Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden:
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- Annika Kolbe
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1 Inverse Matritzen Spezialfall: Die Gleichung ax b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a a 1 gelöst werden: ax b x b a a 1 b. Verallgemeinerung auf Ax b mit einer n nmatrix A: Wenn es eine Matrix A 1 (die Kehrmatrix 1 gibt mit A A 1 A I n, so kann damit das LGS Ax b durch Umstellung der Gleichung gelöst werden: Ax b A 1 (Ax A 1 b (A 1 Ax A 1 b I n x A 1 b x A 1 b matrizen.pdf, Seite 1
2 Beispiel ( ( 3 3 Mit A und B 1 1 ( 1 0 ist BA AB I (Beweis durch nachrechnen, 0 1 also ist B A 1 die Kehrmatrix von A. ( ( x1 1 Für die Lösung x des LGS Ax gilt dann, x 1 indem beide Seiten der Gleichung von links mit B multipliziert werden: ( ( ( 3 x ( 3 1 ( ( 3 1 ( x1 x x ( x1 ( 1 1 x ( 3 1 ( x1 x ( 1 1 ( 1 1 matrizen.pdf, Seite
3 Denition Eine quadratische n nmatrix heiÿt invertierbar, wenn es eine n nmatrix A 1 gibt mit A 1 A AA 1 I n. A 1 ist dann die Inverse von A. Beispiel ( 3 1 Bemerkung 1 ( 3 1 bzw. ( ( 3 1 Aus der Denition folgt unmittelbar: Ist B die Inverse von A, so ist A die Inverse von B (Man sagt: A und B sind zueinander invers. matrizen.pdf, Seite 3
4 Gruppeneigenschaft Sind A und B invertierbar, so auch AB mit Inversem (AB 1 B 1 A 1 (Achtung: umgekehrte Reihenfolge!. Es folgt, dass die Menge aller invertierbaren n nmatrizen eine (nichtkommutative Gruppe bildet mit neutralem Element I n. Aus der allgemeinen Gruppeneigenschaft folgt Die inverse Matrix ist eindeutig bestimmt. Es genügt, eine der beiden Bedingungen nachzuprüfen: Aus A 1 A I n folgt automatisch AA 1 I n und umgekehrt. Achtung: Die obige Argumentation funktioniert nur bei quadratischen Matrizen. Bei m nmatrizen mit m n ist die Betrachtung von Inversen nicht sinnvoll. matrizen.pdf, Seite 4
5 Berechnung der Inversen Ist b k b b n1 die kte Spalte von B A 1, so folgt aus AB I n und der Denition der Matrixmultiplikation bei Betrachtung der kten Spalte Ab k e k (kter StandardEinheitsvektor. ( ( b11 b Beispiel: Aus B 1 1 b 1 b b 1 b ( 1 ( b11 b 1 4 ( 1 3 ( b11 b 1 ( ( 1 und 0 ( ( b1 1 folgt b ( 0 1 matrizen.pdf, Seite 5
6 Inverse Matrix mit GauÿAlgorithmus Zur Berechnung von A 1 können mit dem GauÿAlgorithmus die Gleichunssysteme Ab 1 e 1, Ab e,...,ab n e n simultan gelöst werden. Dazu startet man mit der erweiterten Koezientenmatrix (A I n und transformiert diese durch elementare Zeilenumformungen in (I n A 1. Beispiel A ( ( ( ( ( ( A Im letzten Schritt wurde fache der zweiten Zeile von der ersten Zeile subtrahiert, um den Koezienten a 1 oberhalb der Diagonale zu Null zu machen. matrizen.pdf, Seite 6
7 Beispiel A A Grün: Im nächsten Schritt zu 0 machen, rot: zu 1 machen, blau: wird verändert, fett/rot: Pivotelement matrizen.pdf, Seite 7
8 Algorithmus zur Invertierung von A (a ij Starte mit der erweiterten Koezientenmatrix (A I n. for (j1; j<n; j++ { Ist a jj 0, so wähle i > j mit a ij 0 und vertausche die Zeilen i und j. Ist dies nicht möglich, so ist A nicht invertierbar. multipliziere jte Zeile mit 1/a jj. (Dadurch wird a jj zu 1 for (ij+1; i<n; i++ subtrahiere von der iten Zeile das a ij fache der jten Zeile. (Dadurch werden die Koezienten unterhalb a jj zu 0 } for (jn; j>; j for (i1; i<j; i++ subtrahiere von der iten Zeile das a ij fache der jten Zeile. (Dadurch werden die Koezienten oberhalb a jj zu 0 Das Ergebnis ist (I n A 1. matrizen.pdf, Seite 8
