gesehen ist es der Schnittpunkt von Ebenen.

5 . Lösen einfacher linearer Gleichungssysteme (LGS). viele Lösungen 9.Zeile+.Zeile:.Zeile +.Zeile:.Zeile +.Zeile: Wie man also leicht sieht ergibt sich eine Nullzeile. Diese ist typisch für den Fall der vielen Lösungen, da jetzt für Unbekannte nur noch wirkliche Gleichungen bereit stehen und somit kann keine eindeutige Lösung mehr folgen: Aus der.zeile ergibt sich: x x Nach z.b. x aufgelöst: x x Wir setzen x t ; Damit ist x t x und x in die.zeile um t x zu bestimmen: t t x t t x t x Damit ergibt sich als Lösungsmenge: L=( t, t, t) bzw. x t Als geometrische Interpretation stellt dies die Schnittgerade er Ebenen dar.

6 . Lösen einfacher linearer Gleichungssysteme (LGS). Keine Lösungen Ebenen haben im Raum keinen Schnitt, wenn alle parallel zueinander liegen. Dies sieht man sofort an den Koeffizienten von x, x und x, da sie gleich oder Vielfache voneinander sein müssen: 9 Koeffizienten der.zeile =.Zeile Koeffizienten der.zeile =.Zeile Damit ist die Bedingung der Vielfachheit gegeben, die Ebenen liegen also parallel zueinander und haben daher keine gemeinsamen Punkte. (Ausnahme: Wenn alle Zahlen einer Zeile Vielfache voneinander sind. Dann handelt es sich mal um ein und dieselbe Ebene. Lösung: Die Ebene selbst!!). In Abituraufgaben des Pflichtteils dürfte diese Variante eine eher untergeordnete Rolle spielen, da sie zu trivial erscheint und die Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens nicht wirklich notwendig macht.

7 . Lagebeziehungen. Lagebeziehungen. Lineare Abhängigkeit (la) und lineare Unabhängigkeit (lu). Parallelität und Orthogonalität ( g g; E g; E ) E Kinderleicht 7

8 . Lineare Abhängigkeit (la) und lineare Unabhängigkeit (lu). Lineare Abhängigkeit (la) und lineare Unabhängigkeit (lu) a) Vektoren Die Fragestellung der la und lu er Vektoren im R ist relativ witzlos, da Vektoren dann la sind, wenn sie parallel zueinander liegen, also die Zahlen der Vektoren Vielfache voneinander sind. Es gilt dann: v k v k k=. Die beiden Vektoren sind damit la. b) Vektoren Hier ist die Sache rechentechnisch schon etwas schwieriger und damit fürs Abi grundsätzlich interessanter. Vektoren sind dann la, wenn sie in einer Ebene liegen, bzw. eine Ebene bilden: D.h. man kann auf den Vektoren so im Kreis laufen, dass man am Startpunkt wieder ankommt und somit den Nullvektor durchlaufen hat. Es gilt dann: v s v t v ( homogenes LGS, da alle Gleichungen =) r wobei r=s=t= als triviale Lösung angesehen wird und keine Lösung für dieses LGS im eigentlichen Sinne ist. r=s=t= ist immer Lösung dieses LGS, aber keine Lösung für la. Eine Rechnung ist für diese Lösung auch nicht erforderlich. Stellt man nach der Rechnung fest, dass nur die triviale Lösung das LGS löst, sind die Vektoren lu. 8

9 . Lineare Abhängigkeit (la) und lineare Unabhängigkeit (lu) 9 Untersuchen Sie, ob die Vektoren, und 7 linear unabhängig sind. Lösungsweg: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren bedeutet, dass Sie sich nicht zum Nullvektor addieren bzw. kombinieren lassen: r t 7 s. Ergibt sich für dieses LGS eine sinnvolle Lösung, sind diese Vektoren linear abhängig. Die triviale Lösung r=t=s= ist dabei keine Lösung, da die Vektoren dann überhaupt nicht mit einer reellen Länge existieren würden. Man führt das LGS in eine Matrix über und löst es mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens: 7 hier bietet sich v.a. die.spalte für das Additionsverfahren an: Das Prinzip ist durch Addition verschiedener Zeilen Nullen in derselben Spalte zu schaffen:.zeile +.Zeile:.Zeile +.Zeile: Zeile und kann man auch kürzen bzw. vereinfachen: Für die letzte Addition wird nur noch Zeile und verwendet:.zeile +.Zeile:. Nullzeile bedeutet immer, dass das LGS unendlich viele Lösungen besitzt. Bei genauer Überlegung stellt man fest, dass dies der Hinweis für die la ist, da nicht nur eine Zahlenkombination aus r, t und s das LGS löst, sondern auch jedes Vielfache davon. Erhalten wir keine Nullzeile, kann nur die triviale Lösung r=t=s= das LGS lösen und damit wären die Vektoren lu. Damit sind also die Vektoren, und 7 linear abhängig.

10 . Parallelität und Orthogonalität. Parallelität und Orthogonalität ( g g; E g; E ) E Zur Beurteilung von Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen wird für die Geraden immer der Richtungsvektor r und für die Ebenen immer der Normalenvektor n herangezogen:. g // g ( g steht parallel zu g ), wenn r k r (die Richtungsvektoren also Vielfache voneinander sind). g g ( g steht senkrecht zu g ), wenn r r (die Richtungsvektoren also auch orthogonal zueinander stehen). E // E wenn n k n. E E wenn n n. E // g wenn n r. E g wenn n k r Die Fragestellungen von windschief oder Identität, also wenn z.b. eine Gerade in einer Ebene liegt, klären wir im Kapitel (Schnittbedingungen)..Beispiel Zeigen Sie, dass Ebene E: x x 8 und Gerade g: x parallel zueinander verlaufen. Lösungsweg: Es muss also gelten: n r (siehe oben.) q.e.d. x t.beispiel Zeigen Sie, dass die Gerade g: verläuft. x t parallel zur Geraden h: x 8 r Lösungsweg: Es muss also gelten: r k r (siehe oben.) k k q.e.d.