1 Wahrscheinlichkeitslehre

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1 Wahrscheilichkeitslehre. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Die Wahrscheilichkeitslehre ist ei elemetarer Bestadteil der Statistik. Die mathematische Wahrscheilichkeitslehre umfasst ei kompliziertes System uterschiedlicher Regel ud Gesetzmäßigkeite, die hier ur isoweit dargestellt werde, als es für das Verstädis der verteilugsfreie Methode erforderlich ist. Wir behadel zuächst die wichtigste Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug ud gehe aschließed auf die Darstellug eiiger ausgewählter Wahrscheilichkeitsverteiluge über... Vorbemerkuge Wir alle kee das auf die beschreibede Statistik gemüzte Wort: Mit Statistik ka ma alles beweise! Richtiger müsste es we ma scho mit Aphorisme operiert auf die Iferezstatistik bezoge heiße: Mit Statistik ka ma gar ichts beweise, keie Uterschied, keie Zusammehag, keie Gesetzmäßigkeit, sofer ma vo eiem Beweis fordert, dass er logisch ud sachlich uwidersproche bleibe soll. Was ka die modere Statistik als wisseschaftliche Methode wirklich leiste? Sie gibt Auskuft darüber, mit welcher Wahrscheilichkeit Uterschiede, Zusammehäge ud Gesetzmäßigkeite, die wir i Stichprobeerhebuge gefude habe, rei zufällig etstade sei köe ud iwieweit sie als allgemei, auch für ei größeres Kollektiv gültig, azusehe sid. Absolut sichere Aussage ud Voraussage sid mit Hilfe der Statistik umöglich. Jedoch liegt es a us, das Risiko, das wir für usere Aussage zulasse wolle, gemäß der wisseschaftliche Fragestellug höher oder iedriger azusetze. Naturwisseschaftliche Aussage ud Voraussage grüde sich auf Messuge: Die (klassische) Physik ket kei Problem der Messug, höchstes eies der Messgeauigkeit, sie hat ihr Zetimeter-Gramm-Sekude-System ud ka damit die astehede Probleme adäquat löse. Die biologische wie auch die Sozialwisseschafte habe es icht so leicht. I ihre empirisch ausgerichtete Bereiche sid sie uetwegt auf der Suche ach optimale Dimesioe eier gültige Messug, sid auf der Suche ach immer raffiiertere Methode der Versuchsplaug zur Kotrolle des meist bedeutsame Fehlers der idividuelle Messug eies Merkmals. Ei gazer Wisseschaftszweig, die Biometrie, beschäftigt sich mit de Voraussetzuge für objektive, zuverlässige ud gültige Ausgagsdate. Auf diese Voraussetzuge erst baut die Statistik auf.

2 2 Kapitel Wahrscheilichkeitslehre Die statistische Methode ud ihre praktische Awedug setze eie eigee, dem Afäger ugewohte Art des iduktive Dekes voraus. Im logische Dekakt folgt jeder Schluss stets zwiged ud für de Eizelfall gültig aus seie Prämisse; der statistische Dekakt dagege führt zu Schlüsse, die ur für ei (theoretisch uedlich großes) Kollektiv vo Ereigisse gelte ud für de Eizelfall icht zwiged zutreffe. Er orietiert sich a eiem Beweissystem, das i der mathematische Theorie der Statistik formal exakt begrüdet ist ud das erst i dem Grad, i dem ma seier ie wird, ei Evidez- ud Strigezerlebis vo ählicher Art vermittelt wie das Begriffssystem der Elemetarlogik. Grudlage alle statistische Dekes ist der Wahrscheilichkeitsbegriff. Begie wir deshalb mit eier kurze Eiführug zu diesem Begriff...2 Begriff der Wahrscheilichkeit Die Wahrscheilichkeit ka i verschiedeer Weise eigeführt werde. Eie izwische klassische Eiführug i Form vo aschauliche Vorlesuge mit egem Bezug zur Awedug fidet sich bei Mises (93). Für usere Zwecke