9 Anwendungen Muss man ein LGS Ax b für verschiedene b und die selbe Matrix A lösen, ist es oft sinnvoll, A 1 zu berechnen (Bsp. Umrechnung RGBYPbPrFarben Umkehrung von linearen Transformationen Lösung von Matrizengleichungen Dekodierung von Daten Beispiel 1 Die Matrix A ( beschreibt in der Ebene eine Linksdrehung um 45 o kombiniert mit einer (gleichmäÿigen Streckung um den Faktor. A 1 1 beschreibt dann eine Rechtsdrehung um ( o kombiniert mit einer Stauchung um den Faktor. matrizen.pdf, Seite 9
10 Drehstreckung mit A ( matrizen.pdf, Seite 10
11 Beispiel Gesucht ist eine Matrix X, welche die Matrizengleichung XA B löst mit A und B 0 1 löst. ( Aus den Regeln für die Matrixmultiplikation folgt zunächst, dass X vom Typ (3, sein muss. Formale Umstellung ergibt XA B XAA 1 BA 1 X BA 1, d. h. die Gleichung kann mit Hilfe der Inversen von A berechnet werden. Man erhält X BA ( , 5 0, 5 0, 5 1, 5 0, 5, 5 Bemerkung: Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, ist es wichtig, darauf zu achten, immer von der richtigen Seite zu multiplizieren. matrizen.pdf, Seite 11.
12 Bemerkung Nicht jede quadratische Matrix A, die ungleich der Nullmatrix 0 n,n ist, ist invertierbar. Es gilt: A ist invertierbar Das LGS Ax b ist für jedes b R n eindeutig lösbar Begründung für : Ist das LGS immer eindeutig lösbar, so kann die inverse Matrix mit dem GauÿAlgorithmus berechnet werden. Für : Existiert A 1, so ist die Lösung des LGS gegeben durch x A 1 b. matrizen.pdf, Seite 1
13 Invertierbarkeit und Rang Weiterhin gilt für eine n nmatrix: Das LGS Ax b ist für jedes b R n eindeutig lösbar genau dann, wenn rg(a n. Das heiÿt, eine n nmatrix ist genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang ( n hat. Matrizen mit dieser Eigenschaft (quadratisch, invertierbar, voller Rang werden auch als regulär bezeichnet. Beispiel A ( 1 4 ist nicht regulär und damit auch nicht invertierbar, da ( ( 1 1 rg(a rg rg 1 < matrizen.pdf, Seite 13
14 Reguläre Matrizen Die folgenden Eigenschaften einer quadratischen n nmatrix A sind äquivalent (d. h. wenn eine davon erfüllt ist, sind automatisch alle anderen erfüllt: A ist regulär A ist invertierbar det A 0 (siehe Skript Determinanten rg(a n Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig Die Spaltenvektoren von A bilden eine Basis des R n Die Zeilenvektoren von A sind linear unabhängig Die Zeilenvektoren von A bilden eine Basis des R n Das homogene LGS Ax 0 hat nur die Nulllösung Das LGS Ax b ist für ein b R n eindeutig lösbar Das LGS Ax b ist für alle b R n eindeutig lösbar matrizen.pdf, Seite 14
15 Bemerkungen Da das Produkt zweier invertierbarer n nmatrizen wieder invertierbar ist, bildet die Menge aller regulären n nmatrizen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine (nichtkommutative Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe Gl(n, R. Das neutrale Element ist die Einheitsmatrix I n, für die Inversen gilt (AB 1 B 1 A 1. Für die Summe A + B gibt es keine vergleichbare Aussage. Wenn A und B regulär sind, muss A + B nicht regulär sein, umgekehrt kann die Summe zweier nicht regulärer Matrizen regulär sein. matrizen.pdf, Seite 15
16 LRZerlegung In praktischen Anwendungen wird oft anstelle der inversen Matrix die LRZerlegung (auch LUZerlegung genannt einer Matrix A berechnet: Die quadratische Matrix A wird dargestellt als Produnkt A LR, wobei L eine untere und R eine obere Dreiecksmatrix ist. R ist dabei die Matrix, die aus A durch die Umformungen im GauÿAlgorithmus entsteht, L speichert die Informationen über die durchgeführten Zeilenoperationen. Beispiel: matrizen.pdf, Seite 16
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