Finanzmathematik I: Zins- und Zinseszinsrechnung

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1 Dr. habil. Burkhard Utecht Berufsakademie Thüringen Staatliche Studienakademie Studienabteilung Eisenach Studienbereich Wirtschaft Wirtschaftsmathematik Wintersemester 2004/05 Finanzmathematik I: Zins- und Zinseszinsrechnung 1. Einfache Zinsen ohne Zinskapitalisierung (ohne Zinseszins) 2. Grundprinzip der Zinseszinsrechnung auf Jahresbasis 3. Zeitveränderliche Jahreszinssätze und effektiver Jahreszinssatz 4. Unterjährige Verzinsung auf Monatsbasis 5. Gemischte Verzinsung am Beispiel eines Sparbuchs 6. Übungsaufgaben 7. Lösungen Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach

2 Burkhard Utecht Finanzmathematik I Zins- und Zinseszinsrechnung 1. Einfache Zinsen ohne Zinskapitalisierung (ohne Zinseszins) Beispielfall 1: Ein Sparer legt bei seiner Bank ein Anfangskapital in Höhe von K 0 = EUR in einem festverzinslichen Sparvertrag für eine Laufzeit von n = 4 Perioden (z.b. Jahresquartale) an. Die anfallenden Zinsen werden dem Sparvertrag gutgeschrieben, d.h. erst am Ende der Laufzeit zusammen mit dem ursprünglichen Anlagebetrag (K 0 ) ausgezahlt. Am Ende jeder Periode wird das eingezahlte Anfangskapital mit einem Periodenzinssatz in Höhe von i = 10% verzinst. Die bereits angefallenen Zinsen werden nicht mitverzinst (keine Zinskapitalisierung, kein Zinseszins). Welches Endkapital (K n ) erhält der Sparer am Ende der Laufzeit zurück? Periode t Kapital am Periodenende K t Am Periodenende neu hinzukommende Zinsen Z t = i K 0 Insgesamt am Periodenende aufgelaufene (akkumulierte) Zinssumme 0 K 0 = (Anfangskapital, Barwert) t SZt = Za = K t K0 a= 1 1 K 1 = , = = K 0 (1+i) Z 1 = 0, = 1000 = i K 0 SZ 1 = = 1000 = i K 0 2 K 2 = , = = K 0 (1+2 i) Z 2 = 0, = 1000 = i K 0 SZ 2 = = 2000 = 2 i K 0 3 K 3 = , = = K 0 (1+3 i) Z 3 = 0, = 1000 = i K 0 SZ 3 = = 3000 = 3 i K 0 4 K 4 = , = = K 0 (1+4 i) Z 4 = 0, = 1000 = i K 0 SZ 4 = = 4000 = 4 i K 0 Schlussfolgerung: Ein Anfangskapital K 0 führt in t Perioden bei einfacher Verzinsung mit dem Perioden-Zinssatz i (ohne Zinseszins) zu einem Endkapital in Höhe von K t = K 0 (1+t i) Bei mehrjährigen Kapitalanlagen ist allerdings die einfache Verzinsung, d.h. die grundsätzliche Vernachlässigung von Zinseszinsen, nicht üblich. Im Weiteren wird daher sofern nicht ausdrücklich anders angegeben von der Zinseszinsrechnung ausgegangen. Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 1

3 Zins- und Zinseszinsrechnung 2. Grundprinzip der Zinseszinsrechnung auf Jahresbasis Beispielfall 2: Ein Sparer legt bei seiner Bank ein Anfangskapital K 0 in einem festverzinslichen Sparvertrag für eine Laufzeit von n Jahren an. Die jährlich anfallenden Zinsen werden dem Sparvertrag gutgeschrieben, d.h. erst am Ende der Laufzeit zusammen mit dem ursprünglichen Anlagebetrag (K 0 ) ausgezahlt. Am Ende jedes Laufzeitjahres wird der jeweils aufgelaufene Anlagebetrag mit einem konstanten Jahreszinssatz (Zinssatz p.a., per annum) in Höhe von i verzinst (=> Zinskapitalisierungszeitpunkte); die bereits gutgeschriebenen Zinsen werden also mitverzinst (=> Zinseszins). Welches Endkapital (K n ) erhält der Sparer am Ende der Laufzeit zurück? Jahr t Kapital am Jahresende K t Am Jahresende zusätzlich hinzukommende Zinsen Z t = i K t-1 Insgesamt am Jahresende aufgelaufene (akkumulierte) Zinssumme 0 K 0 (Anfangskapital, Barwert) SZt = Za = K t K0 1 K 1 = K 0 + i K 0 = K 0 (1+i) = K 0 (1+i) 1 Z 1 = i K 0 SZ 1 = K 1 K 0 = ((1+i) 1 1) K 0 = i K 0 2 K 2 = K 1 + i K 1 = K 1 (1+i) = K 0 (1+i) 2 Z 2 = i K 1 = i (1+i) K 0 SZ 2 = K 2 K 0 = ((1+i) 2 1) K 0 3 K 3 = K 2 + i K 2 = K 2 (1+i) = K 0 (1+i) 3 Z 3 = i K 2 = i (1+i) 2 K 0 SZ 3 = K 3 K 0 = ((1+i) 3 1) K 0 4 K 4 = K 3 + i K 3 = K 3 (1+i) = K 0 (1+i) 4 Z 4 = i K 3 = i (1+i) 3 K 0 SZ 4 = K 4 K 0 = ((1+i) 4 1) K 0 t a= n K n = K n-1 + i K n-1 = K n-1 (1+i) = K 0 (1+i) n (Endkapital, Endwert) Z n = i K n-1 = i (1+i) n-1 K 0 SZ n = K 4 K 0 = ((1+i) n 1) K 0 Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 2