soll geüge: We uter mögliche, eiader ausschließede Ereigisse, vo dee eies mit Sicherheit eitritt, g vo bestimmter Art sid, da ist die Wahrscheilichkeit, dass eies dieser g Ereigisse eitritt, gleich dem Bruch g/ (g güstige uter mögliche Ereigisse). Diese Wahrscheilichkeit wird mit p bezeichet. Dazu eiige Beispiele: (A) Die Wahrscheilichkeit, mit eiem Würfel irgedeie Zahl vo bis 6 zu werfe, beträgt ohe Zweifel p =. (B) Die Wahrscheilichkeit, aus eier Ure mit Lose vo bis 0 das Los 7 oder ei Los mit kleierer Nummer herauszuziehe, beträgt etspreched der obige Defiitio p = 0,7. (C) Die Wahrscheilichkeit, aus eiem verdeckte Bridgespiel gerade das Herzass zu ziehe, beträgt aalog p = /52 0,02. (D) Die Wahrscheilichkeit, aus demselbe Kartespiel mehr als 4 Asse zu ziehe, ist aturgemäß p=0. (E) Die Wahrscheilichkeit, mit eier Müze Zahl zu werfe, beträgt p = 0,5. (F) Die Wahrscheilichkeit, mit eiem Würfel eie Sechs zu erziele, ergibt p = /6 = 0,67. Jede Wahrscheilichkeit hat eie Wert, der icht egativ ud icht größer als ist. Die Gesamtheit aller Wahrscheilichkeitswerte kostituiert die im folgede dargestellte Wahrscheilichkeitsskala, die sich vo 0 bis erstreckt; sie ethält die obe herausgehobee Wahrscheilichkeitswerte a de etsprechede Stelle markiert. Die im Beispiel geate Ereigisse A, B, C, D, E ud F besitze eie ihrer Skalepositio etsprechede Wahrscheilichkeit. Wir habe de Begriff der Wahrscheilichkeit och etwas äher zu erläuter. Halte wir us dabei a das Würfelbeispiel (F): Vo de 6 mögliche Augezahle. Abb... Wahrscheilichkeitsskala

3 3. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug tritt eie mit Sicherheit ei. Diese 6 Ereigisse sid auch gleichwertig, de jedes Ereigis hat die gleiche Chace aufzutrete, we der Würfel icht gefälscht ist. Nehme wir a, als güstiges Ereigis werde ei Wurf mit gerader Augezahl agesehe. Drei Würfelfläche ethalte gerade Augezahle, daher beträgt die Wahrscheilichkeit des Auftretes eier gerade Augezahl 3/6 = 0,5. Die beide Begriffe gleichwertig ud eiader ausschließed solle och a 2 Beispiele illustriert werde. Beispiel : Jemad möchte die Wahrscheilichkeit, aus eiem Skatspiel etweder ei As oder eie Herzkarte zu ziehe, ermittel. Das Kartespiel ethält 32 Karte, dari befide sich 4 Asse ud 8 Herzkarte. Folglich stehe so möchte ma meie die güstige Ereigisse im Verhältis zu de mögliche Ereigisse wie 2 : 32, also ist p = 0,375. Diese Schlussfolgerug ist aber urichtig, de ei Ass (das Herzass) gilt zugleich auch als Herzkarte. Das Auftrete eies Asses schließt also das Auftrete eier Herzkarte icht aus. Die Bedigug, dass die Ereigisse eiader ausschließe solle, ist icht erfüllt. Daher sid wir zu eiem urichtige Wahrscheilichkeitswert gekomme. Der richtige beträgt p=/32 = 0,344. Beispiel 2: Ageomme, jemad möchte die Wahrscheilichkeit, bei 2 hitereiader durchgeführte Würfe mit eier Müze 2-mal Zahl zu erhalte, ermittel. Die 3 mögliche Ergebisse, 2-mal Zahl, 2-mal Adler sowie -mal Zahl ud -mal Adler, schließe sich gegeseitig aus. Ma köte schlussfolger, die Wahrscheilichkeit, 2-mal Zahl zu werfe, betrage /3. Diese Überlegug ist falsch, de die 3 Ereigisse sid icht gleichwertig. Das 3. Ereigis (Zahl Adler) ka ämlich i 2facher Weise zustadekomme: das erste Mal Zahl ud das zweite Mal Adler oder umgekehrt das erste Mal Adler ud das zweite Mal Zahl. Richtig wäre folgede Überlegug gewese: Es resultiere 4 gleichwertige