Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung

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1 Kapitel 2: Matrizen 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung

2 2.1 Matrizen M = n = 3 m = 3 n = m quadratisch M ij : Eintrag von M in i-ter Zeile der j-ten Spalte i = j Hauptdiagonale

3 Diagonalmatrix: quadratische Matrix, die einzige Nicht-Null Einträge auf der Hauptdiagonalen hat Transponierte von M ist M T, M ijt ist M ji Beispiel: T = Einheitsmatrix: I =, MI = IM = M

4 Skalarmultiplikation: am = Ma =,M K nxm, a K

5 A + B = Matrizenaddition: A, B K nxm

6 Matrizenmultiplikation: A K nxm, B K mxp AB K nxp Beispiel: Eintrag der Ergebnismatrix in der 1. Zeile und 2. Spalte

7 A, B, M K nxm, r, s K A + B = B + A (A + B) + M = A + (B + M) r(sm) = (rs)m r( A + B ) = ra + rb ( r + s ) A = r A + s A Matrizeneigenschaften: r K, A K nxm, B K mxp, M (ra)b = r (AB) (AB)M = A(BM) (AB) T = B T A T K pxq

8 2.2 Determinanten Entwicklung nach der k. Spalte Entwicklung nach der k. Zeile 1 k n C ij (M) = (-1) i+j detm {ij} (n-1)x(n-1) Matrix Rest von M nach Streichen von Zeile i und Spalte j (Beweis siehe Seite 100 LA-Skript)

9 Beispiel: det M = = 5 (-1) (-1) (-1) 1+3

10 Eigenschaften: Sei Determinantenfunktion, M = (M 1, M 2,..., M n ) K nxn a) (*...,M i,...,m j,...])= - (*...,M j,...,m i,...]) b) (*...,am i,...,m j,...+)= a (*...,M i,...,m j,...]) c) (*...,M i,...,m j + λ M i,...+)= (*...,M i,...,m j,...]) d) rang(m)<n (M)=0 e) det AB = det A det B, A, B K nxn (Beweise: a) S.95, c),d) S.94, e) S.97 LA Skript)

11 Beweis zu b) Beh: Multipliziert man Zeile mit Skalar a, so vervielfacht sich auch die Determinante um den Faktor a Beweis: Sei G die Matrix F, deren k-te Zeile mit dem Skalar a multipliziert wurde, dann gilt: Def Det G = Daraus folgt: det G = a det F

12 2.3 Inverse Matrix invertierbar, wenn Zeilen linear unabhängig Es gilt: MM -1 = M -1 M = I Bestimmung der Inversen: 1) Gauss-Jordan-Eliminationsverfahren 2) Formel

13 1) Gauss-Jordan-Eliminationsverfahren elementare Zeilenoperationen, bis linke Seite I wird rechte Seite wird M -1 Elementare Zeilenoperationen zwei Zeilen vertauschen Zeile mit Skalar ( 0) multiplizieren Ein vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren

14 Beispiel: 1) M* konstruieren 2) Spalte j = 1 setzen 3) Zeile i finden mit i j, dass M* ij größten Absolutwert hat 4) wenn i j, dann tausche Zeile i und j hier: Zeile 2 hat größtem Absolutbetrag, Zeile 1 mit Zeile 2 vertauschen

15 5. Zeile j mit 1/M* jj multiplizieren 6. jede Zeile r mit 1 r n und r j (- M* rj ) mal Zeile j zu Zeile r addieren + (-1) (7/5) j =2 + (-3/5) + (1/5) j = 3 (1/2) + (1/2)

16 M -1 Die elementaren Zeilenoperationen können auch durch Elementarmatrizen ausgedrückt werden mit M = EM. Bei k Zeilenoperationen ist es das Gleiche wie E k E k-1...e 1 M = I Wir erhalten also M -1, wenn wir die E i auf anwenden.