4 Burkhard Utecht Finanzmathematik I Ein Zahlenbeispiel: Anfangskapital K 0 = EUR, Zinssatz i = 10%, Laufzeit: n = 4. Jahr t Kapital am Jahresende K t Am Jahresende neu hinzukommende Zinsen Z t = i K t-1 Insgesamt am Jahresende aufgelaufene (akkumulierte) Zinssumme 0 K 0 = (Anfangskapital, Barwert) t SZt = Za = K t K0 a= 1 1 K 1 = , = = K 0 (1+i) Z 1 = 0, = 1000 = i K 0 SZ 1 = = 1000 = i K 0 2 K 2 = , = = K 0 (1+i) 2 Z 2 = 0, = 1100 = i (1+i) K 0 SZ 2 = = 2100 = ((1+i) 2 1) K 0 3 K 3 = , = = K 0 (1+i) 3 Z 3 = 0, = 1210 = i (1+i) 2 K 0 SZ 3 = = 3310 = ((1+i) 3 1) K 0 4 K 4 = , = = K 0 (1+i) 4 Z 4 = 0, = 1331 = i (1+i) 3 K 0 SZ 4 = = 4641 = ((1+i) 4 1) K 0 Schlussfolgerungen: Ein Anfangskapital K 0 führt bei jährlicher Verzinsung mit dem Zinssatz i in t Jahren zu einem Endkapital in Höhe von (1) K t = K 0 (1+i) t Alternative Schreibweise: K t = K 0 q t mit dem Aufzinsungsfaktor q t = (1+i) t Das Anfangskapital (Barwert), mit dem ein Endkapital K t nach t Jahren bei einer jährlichen Verzinsung mit dem Zinssatz i erreicht werden kann, beträgt (2) K 0 = K t /(1+i) t Alternative Schreibweise: K 0 = K t v t mit dem Abzinsungsfaktor (Diskontierungsfaktor) v t = 1/(1+i) t Die Laufzeit t (in Jahren), nach der ein Endkapital K t aus einem Anfangskapital K 0 bei einer jährlichen Verzinsung mit dem Zinssatz i erreicht wird, bestimmt sich aus (3) t = (ln K t ln K 0 ) / ln q [Herleitung: Logarithmieren von (1) und Auflösen nach t] Der Zinssatz p.a., der notwendig ist, um bei gegebener Laufzeit von t Jahren und gegebenem Anfangskapital K 0 ein bestimmtes Endkapital K t zu erhalten, ergibt sich aus: (4) i = (K t /K 0 ) 1/t 1 [Herleitung: Auflösen von Gleichung (1) nach i über Ziehung der t-ten Wurzel] Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 3

5 Zins- und Zinseszinsrechnung Anwendungsbeispiel zu Formel (1): Anfangskapital K 0 = 10000, Laufzeit t = 4, Zinssatz i = 10% (=> q = 1,1) Welches Endkapital K t wird am Ende der Laufzeit erreicht? Lösung: Entsprechend Formel (1) bestimmt sich K t aus: K t = K 0 q t = ,1 4 = ,4641 = Anwendungsbeispiel zu Formel (2): Endkapital K t = 14641, Laufzeit t = 4, Zinssatz i = 10% (=> q = 1,1) Mit welchem Anfangskapital K 0 wird das Endkapital unter den obigen Bedingungen erreicht? Lösung: Entsprechend Formel (2) bestimmt sich K t aus: K 0 = K t /q t = / 1,1 4 = / 1,4641 = Anwendungsbeispiel zu Formel (3): Endkapital K t = 14641, Anfangskapital K 0 = 10000, Zinssatz i = 10% (=> q = 1,1). Nach welcher Laufzeit t wird das Endkapital unter den obigen Bedingungen erreicht? Lösung: Die expliziten Werte des (natürlichen) Logarithmus der Ausgangsgrößen sind: ln K t = 9,5915; ln K 0 = 9,2103; ln q = 0,0953. Entsprechend Formel (3) bestimmt sich t folglich aus: t = (ln K t ln K 0 ) / ln q = (9,5915 9,2103) / 0,0953 = 0,3812 / 0,0953 = 4 Anwendungsbeispiel zu Formel (4): Endkapital K t = 14641, Anfangskapital K 0 = 10000, Laufzeit t = 4. Welcher Zinssatz i (p.a.) ist notwendig, um das Endkapital unter den obigen Bedingungen zu erreichen? Lösung: Entsprechend Formel (4) bestimmt sich i aus i = (K t /K 0 ) 1/t 1 = (14641/10000) 1/4 1 = 1,4641 0,25 1 = 1,1 1 = 0,1 = 10% Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 4

