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Transkript

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10 Themenfeld Veränderungen - Wachstum und Abnahme 9/10 M/A Funktionaler Zusammenhang - Daten und Zufall Wachstumsprozesse lassen sich mit Hilfe von Funktionen und ihren unterschiedlichen Darstellungen beschreiben. Neben linearem, quadratischem (Bremsweg, Flächen) und kubischem (Volumina) Wachstum bieten reale Problemstellungen (z.b. Wertverlust eines PKW, Fragen zur Bevölkerungsentwicklung) Anlass, die Exponentialfunktionen kennenzulernen und den Logarithmusbegriff zu erfassen.* Ein deutliches Gewicht liegt auf dem Modellierungsaspekt, da es bei realen Problemen stets Abweichungen zwischen Modellrechnungen und realen Daten gibt, die zum Hinterfragen und Diskutieren auffordern. * Der Unterricht soll die rekursive Sichtweise auf Wachstums- und Zerfallsprozesse einbeziehen und diese auch formal symbolisch fassen, z. B. f(x+c) = k f(x) beim exponentiellen bzw. f(x+c) = f(x)+a beim linearen Wachstum. Prüfungsrelevante Inhalte lineare, quadratische und exponentielle Wachstumsprozesse Die nachfolgenden Beispiele zeigen exemplarisch, worin die in diesem Themenfeld zu erwerbenden allgemeinen mathematischen Kompetenzen zum Ausdruck kommen. Argumentieren o Beispiele für unterschiedliche Wachstumsarten angeben und erläutern o Fragen stellen, die sich mit Daten und Informationen aus authentischen Quellen (z.b. Zeitung, Internet, Sachtexten) beantworten lassen o bearbeitete Modellierungsaufgaben vor dem Hintergrund des Modellbildungskreislaufs beschreiben und bewerten Kommunizieren o Daten und Informationen aus authentischen Quellen entnehmen o Überlegungen und Lösungen zu komplexen Sachverhalten dokumentieren und präsentieren Problemlösen o geeignete mathematische Modelle (z.b. aus bekannten Funktionenklassen) auswählen und anpassen Wachstumsparameter aus zwei konkreten Wertepaaren für lineares und exponentielles Wachstum berechnen Modellieren o reale Situationen in mathematische Modelle mit linearem, quadratischem, kubischem und exponentiellem Wachstum (bzw. Abnahme) übersetzen o Parameter in Modellfunktionen variieren und vor dem realen Hintergrund interpretieren o die Grenzen eines Modells beschreiben (z.b. bei der Modellierung von Bevölkerungsentwicklung durch exponentielles Wachstum) o mathematische Lösungen in der Realsituation interpretieren und bewerten und gegebenenfalls das Modell modifizieren oder austauschen Mathematische Darstellungen verwenden o Wachstumsprozesse durch Tabellen, Diagramme, Terme und Funktionsgraphen (auch mit Hilfe von Software) darstellen o Darstellungen situationsangemessen auswählen Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen o Software (Tabellenkalkulation, Funktionenplotter, GTR) zur Anpassung von Funktionen an gegebene Daten verwenden o Logarithmen mit Hilfe eines Taschenrechners berechnen 5

11 Themenfeld Wahrscheinlichkeit und Statistik 9/10 M/A Daten und Zufall - Zahl Alltägliche Situationen können häufig als Zufallsexperimente modelliert werden. Ergebnisse und Ereignisse von Zufallsexperimenten sind sowohl verbal zu beschreiben als auch mit Mengen symbolisch darzustellen. Die Veranschaulichung von Ergebnismengen mehrstufiger Zufallsexperimente durch Baumdiagramme, allgemeine Zählprinzipien zur systematischen Abzählung endlicher Mengen und die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zur Einschätzung von Chancen und Risiken in realen Situationen (wie etwa Gewinnoder Wettspielen) führen zu wichtigen Erkenntnissen. Im Bereich der Statistik werden Daten erfasst und in Tabellen und Diagrammen veranschaulicht. Die statistischen Kenngrößen arithmetisches Mittel, Median, Spannweite und Quartil und ihre Darstellung im Boxplot werden verwendet, um die Aussagekraft unterschiedlicher Erhebungen zu diskutieren und sich deren Zielsetzungen bewusst zu machen. * Auf der Grundlage der Baumdiagramme und Pfadregeln wird der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit von Ereignissen abstrahiert. Beim Strukturieren konkreter Aufgaben kann zum Baumdiagramm die Vierfeldertafel als Hilfsmittel hinzugezogen werden. Prüfungsrelevante Inhalte relative Häufigkeit, Baumdiagramm, Wahrscheinlichkeiten berechnen (Pfadregel, Laplace- Experiment), Mittelwerte, Streumaße, Box-Plot Die nachfolgenden Beispiele zeigen exemplarisch, worin die in diesem Themenfeld zu erwerbenden allgemeinen mathematischen Kompetenzen zum Ausdruck kommen. Argumentieren o Wahrscheinlichkeiten zur Beurteilung realer Situationen (z.b. Glücksspielen) nutzen und mit diesen eigene Einschätzungen erläutern o die statistischen Größen arithmetisches Mittel, Median und Quartil zur Analyse statistischer Verteilungen verwenden o Darstellungen von statistischen Erhebungen analysieren und Fehler oder bewusste Manipulationen entdecken und beschreiben Kommunizieren o authentischem Material (z.b. Statistiken aus Zeitung, Internet) Informationen entnehmen, beschreiben und bewerten o statistische Erhebungen in der Gruppe selbstorganisiert planen, durchführen, auswerten und präsentieren Problemlösen o kombinatorische Probleme durch Auswahl geeigneter Zählstrategien bearbeiten Modellieren o reale Situationen vereinfachen, um statistische Erhebungen durchführen zu können o Experimente zur Simulation zufälliger Vorgänge planen, durchführen, auswerten und interpretieren UND-Ereignisse und bedingte Ereignisse in Texten erkennen und voneinander abgrenzen Mathematische Darstellungen verwenden o Baumdiagramme zur graphischen Verdeutlichung und zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten verwenden o verschiedene Darstellungsmöglichkeiten für Daten kennen und verwenden Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen o Mengen zur aufzählenden Beschreibung von Ereignissen verwenden o Tabellenkalkulationsprogramme zur Verarbeitung und Darstellung von Daten nutzen zwei Ereignisse auf ihre Unabhängigkeit hin untersuchen 8