17 2. Inverse bestimmen mit Formel Inverse G einer Matrix F: G ij = (C ij (F) = (-1) i+j detf {ij} )

18 Beweis: (FG) ij = i = j: i j: Summe ergibt Determinante fast wie F, mit dem Unterschied, dass die Einträge in Zeile j durch die der Zeile i ersetzt wurden. Da die Matrix zwei gleiche Zeilen hat, ist die Det 0 FG = I

19 Also: F -1 = Formel für die Inverse einer 2x2 Matrix: M -1 =

20 Eigenschaften: M invertierbar M T invertierbar A, B invertierbar, dann AB invertierbar und (AB) -1 = B -1 A -1 (Beweis siehe LA Skript S. 23)

21 2.4 Lineare Gleichungssysteme 4x + 3y 2z = 0 x y 3z = 0 2x + 3y + 4z =0 = Homogen, (inhomogen: wenn Konstantenvektor 0) Koeffizientenmatrix Konstantenvektor

22 Lösung eines LGS: Gauss Algorithmus Umstellen des LGS Cramer sche Regel

23 Lösung mit Gauss: Koeffizientenmatrix mit Konstantenvektor in Zeilenstufenform bringen Lösung {0;0;0}

24 unendlich viele Lösungen keine Lösung (Widerspruch)

25 Lösung des LGS durch umstellen: Mx = r x = M -1 r (wenn M invertierbar) Vekoren C ij (M) = (-1) i+j detm {i,j} k-te Komponente von x: x k =

26 Nach der Definition ist C ik (M) unabhängig von den Einträgen der k-ten Spalte von M und die Summe gleich der Determinante der Matrix ist M k (r) = (M 1... M k-1 r M k+1... M n ) Gleichung von oben lässt sich schreiben: x k = Cramer sche Regel Für jede Unbekannte muss eine Determinante berechnet werden es nicht so effizient wie M -1 zu berechnen und mit r zu multiplizieren

27 2.5 Eigenwerte und Eigenvektoren Av =λv, v K n, λ K, v 0, A K nxm Eigenvektor Eigenwert (A λi)v = 0 Eigenwerte bestimmen : det(a λ I) = 0 charakteristisches Polynom (weil: (A λ I) muss singulär sein, da wenn es invertierbar wäre würde gelten: v = (A λ I) -1 0 = 0 Widerspruch)

28 Eigenvektoren bestimmen: einsetzen der Eigenwerte in (A λi)v = 0, Lösen des LGS liefert den zugehörigen Eigenvektor Beispiel: A =

29 1. charakteristisches Polynom bestimmen: det (A λ I) = = (2 - λ)( λ 2-4 λ - 5) 2. Lösungen des charakteristischen Polynoms: λ 1 = -1, λ 2 = 2, λ 3 = 5

30 3. Bestimmung der Eigenvektoren: λ 1 = -1 : (A - (-1) I) v 1 = 0 = = x = 0, y = -z ; v 1 =

31 restliche Eigenvektoren analog: λ 2 = 2 : λ 3 = 5 : v 2 = v 3 =

32 Eigenschaften: a)symmetrische Matrizen R nxn haben reelle Eigenwerte und Eigenvektoren b)eigenvektoren mit unterschiedlichen zugehörigen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix sind orthogonal

33 Beh: a)symmetrische Matrizen R nxn haben reelle Eigenwerte und Eigenvektoren Beweis: Sei λ EW von M und v dazugehöriger EV Dann gilt: Mv = λv T Mv = T λ v = λ T v z.z.: auch reell Reelle Zahl

34 Z.z: T Mv = T Mv M reell T Mv M = = v T M = (v T M ) T = T M T v = T Mv 1x1-Matrix T Mv reell λ reell

35 Zu b) Beh: zwei Eigenvektoren von verschiedenen zugehörigen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix M sind orthogonal Beweis: Seien λ 1 und λ 2 verschiedene EW von M und v 1 und v 2 die dazugehörigen EV Dann gilt: Mv 1 = λ 1 v 1 und Mv 2 = λ 2 v 2

36 z.z. : λ 1 v 1T v 2 = λ 2 v 1T v 2 λ 1 v 1T v 2 = (λ 1 v 1 ) T v 2 =(Mv 1 ) T v 2 (M T = M) = v 1T Mv 2 = λ 2 v 1T v 2 (λ 1 - λ 2 )v 1T v 2 =0 Da λ 1 λ 2 ist v 1T v 2 =0 v 1 und v 2 orthogonal

37 2.6 Diagonalisierung A diagonalisierbar, wenn S GL(n,K) mit S A S -1 =, λ i K, A K nxn Spalten sind Basis aus EV zugehörige EW (Beweis siehe LA Skript S. 109) Wenn A symmetrische Matrix : SAS T = D

38 Beispiel A = Eigenwerte: λ 1 = -1, λ 2 = 2, λ 3 = 5 Eigenvektoren: v 1 = ; v 2 = ; v 3 = S -1 = S =

39 S A S -1 = = = D

40 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!