6 Burkhard Utecht Finanzmathematik I 3. Zeitveränderliche Jahreszinssätze und effektiver Jahreszinssatz Beispielfall 3: Ein Kreditgeber verleiht ein Anfangskapital K 0 = EUR für eine Laufzeit von 3 Jahren. Am Ende jedes Laufzeitjahres wird der jeweils aufgelaufene Schuldbetrag verzinst (=> Zinskapitalisierungszeitpunkte). Tilgung und Auszahlung der aufgelaufenen Zinsen erfolgen am Ende der Laufzeit. Der Zinssatz des 1. Jahres beträgt i 1 = 5%, der Zinssatz des 2. Jahres i 2 = 10% und der Zinssatz des 3. Jahres i 3 = 20%. Welches Endkapital (K 3 ) erhält der Kreditgeber am Ende der Laufzeit zurück? Jahr t Zinssatz i t Kapital am Jahresende K t Insgesamt am Jahresende aufgelaufene (akkumulierte) Zinsschuld SZ t = K t K 0 0 K 0 = i 1 = 0,05 K 1 = , = = = K 0 (1+i 1 ) 2 i 2 = 0,1 K 2 = , = = = K 1 (1+i 2 ) = K 0 (1+i 1 ) (1+i 2 ) 3 i 3 = 0,2 K 3 = , = = = K 2 (1+i 3 ) = K 0 (1+i 1 ) (1+i 2 ) (1+i 3 ) SZ 1 = = 500 SZ 2 = = 1550 SZ 3 = = 3860 Schlussfolgerung: Ein Anfangskapital K 0 führt bei einer Laufzeit von t Jahren und gegebenen Jahreszinssätzen (i 1, i 2,, i t ) zu einem Endkapital in Höhe von (5) K t = K 0 (1+i 1 ) (1+i 2 ) (1+i t ) = K t 0 (1+ ia ) a= 1 Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 5

7 Zins- und Zinseszinsrechnung Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz, d.h. die Rendite der betrachteten Kapitalanlage (als Maß ihrer Gesamtverzinsung)? Definition: Der effektive Jahreszinssatz i eff ist derjenige konstante Zinssatz p.a., der bei derselben Laufzeit t und demselben Anfangskapital K 0 zu demselben Endkapital K t führen würde wie die betrachtete Kapitalanlage. Im hier betrachteten Fall gilt also: K 0 (1+ i eff ) t = K 0 (1+i 1 ) (1+i 2 ) (1+i t ) = K t Über Auflösung der Gleichung nach i eff mittels Ziehung der t-ten Wurzel ergibt sich: Der effektive Jahreszinssatz einer Kapitalanlage mit einer Laufzeit von t Jahren und gegebenen Jahreszinssätzen (i 1, i 2,, i t ) beträgt (6) i eff = ((1+i 1 ) (1+i 2 ) (1+i t )) 1/t 1 = (K t /K 0 ) 1/t 1 Für den obigen Beispielfall ergibt sich konkret: i eff = (1,05 1,1 1,2) 1/3 1 = 1,386 1/3 1 = 0, = 11,49475%. Das arithmetische Mittel (der Durchschnitt ) der drei Zinssätze des Beispielfalls ist dagegen (0,05 + 0,1+ 0,2)/3 = 0,35/3 = 0, = 11,66667%, weicht also deutlich vom effektiven Jahreszinssatz i eff ab. Bei unterschiedlichen Zinssätzen innerhalb der Laufzeit ist folglich das arithmetische Mittel kein geeignetes Maß zur Renditebestimmung bzw. zum Renditevergleich, d.h.: Anlagen mit demselben arithmetischen Mittel der Perioden-Zinssätze können bei gleichem Anfangskapital und gleicher Laufzeit zu deutlich unterschiedlichen Renditen und damit Endkapitalen führen. Im obigen Beispiel ergibt sich eine Rendite (effektiver Jahreszinssatz) von i eff = 11,49475%, wobei das arithmetische Mittel der tatsächlichen Jahreszinssätze 11,66667% ist. Könnte derselbe Anlagebetrag bei gleicher Laufzeit zu einem konstanten Zinssatz p.a. von 11,66667% angelegt werden, so entspräche dieser sowohl dem arithmetischen Mittel als auch dem effektiven Jahreszinssatz dieser Alternativanlage. Wir würden also bei demselben arithmetischen Mittel der Jahreszinssätze (= 11,66667%) eine höhere Rendite als im Ausgangsbeispiel erhalten, nämlich 11,66667% bei der Alternativanlage gegenüber 11,49475% beim Ausgangsbeispiel. Das Endkapital der Alternativanlage entspräche dabei (1+11,66667%) 3 = 13924,21 EUR gegenüber EUR im Beispielfall. Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 6