Ereigisse: Zahl Zahl, Adler Adler, Zahl Adler ud Adler Zahl. Daraus ersehe wir, dass die Wahrscheilichkeit, 2-mal Zahl zu werfe, icht p = /3, soder p = /4 ausmacht. Dadurch, dass wir die Aufeiaderfolge vo Zahl ud Adler außer Acht gelasse habe, sid die Ereigisse icht mehr gleich wahrscheilich...3 Theoretische ud empirische Wahrscheilichkeit We wir eie Müze werfe, so erwarte wir das Resultat Zahl mit eier Wahrscheilichkeit vo p = /2. Wir folger ämlich: Es gibt ur 2 mögliche Resultate, vo dee eies im gegebee Fall mit Sicherheit eitrete muss, so dass we die Müze icht verfälscht ist jedes der beide Resultate die gleiche Wahrscheilichkeit für sich hat. Da wir dieses Resultat allei auf logischem Weg erzielt habe, spreche wir vo eier theoretische, eier erwartete oder eier A-priori-Wahrscheilichkeit. Werfe wir dagege eie Müze, dere eie Kate stark abgeutzt wurde, so dürfe wir icht mehr erwarte, dass bei eiem beliebige Wurf das Symbol Zahl mit der Wahrscheilichkeit p = /2 ach obe zu liege komme wird. Auf die Größe der Wahrscheilichkeit, i diesem Fall Zahl zu werfe, ka us ur ei Experimet eie Hiweis gebe: Wir werfe die Müze eiige hudert Male ud zähle aus, wie oft wir das Resultat Zahl erhalte. Bilde wir Quotiete aus

4 4 Kapitel Wahrscheilichkeitslehre der Azahl der Zahle ud der Azahl der Würfe, so erhalte wir eie relative Häufigkeit, die wir als empirische oder als A-posteriori-Wahrscheilichkeit bezeiche. Mit eier zuehmede Azahl vo Versuche kovergiert die relative Häufigkeit auf eie kostate Wert p (A): Bezeiche wir die Häufigkeit eies Ereigisses A mit f (A) ud die Azahl aller Ereigisse eier Versuchsreihe mit, so ergibt sich als Formel für die A-posteriori-Wahrscheilichkeit: f A p A = lim! : : Im Folgede wede wir us de wichtigste Gesetze der Wahrscheilichkeitsrechug zu, dem Additios- ud Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite...4 Additios- ud Multiplikatiossatz Beispiel : Beim Würfelspiel köe wir us frage, wie groß die Wahrscheilichkeit ist, eie Sechs oder eie Füf zu werfe. Da wir es hier mit 2 güstige uter 6 mögliche Fälle zu tu habe, ist p = 2=6 0;33. Die Wahrscheilichkeit, eie Sechs, eie Füf oder eie Zwei zu werfe, ist etspreched durch /6 + /6 + /6 = 0,5 gegebe. Sie ist also die Summe der Wahrscheilichkeite, eie Sechs, eie Füf oder eie Zwei zu werfe. Die Verallgemeierug dieser Überlegug führt zum Additiossatz der Wahrscheilichkeit. Er lautet: Die Wahrscheilichkeit p, dass vo eiader ausschließede Ereigisse das erste oder das zweite oder das dritte oder das -te eitritt, ist gleich der Summe der Wahrscheilichkeite für das Auftrete der Eizelereigisse. Bezeiche wir allgemei mit p i die Wahrscheilichkeit des i-te Ereigisses, so beträgt die zusammegesetzte Wahrscheilichkeit p=p +p 2 +p 3 + :::+p i + :::+p = X p i : :2 i = Beispiel 2: We wir eie Würfel 2-mal hitereiader werfe, so köe wir us frage: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit p, dass wir 2-mal eie Sechs werfe? Dieselbe Frage wäre auch für de gleichzeitige Wurf zweier Würfel zu stelle. Die theoretische Wahrscheilichkeit köte wir geauso wie im Beispiel bestimme; sie leitet sich aus folgeder Überlegug her: Die Wahrscheilichkeit, dass der. Wurf eie Sechs ist, beträgt p = /6. Ageomme, wir hätte geworfe ud wirklich eie Sechs erhalte. I diesem Fall besteht wiederum eie Wahrscheilichkeit vo p 2 = /6, dass auch der 2. Wurf eie Sechs ergibt. Dieselbe