8 Burkhard Utecht Finanzmathematik I 4. Unterjährige Verzinsung auf Monatsbasis Beispielfall 4.1: Ein Sparer legt bei seiner Bank ein Anfangskapital K 0 in einem festverzinslichen Sparvertrag für eine Laufzeit von t Jahren (= t x 12 Monate) an. Der im Sparvertrag ausgewiesene Zinssatz p.a. (nominaler Jahreszinssatz i) ist konstant. Der Zinssatz p.a. wird auf Monatszinssätze heruntergebrochen, die dem Sparvertrag am Ende des jeweiligen Monats gutgeschrieben werden. Der jeweilige Monatszinssatz entspricht (banküblich) i mtl = i/12. Zinskapitalisierungszeitpunkt ist das jeweilige Monatsende. Die Rückzahlung des ursprünglichen Sparbetrages K 0 und der aufgelaufenen Zinsen erfolgt am Ende der Laufzeit. a) Welches Endkapital erhält der Sparer am Ende der Laufzeit zurück? b) Welcher effektive Jahreszinssatz i eff ergibt sich? Lösung zu a): Eine Laufzeit von t Jahren entspricht 12 t Monaten. Das Endkapital beträgt folglich K end = K 0 (1+i/12) 12 t Lösung zu b): Die Aufzinsung mit dem effektiven Jahreszinssatz i eff muss zum selben Endkapital führen: K 0 (1+ i eff ) t = K 0 (1+i/12) 12 t Auflösen nach i eff über Ziehung der t-ten Wurzel ergibt: i eff = (1+i/12) 12 1 Konkretes Zahlenbeispiel: i = 12% => i eff = (1 + 0,12 / 12) 12 1 = 1, = 0,1268 = 12,68% Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 7

9 Zins- und Zinseszinsrechnung Beispielfall 4.2: Ein Sparer legt am bei seiner Bank ein Anfangskapital K 0 in einem festverzinslichen Sparvertrag für eine Laufzeit von m = 14 Monaten an. Der Monatszinssatz i mtl ist konstant. Zinskapitalisierungszeitpunkt ist das jeweilige Monatsende. Die Rückzahlung des ursprünglichen Sparbetrages K 0 und der aufgelaufenen Zinsen erfolgt am Ende der Laufzeit. a) Wie hoch ist der nominale Jahreszinsatz i (Zinssatz p.a.)? b) Wie hoch ist der finanzmathematisch exakte effektive Jahreszinssatz i eff ( exponentielle Methode )? Diese Methode wird von der aktuellen seit geltenden Preisangabenverordnung (PAngV) im Grundsatz bei der Angabe des effektiven Jahreszinssatzes vorgeschrieben. c) Wie hoch wäre der effektive Jahreszinssatz im Sinne der PAngV von 1985 ( kaufmännische Methode )? Lösung zu a): i = i mtl 12, Konkretes Zahlenbeispiel: i mtl = 1% <=> i = 12% Lösung zu b): Rechnerische Laufzeitjahre t = Laufzeitmonate m / 12, hier: t = 14/12 = 1 + 1/6 Die Aufzinsung mit dem effektiven Jahreszinssatz i eff muss zum selben Endkapital führen: K 0 (1+ i eff ) m/12 = K 0 (1+i/12) m Auflösen nach i eff ergibt: i eff = (1+i/12) 12 1 (Der Leser bemerke: die konkrete Zahl der Laufzeitmonate m hat hier keine Bedeutung). Konkretes Zahlenbeispiel: i = 12% => i eff = (1+0,12/12) 12 1 = 1, = 0,1268 = 12,68% Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 8

10 Burkhard Utecht Finanzmathematik I Lösung zu c): Die Laufzeit wird in ganze Jahre (GJ) und etwaige verbleibende Restmonate (RM) zerlegt. Es gilt also: Laufzeitmonate m = GJ 12+RM Der effektive Jahreszinssatz i eff wurde gem. PAngV 85 für die verbleibenden Restmonate auf Monatsbasis heruntergebrochen (i eff /12). Innerhalb der Restmonate wurde linear gerechnet (einfache Verzinsung). Die Lösung für i eff gem. PAngV 85 ergibt sich damit aus der Gleichung: K 0 (1+ i eff ) GJ (1+ RM i eff /12) = K 0 (1+i/12) GJ 12+RM Für den Beispielfall 4.2 (Laufzeit von 14 Monaten) gilt somit: Ganze Jahre der Laufzeit: GJ = 1, verbleibende Restmonate der Laufzeit: RM = 2. Damit ergibt sich aus der obigen Formel: K 0 (1+i eff ) 1 (1+2 i eff /12) = K 0 (1+i/12) 14 <=> => (i eff ieff 6 ) 2 14 ieff i 14 i + + ieff + 1 = <=> (i ) 7{ i 6 eff + eff = a b a a 7 7 i = + b = Konkretes Zahlenbeispiel: i = 12% => Effektiver Jahreszinssatz nach PAngV 85: ieff = 3, ,5 + 6 (1,01 1) = 3,5 + 13, = 3,5 + 3,6259 = 0,1259 = 12,59% 12,68% (finanzmathematisch exakter effektiver Jahreszinssatz, gerundet) Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 9

11 Zins- und Zinseszinsrechnung 5. Gemischte Verzinsung am Beispiel eines Sparbuchs Gemischte Verzinsung: Zusammentreffen von einfacher Verzinsung und Zinseszins Bankübliche Verzinsung bei einem Sparbuch: Der nominale Jahreszinssatz (i) wird auf Tagesbasis heruntergebrochen, d.h. die Zinsen werden tageweise gutgeschrieben. Die Kapitalisierung der in einem Kalenderjahr anfallenden Tageszinsen erfolgt am Ende des Kalenderjahres (also am Ende des ). Innerhalb des Kalenderjahres gilt also die einfache Verzinsung, über die Kalenderjahre hinweg dagegen die Zinseszinsrechnung. Die Zinstage werden nach der Methode 30E/360 bestimmt: Hierbei wird von einem Standardmonat von 30 Tagen ausgegangen, sodass sich für ein Kalenderjahr 360 Zinstage ergeben. Bei Monaten mit 31 Tagen ist der 31. Tag kein Zinstag. Hat der Februar 28 Tage, so zählt der wie drei Zinstage, sofern der 28. nicht der letzte Tag der Verzinsung ist (andernfalls 1 Zinstag). Hat der Februar 29 Tage (Schaltjahr), so zählt der wie zwei Zinstage, sofern der 29. nicht der letzte Tag der Verzinsung ist (andernfalls 1 Zinstag). Der Einzahlungstag eines Betrages gilt als Zinstag (sofern es sich nicht um den 31. des Einzahlungsmonats handelt, s.o.). Der Auszahlungstag ist kein Zinstag. Beispielfall 5: Ein Sparer legt am bei seiner Bank ein Sparbuch an und zahlt noch am selben Tag ein Anfangskapital K 0 = EUR ein. Am löst er das Sparbuch auf, ohne innerhalb der Laufzeit weitere Einzahlungen oder Auszahlungen vorgenommen zu haben. Der Zinssatz p.a. betrug über die gesamte Laufzeit i = 1,8%. a) Welcher (nominale) Tageszinssatz i tgl fällt pro Zinstag an? b) Wie hoch ist das Endkapital K end, wenn das Sparbuch aufgelöst wird? c) Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz i eff (nach der exponentiellen Methode)? Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 10

12 Burkhard Utecht Finanzmathematik I Lösung zu a): Tageszinsatz i tgl = Jahreszinssatz / Zinstage des Kalenderjahres = i/360 Hier: Tageszinssatz i tgl = i/360 = 1,8%/360 = 0,018/360 = 0,00005 = 0,005% Lösung zu b): Es gilt K mit end = K 0 i 1+ ZTAJ ( 1+ i) EJ AJ Aufzinsungsfaktor Aufzinsungsfaktor der "dazwischen des Anfangs-Kalenderjahres liegenden" Kalender -. jahre i 1+ ZTEJ Aufzinsungsfaktor des End-Kalenderjahres für EJ > AJ AJ: Anfangs-Kalenderjahr (das Kalenderjahr, in dem das Sparbuch angelegt wird) Hier: AJ = 2002 EJ: End-Kalenderjahr (das Kalenderjahr, in dem das Sparbuch aufgelöst wird) Hier: EJ = 2005 ZT AJ : in AJ angefallene Zinstage Hier: ZT 2002 = (30 13) = 317 ZT EJ : in EJ angefallene Zinstage Hier: ZT 2005 = = 223 Damit ergibt sich für den Beispielfall: K end = ( ,8% / 360) (1 + 1,8%) 2 ( ,8% / 360) = 10644,88 Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 11

13 Zins- und Zinseszinsrechnung Lösung zu c): Rechnerische Laufzeitjahre t = Zinstage der Laufzeit ZT LFZ / Zinstage eines Kalenderjahres = (ZT AJ + (EJ AJ 1) ZT EJ ) / 360 für EJ > AJ Hier: ZT LFZ = = 1260 => t = 1260/360 = 3,5. Die Aufzinsung mit dem effektiven Jahreszinssatz i eff muss zum selben Endkapital führen. Es gilt also: i i 0 + AJ + + EJ = K end mit t = ZT LFZ /360 = (ZT AJ + (EJ AJ 1) ZT EJ ) / und EJ > AJ K 0 (1+ i eff ) t EJ AJ 1 = K 1 ZT ( 1 i) 1 ZT Auflösen nach i eff ergibt: i eff K = K end 0 1/ t K 1 = K end ZT LFZ 1 1/ 3, ,88 Hier: ieff = 1= 0, = 1,8016% Der effektive Jahreszinssatz i eff ist im Beispielfall höher als der nominale Jahreszinssatz i. Dies liegt daran, dass der betrachtete Einzahlungstag innerhalb des Kalenderjahres (hier: am ) und nicht an dessen Anfang liegt, während die Zinskapitalisierung jeweils am Ende des Kalenderjahres erfolgt (also immer zum kalendarischen Jahreswechsel). Infolge dessen kommt es zur ersten Zinskapitalisierung (am Ende des Anfangs-Kalenderjahres AJ) bereits zu einem Zeitpunkt, wenn rechnerisch betrachtet das erste Laufzeitjahr noch gar nicht abgeschlossen ist (das erste Laufzeitjahr würde im Beispielfall am enden). Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 12