Wahrscheilichkeit p 2 = /6 hätte auch i jee 5 Fälle Geltug, i dee wir beim. Wurf keie Sechs erhalte hätte. Die beide Würfe sid ämlich voeiader uabhägig. Die Wahrscheilichkeit p, 2-mal acheiader eie Sechs zu werfe, beträgt demgemäß ur /6 der Wahrscheilichkeit, überhaupt eie Sechs zu werfe. Folglich ist p = p p 2 = /6 /6 = /36. Etspreched ist die Wahrscheilichkeit, mit eier Müze 2-mal Zahl zu werfe: p=p p 2 = /2 /2 = /4. Wir köe diese als Multiplikatiossatz der Wahrscheilichkeit bekate Tatbestad allgemei so formuliere: Die Wahrscheilichkeit p, dass voeiader uabhägige Ereigisse ge-

5 5. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug meisam auftrete, ist gleich dem Produkt der Eizelwahrscheilichkeite p i dieser Ereigisse. p=p p 2 p 3 ::: p i ::: p = Y p i : :3 iˆ Additios- ud Multiplikatiossatz sid wichtige Ausgagspukte der folgede Ausführuge über die Kombiatorik ud der spätere über die statistische Etscheidug...5 Puktwahrscheilichkeite Wede wir us vo de Würfelversuche, die 6 mögliche Resultate ergebe, wieder dem eifachere Müzeversuch mit 2 Alterative zu. Frage wir us, welche Kombiatioe vo Zahl (Z) ud Adler (A) wir bei gleichzeitigem Wurf mit 3 Müze theoretisch erhalte köte. Im Folgede sid die Möglichkeite vollzählig zusammegestellt: ZZZ, ZZA, ZAZ, ZAA, AAA, AAZ, AZA, AZZ. Uter de 2 3 = 8 mögliche Resultate fide wir ur eis, bei dem alle Müze auf Zahl falle. Die Wahrscheilichkeit, 3-mal Zahl zu erhalte, ist demach p = /8. Die Wahrscheilichkeit, dass wir bei eiem Wurf die Kombiatio 2-mal Zahl, -mal Adler atreffe werde, beträgt 3/8 wie auch für die Kombiatio -mal Zahl ud 2-mal Adler. Die Wahrscheilichkeit, 3-mal Adler zu werfe, ergibt sich wiederum zu /8. Die Wahrscheilichkeit, ei bestimmtes Ereigis (z. B. 2 Z, A) zu erziele, et ma Puktwahrscheilichkeit. Ma erhält die Puktwahrscheilichkeit mit (klei) p bezeichet, idem ma die Häufigkeit der 4 im vorige Absatz als Beispiel geate Kombiatioe vo = 3 Elemete durch 8 als Azahl aller mögliche Kombiatioe dividiert. Diese p-werte erhalte wir auch, we wir die Zahle der 4. Zeile aus. Tab.., dem sog. Pascalsche Dreieck, durch 2 3 =8 dividiere. Das Pascalsche Dreieck i. Tab.. wurde für = bis = 5 i Eiserschritte oder kurz für = ()5 etwickelt. (Die i Klammer gesetzte Zeile =0 wurde. Tabelle. Überwiege vo Zahl Überwiege vo Adler 2 () (0) () 2 Z A ZZ ZA AA ZZZ ZZA ZAA AAA ZZZZ ZZZA ZZAA ZAAA AAAA ZZZZZ ZZZZA ZZZAA ZZAAA ZAAAA AAAAA 5 32

6 6 Kapitel Wahrscheilichkeitslehre der Vollstädigkeit halber mit aufgeomme.) I allgemeier Schreibweise kezeichet a(i), dass vo a bis i Itervalle der Größe i gezählt wird. Wie ma leicht erket, ergebe sich die Werte eier Zeile als Summe vo jeweils 2 beachbarte Werte der voragehede Zeile, ergäzt durch die Zahl am Afag ud am Ede der Zeile. Diesem Prizip folged, lässt sich das Pascalsche Dreieck i. Tab.. beliebig ergäze. Aus dieser Tabelle etehme wir weiter, dass bei eiem Wurf mit =4 Müze p(4 Z) = /6, p(3 Z, A)=4/6, p(2 Z, 2 A) = 6/6, p( Z, 3 A) = 4/6 ud p(4 A) = /6 resultiere. Etspreched sid die Puktwahrscheilichkeite für bestimmte Adler-Zahl- Kombiatioe für mehr als 4 Müze zu bereche (zur Herleitug des Pascalsche Dreiecks 7 S. 4). Die Berechug vo Puktwahrscheilichkeite ist esseziell für viele verteilugsfreie Verfahre. Allerdigs werde wir dazu wie auch für die im folgede zu besprechede Überschreitugswahrscheilichkeite i der Regel kompliziertere Wahrscheilichkeitsmodelle beötige als das beispielhaft verwedete Wahrscheilichkeitsmodell des Müzwurfes (7 Absch...7)...6 Überschreitugswahrscheilichkeite Wir wolle im Folgede och eie adere Wahrscheilichkeit keelere, die sich am beste ahad eies Wettbeispiels eiführe lässt: Ageomme, wir habe gewettet, mit =4 Müze midestes x = 3-mal Zahl zu werfe. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, diese Wette zu gewie? Die Atwort ist eifach: Midestes 3-mal bedeutet 3-mal oder 4-mal Zahl zu werfe; also ist die gesuchte Wahrscheilichkeit wir bezeiche sie mit (groß) P ud ee sie Überschreitugswahrscheilichkeit ach dem Additiossatz gleich der Puktwahrscheilichkeit, 3-mal Zahl zu werfe: p(x = 3) = 4/6 plus der Puktwahrscheilichkeit, 4-mal Zahl zu werfe: p(x = 4) = /6; also ist P = 4/6 + /6 = 5/6. I gleicher Weise köte wir ach der Wahrscheilichkeit, midestes 2-mal Zahl zu werfe, frage: Sie beträgt aalog P = 6/6 + 4/6 + /6 = /6. Wir köe die Überschreitugswahrscheilichkeit defiiere als die Wahrscheilichkeit des Auftretes eies bestimmte Ereigisses, vermehrt um die Wahrscheilichkeite aller extremere Ereigisse. Statt ach der Wahrscheilichkeit für midestes 3-mal Zahl hätte wir auch ach der Wahrscheilichkeit für höchstes -mal Adler frage köe. Für beide Fälle ist die Überschreitugswahrscheilichkeit atürlich idetisch. Allgemei: Die Wahrscheilichkeit, dass ei Ereigis A bei Versuche midestes x-mal auftritt, etspricht der Wahrscheilichkeit, dass das zu A komplemetäre Ereigis A (lies: o-a) höchstes ( x)-mal auftritt. I dem obige Beispiel habe wir sozusage eiseitig gewettet. Was uter eier eiseitige Wette zu verstehe ist, wolle wir gleich am etgegegesetzte Fall eier zweiseitige Wette illustriere: Wir wette, bei 4 Würfe etweder 4-mal oder 0-mal Zahl zu werfe. Wie groß ist die Chace, diese Wette zu gewie? Die Puktwahrscheilichkeit für x = 4 beträgt p(x = 4) = /6, ud die Puktwahrscheilichkeit für x = 0 ist p(x = 0) = /6, so dass die zweiseitige Überschreitugs-

7 7. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug wahrscheilichkeit, die wir durch P' kezeiche, mit P' = 2/6 der doppelte eiseitige Überschreitugswahrscheilichkeit etspricht. Hätte wir gewettet, midestes 3-mal Zahl oder höchstes -mal Zahl zu werfe, so wäre dies ebefalls eie zweiseitige Wette, dere Gewichace ach dem Pascalsche Dreieck wie folgt zu bereche wäre: Midestes 3-mal Zahl heißt 3- oder 4-mal Zahl, dere Puktwahrscheilichkeite 4/6 ud /6 betrage. Hizu komme die Wahrscheilichkeite für -mal Zahl (p = 4/6) ud für 0-mal Zahl (p = /6). Die gesamte zweiseitige Überschreitugswahrscheilichkeit ist also P' = /6 + 4/6 + 4/6 + /6 = 0/6. Die Frage, ob es sich um eie eiseitige oder zweiseitige Wette oder i der Termiologie der Statistik um eie eiseitige oder zweiseitige Test hadelt, ist für die Etscheidug bestimmter empirischer Fragestelluge vo großer Bedeutug. Wir werde darauf a späterer Stelle (7 Absch. 