14 Burkhard Utecht Finanzmathematik I 6. Übungsaufgaben Aufgaben zu Abschnitt 2 (Grundprinzip der Zinseszinsrechnung auf Jahresbasis) Aufgabe 2.1: Ein Kreditgeber verleiht für eine Laufzeit von t = 5 Jahren an einen Kreditnehmer ein Anfangskapital in Höhe von K 0 = 5000 EUR zu einem Zinssatz p.a. in Höhe von i = 5%. Tilgung und Zinsauszahlung erfolgen am Ende der Laufzeit. Am Ende jedes Laufzeitjahres werden die im betreffenden Jahr angefallenen Zinsen kapitalisiert. a) Welches Endkapital erhält der Kreditgeber am Ende der Laufzeit zurück? b) Welches Endkapital ergäbe sich bei derselben Laufzeit im Fall K 0 = 4343,08 EUR, i = 8%? Stellen Sie zuerst die jeweilige Formel auf und berechnen Sie dann die konkreten Werte. Aufgabe 2.2: Ein Kreditgeber verleiht für eine Laufzeit von t = 7 Jahren an einen Kreditnehmer ein Anfangskapital K 0 zu einem Zinssatz p.a. in Höhe von i = 12%. Tilgung und Zinsauszahlung erfolgen am Ende der Laufzeit. Am Ende jedes Laufzeitjahres werden die im betreffenden Jahr angefallenen Zinsen kapitalisiert. Das Endkapital beträgt K t = EUR. a) Wie hoch ist das ausgeliehene Anfangskapital? b) Wie hoch ist das ausgeliehene Anfangskapital im Fall t = 8, i = 6%, K t = 7209,76 EUR? Stellen Sie zuerst die jeweilige Formel auf und berechnen Sie dann die konkreten Werte. Aufgabe 2.3: Ein Kreditgeber verleiht an einen Kreditnehmer ein Anfangskapital von 2500 EUR zu einem Zinssatz p.a. in Höhe von 21,9%. Tilgung und Zinsauszahlung erfolgen am Ende der Laufzeit. Am Ende jedes Laufzeitjahres werden die im betreffenden Jahr angefallenen Zinsen kapitalisiert. Das Endkapital beträgt K t = 5520,21 EUR. a) Wie groß ist die Laufzeit des Kredites (in Jahren)? b) Wie viele Jahre braucht man, um bei einem Zinssatz p.a. von 21,9% ein (beliebiges) Anfangskapital K 0 zu vervierfachen? Stellen Sie zuerst die jeweilige Formel auf und berechnen Sie dann die konkreten Werte. Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 13

15 Zins- und Zinseszinsrechnung Aufgabe 2.4: Ein Kreditgeber verleiht an einen Kreditnehmer ein Anfangskapital von 5000 EUR für eine Laufzeit von 4 Jahren zu einem konstanten Zinssatz p.a.. Tilgung und Zinsauszahlung erfolgen am Ende der Laufzeit. Am Ende jedes Laufzeitjahres werden die im betreffenden Jahr angefallenen Zinsen kapitalisiert. Das Endkapital beträgt K t = 11040,42 EUR. a) Wie hoch ist der Zinssatz p.a.? b) Wie hoch müsste der Zinssatz p.a. sein, damit sich ein (beliebiges) Anfangskapital nach 4 Jahren verdreifacht hat? Stellen Sie zuerst die jeweilige Formel auf und berechnen Sie dann die konkreten Werte. Aufgabe 2.5: Ein Sparer schließt bei seiner Bank einen Sparvertrag über eine Gesamtlaufzeit von 4 Jahren ab. Zu Beginn jedes Laufzeitjahres zahlt der Sparer 2000 EUR ein. Der Zinssatz p.a. beträgt 5%. Am Ende jedes Laufzeitjahres werden die im betreffenden Jahr angefallenen Zinsen kapitalisiert. Am Ende der Laufzeit werden die über die Laufzeit eingezahlten Sparbeiträge und die aufgelaufenen Zinsen an den Sparer zurückgezahlt. a) Welches Endkapital erhält der Sparer am Ende der Laufzeit? b) Nehmen Sie an, der Sparer würde statt der jährlichen Einzahlungen eine einzige Einzahlung am Laufzeitbeginn leisten. Wie hoch müsste dieses Anfangskapital ausfallen, um zu dem gleichen Endkapital wie in a) zu kommen? c) Welches Endkapital ergäbe sich, wenn der Sparer zu Beginn des ersten Laufzeitjahres 4000 EUR, zu Beginn des zweiten Laufzeitjahres 3000 EUR und zu Beginn des dritten Laufzeitjahres 1000 EUR einzahlen würde (statt viermal 2000 EUR, wie oben unterstellt)? d) Welches Anfangskapital wäre notwendig, um das Endkapital aus c) mit einer einzigen Einzahlung am Laufzeitbeginn zu erreichen? Stellen Sie zuerst die jeweilige Formel auf und berechnen Sie dann die konkreten Werte. Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 14

16 Burkhard Utecht Finanzmathematik I Aufgaben zu Abschnitt 3 (Zeitveränderliche Jahreszinssätze und effektiver Jahreszinssatz) Aufgabe 3.1: Ein Sparer legt ein Anfangskapital in Höhe von EUR in einem Sparvertrag an. Die Laufzeit des Sparvertrages beträgt 4 Jahre. Der Zinssatz p.a. beträgt im ersten Jahr 2%, im zweiten Jahr 3%, im dritten Jahr 5% und im letzten Jahr 6%. Am Ende jedes Laufzeitjahres werden die im betreffenden Jahr angefallenen Zinsen kapitalisiert. Am Ende der Laufzeit erhält der Anleger das Anfangskapital und die aufgelaufenen Zinsen zurück. a) Welches Endkapital erhält der Anleger am Ende der Laufzeit? b) Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz i eff des Sparvertrages? Stellen Sie zuerst die jeweilige Formel auf und berechnen Sie dann die konkreten Werte. Aufgabe 3.2: Ein Sparer legt ein Anfangskapital in Höhe von EUR in einem Sparvertrag an. Die Laufzeit beträgt 27 Jahre. Am Ende jedes Laufzeitjahres werden die Zinsen kapitalisiert. Am Ende der Laufzeit erhält der Anleger das Anfangskapital und die aufgelaufenen Zinsen zurück. Welches Endkapital erhält der Anleger am Ende der Laufzeit, wenn a) der Zinssatz p.a. in den ersten 10 Jahren 3%, in den zweiten 10 Jahren 4% und in den letzten 7 Jahren 5% beträgt? b) der Zinssatz p.a. in den geraden Laufzeitjahren 3% und in den ungeraden Laufzeitjahren 4% beträgt? Stellen Sie zuerst die jeweilige Formel auf und berechnen Sie dann die konkreten Werte. Aufgabe 3.3: Ein Sparer will ein gegebenes Anfangskapital für eine Laufzeit von 4 Jahren in einem Sparvertrag anlegen. Drei alternative Sparverträge stehen zur Auswahl, die sich in ihren Jahreszinssätzen unterscheiden: Sparvertrag A: i 1 = 1%, i 2 = 2%, i 3 = 3%, i 4 = 4% Sparvertrag B: i 1 = 2%, i 2 = 2%, i 3 = 3%, i 4 = 3% Sparvertrag C: i 1 = 4%, i 2 = 3%, i 3 = 2%, i 4 = 1% Welchen der drei Sparverträge sollte der Anleger abschließen? Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 15

17 Zins- und Zinseszinsrechnung Aufgabe 3.4: Ein Sparer legt ein gegebenes Anfangskapital in einem Sparvertrag bei seiner Bank an. Die Laufzeit beträgt 3 Jahre, der Zinssatz p.a. 4%. Am Ende jedes Laufzeitjahres werden die im betreffenden Jahr angefallenen Zinsen kapitalisiert. Welcher effektive Jahreszinssatz ergibt sich, wenn a) die Bank bei Abschluss des Vertrages vom einbezahlten Anfangskapital einen Prozentsatz a = 1,5% als Verwaltungsgebühr einbehält (Disagio auf das Anfangskapital)? b) die Bank bei Auszahlung des Vertrages vom angesammelten Kapital einen Prozentsatz b = 1% als Verwaltungsgebühr einbehält (Disagio auf das Endkapital)? c) die Bank für die Verwaltung des Sparvertrages eine jährlich anfallende Gebühr in Höhe von c = 1% des zum jeweiligen Jahresbeginn angesammelten Kapitals einbehält, die I. am Anfang des jeweiligen Jahres erhoben wird? II. am Ende des jeweiligen Jahres erhoben wird? d) die Bank für die Verwaltung des Sparvertrages eine jährlich anfallende Gebühr in Höhe von d = 1% des zum jeweiligen Jahresende angesammelten Kapitals einbehält, die zum Ende des jeweiligen Jahres erhoben wird? Stellen Sie zuerst die jeweilige Formel auf und berechnen Sie dann die konkreten Werte. e) Welche Werte müssten die Gebührensätze b, c und d aufweisen, damit sich jeweils derselbe effektive Jahreszinssatz wie in a) ergäbe? Aufgaben zu Abschnitt 4 (Unterjährige Verzinsung auf Monatsbasis) Aufgabe 4.1: Ein Sparer legt für 36 Monate ein Anfangskapital von EUR in einem Sparvertrag an. Der nominale Zinssatz p.a. beträgt i = 4%. Die Verzinsung erfolgt monatlich, die Zinskapitalisierung jeweils am Monatsende. Am Ende der Laufzeit werden das eingezahlte Anfangskapital und die aufgelaufenen Zinsen an den Anleger ausgezahlt. a) Wie hoch ist der monatliche Zinssatz? b) Welches Endkapital ergibt sich? c) Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz? d) Welches Anfangskapital ist notwendig, um bei jährlicher Zinskapitalisierung (statt monatlicher) das gleiche Endkapital wie in b) zu erreichen? Stellen Sie zuerst die jeweilige Formel auf und berechnen Sie dann die konkreten Werte. Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 16

18 Burkhard Utecht Finanzmathematik I Aufgabe 4.2: Ein Sparer legt für 30 Monate ein Anfangskapital K 0 in einem Sparvertrag bei seiner Bank an. Die Verzinsung erfolgt monatlich, die Zinskapitalisierung jeweils am Monatsende. Die Bank gibt einen effektiven Jahreszinssatz in Höhe von 4% an, der nach der zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses gültigen PAngV berechnet wird. Wie hoch sind jeweils der tatsächliche Monatszinssatz i mtl und der nominale Jahreszinssatz i, wenn a) der Vertragsabschluss im gegenwärtigen Jahr stattfindet? b) der Vertragsabschluss im Jahr 1999 stattgefunden hätte. Stellen Sie zuerst die jeweilige Formel auf und berechnen Sie dann die konkreten Werte. c) Welcher der beiden Vertragsabschlüsse führt zum höheren Endkapital am Ende der Vertragslaufzeit? d) Bei welchen der beiden Vertragsabschlüsse wird der effektive Jahreszinssatz verzerrt ausgewiesen? Begründen Sie jeweils ihre Antwort. Aufgaben zu Abschnitt 5 (Gemischte Verzinsung) Aufgabe 5.1: Ein Sparer legt am ein bankübliches Sparbuch an und zahlt noch am selben Tag 5000 EUR ein. Am zahlt er weitere 4000 EUR ein und am weitere 2000 EUR. Am löst er das Sparbuch auf. Der Zinssatz p.a. beträgt in der gesamten Zeit 2%. Welches Endkapital erhält der Sparer? (Hinweis: Das Jahr 2004 war ein Schaltjahr.) Stellen Sie zuerst die betreffende Formel auf und berechnen Sie dann den konkreten Wert. Aufgabe 5.2: Ein Sparer legt am ein bankübliches Sparbuch an und zahlt noch am selben Tag EUR ein. Am löst er das Sparbuch wieder auf. Der Zinssatz p.a. beträgt 2% im Kalenderjahr 2004, 1,5% in 2005, 1,8% in 2006 und 1,6% in Welches Endkapital erhält der Sparer? Stellen Sie zuerst die betreffende Formel auf und berechnen Sie dann den konkreten Wert. Aufgabe 5.3: Ein Sparer legt am ein bankübliches Sparbuch an und zahlt noch am selben Tag 4000 EUR ein. Am hebt er 1500 EUR für den Kauf eines Fernsehgerätes ab. Am löst er das Sparbuch auf. Der Zinssatz p.a. beträgt durchgehend 2%. Wie hoch ist das Restguthaben bei der Auflösung des Sparbuchs (= K end )? Stellen Sie zuerst die betreffende Formel auf und berechnen Sie dann den konkreten Wert. Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 17

19 Zins- und Zinseszinsrechnung Aufgabe 5.4: Frau M. will sich am ein Fernsehgerät zum Preis von 1000 EUR kaufen. Zahlt sie noch am selben Tag, dann gewährt der Händler Frau M. einen Preisnachlass (Skonto) in Höhe von 2%. Ansonsten muss Frau M. innerhalb von 60 Kalendertagen (beginnend mit dem Datum des Kauftages) den vollen Preis entrichten. Frau M. ist mit ihrem Girokonto ständig im Minus. Für die Bezahlung des Fernsehgeräts muss sie ihren Dispositionskredit zusätzlich in der entsprechenden Höhe belasten (andere Kreditwege stehen ihr nicht offen). Die Zinstage des Dispokredits werden nach der Methode E30/360 berechnet. Zinskapitalisierungszeitpunkt ist das Ende des Kalenderjahres. Der Tag der Kreditaufnahme zählt nicht als Zinstag. Der Zinssatz p.a. beträgt 15%. a) Sollte Frau M. das Skonto in Höhe von 2% des Kaufpreises wahrnehmen? b) Sollte Frau M. das Skonto wahrnehmen, wenn es 3% des Kaufpreises betrüge? Begründen Sie Ihre Antworten mit Hilfe der Finanzmathematik. Weitere Übungsaufgaben zum Thema finden sich in: Preuß, W. / Wenisch, G., Lehr- und Übungsbuch Mathematik in Wirtschaft und Finanzwesen, München 1998, Kap. 7.1 Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 18

20 Burkhard Utecht Finanzmathematik I 7. Lösungen Lösung zu Aufgabe 2.1: a) K 5 = 5000 (1 + 5%) 5 = 6381,41 b) K 5 = 4343,08 (1 + 8%) 5 = 6381,41 Lösung zu Aufgabe 2.2: a) K 0 = / (1 + 12%) 7 = 4523,49 b) K 0 = 7209,76 / (1 + 6%) 8 = 4523,49 Lösung zu Aufgabe 2.3: a) Laufzeitjahre t = (ln 5520,21 ln 2500) / ln (1+21,9%) = 4 b) Allgemeiner Lösungsansatz: Das Endkapital ist ein Vielfaches x des Anfangskapitals K 0 (in der Aufgabe ist x = 4). Damit gilt K 0 (1+i) t = x K 0 <=> (1+i) t = x <=> t = ln x / ln (1+i). Der Leser beachte, dass die absolute Höhe des Anfangskapitals für das Ergebnis ohne Bedeutung ist. Die Laufzeit t, die zur Erreichung eines Vielfachen x des Anfangskapitals notwendig ist, hängt also nur von der Höhe des Zinssatzes i ab. Im konkreten Fall der Vervierfachung des Anfangskapitals (x = 4) bei einem Zinssatz p.a. von 21,9% bestimmt sich die hierfür benötigte Laufzeit (in Jahren) aus t = ln 4 / ln (1+21,9%) = 7 Lösung zu Aufgabe 2.4: a) i = (11040,42 / 5000) 1/4 1 = 21,9% b) i = 3 1/4 1 = 31,61% Lösung zu Aufgabe 2.5: a) K 4 = 2000 [(1+5%) 4 + (1+5%) 3 + (1+5%) 2 + (1+5%)] = 9051,26 b) K 0 = K t /(1+i) t = 9051,26 / (1+5%) 4 = 7446,49 (abgerundet) c) K 4 = 4000 (1+5%) (1+5%) (1+5%) 2 = 9437,40 d) K 0 = 9437,40 / (1+5%) 4 = 7764,17 Dr. habil. Burkhard Utecht, Berufsakademie Thüringen, Studienabteilung Eisenach 19