2.2.) och zurückkomme. Festzuhalte ist, dass die Wahrscheilichkeit für die zweiseitige Frage durch Verdopplug der Wahrscheilichkeit für die eiseitige Frage zu ermittel ist, sofer die Wahrscheilichkeitsverteilug für x symmetrisch ist (7 Absch..2)...7 Elemete der Kombiatorik Es wäre uökoomisch, wollte wir A-priori-Wahrscheilichkeite für das Auftrete bestimmter Ereigisse auf die beschriebee Art ermittel; außerdem würde wir komplexere Probleme mit usere bisherige Mittel gar icht bewältige. Zur Berechug komplexer A-priori-Wahrscheilichkeite bediee wir us verschiedeer Formel eies Teilgebietes der Mathematik, der Kombiatorik. Diese Formel grüde sich auf 2 Prizipie, die wir sofort als Aaloga des Additiosud Multiplikatiossatzes der Wahrscheilichkeitsrechug erkee werde: Prizip : We ei Ereigis A auf m-fache ud ei aderes Ereigis B auf -fache Weise etstehe ka, so ka das Ereigis A oder B auf (m + )-fache Weise etstehe, vorausgesetzt, dass A ud B icht gleichzeitig auftrete köe. Prizip 2: We ei Ereigis A auf m-fache ud ei Ereigis B auf -fache Weise etstehe ka, da ka das Ereigis (A, B), d. h. dass zuächst A ud da B eitritt, auf (m )-fache Weise etstehe, vorausgesetzt, dass alle Möglichkeite auftrete köe. Was diese beide Sätze beihalte, wolle wir us wieder a eiem eifache Beispiel überlege: Das Ereigis A eie Herzkarte aus eiem Skatblatt zu etehme ka auf 8 verschiedee Weise verwirklicht werde; das Ereigis B eie Kreuzkarte zu etehme ka ebefalls auf 8 verschiedee Weise erfolge. Es gibt also = 6 verschiedee Möglichkeite, eie Herz- oder eie Kreuzkarte aus eiem Skatblatt vo 32 Karte zu ziehe, oder die Wahrscheilichkeit, eie Herz- oder Kreuzkarte aus dem Skatblatt zu ziehe, beträgt p = 6/32 = 0,5. Dies war das. Prizip. Das 2. Prizip köe wir us dadurch veraschauliche, dass wir acheiader 2 Karte aus dem Skatspiel etehme. Bleibe wir bei de Farbe Herz ud Kreuz. Eie Herzkarte kote wir auf 8fache Weise etehme, ebeso eie

8 8 Kapitel Wahrscheilichkeitslehre Kreuzkarte. Auf wievielfache Weise köe wir u eie Herzkarte ud eie Kreuzkarte etehme? Wir köe das Herzass mit eiem Kreuzass, eie Kreuzköig, eier Kreuzdame usw. paare; es resultiere 8 Paarugsmöglichkeite. Dieselbe Azahl vo Möglichkeite ergibt sich für de Herzköig, für die Herzdame, de Bube usw. bei der Paarug mit eier Kreuzkarte. Im Gaze gibt es also 8 8 = 64 Möglichkeite. Die beide Prizipie köe vo 2 auf k Ereigisse verallgemeiert werde. Für drei eiader ausschließede Ereigisse A, B, C, die auf m-, -, o-fache Weise etstehe köe, gilt: Das Ereigis A oder B oder C ka auf (m++o)-fache Weise zustade komme; das Ereigis (A, B, C) ka i (m o)-facher Weise zustade komme. Permutatioe ud Variatioe Überlege wir us eimal, auf wieviele Weise wir die 3 Buchstabe des Wortes ROT aorde köe. Versuche wir es erst durch Probiere: ROT RTO OTR ORT TRO TOR Es habe sich 6 Aorduge ergebe. Wie ist die Etstehug dieser Aorduge zu deke? Wir habe 3 Möglichkeite, eie der 3 Buchstabe a die. Stelle zu setze. Nach der Etscheidug für eie Möglichkeit, z. B. das R, habe wir ur mehr 2 Möglichkeite, eie der verbleibede Buchstabe a die 2. Stelle zu setze; wir wähle z. B. das O. Für die Besetzug der 3. Stelle ergibt sich ur och eie Möglichkeit, das restliche T. Die. Stelle ka also auf 3fache, die 2. auf 2fache ud die 3. Stelle auf fache Weise besetzt werde. Betrachte wir die Besetzug der 3 Stelle, so ergibt sich umittelbar, dass sie auf 3 2 = 6fache Weise möglich ist. Die 6 mögliche Aorduge der 3 Buchstabe des Wortes ROT sid die Permutatioe der Elemete R, T, O; die 4 Ziffer 3, 5, 6 ud 9 ergebe ach derselbe Regel = 24 Permutatioe, k Objekte liefer etspreched k (k )... 2 Permutatioe. Schreibe wir das fortlaufede Produkt der atürliche Zahle vo bis k vereifached als k! (lies: k Fakultät), so ist die Zahl der Permutatioe Pk vo k Elemete durch die Gleichug P k = k! (.4) gegebe. Wie steht es u mit der Permutatioszahl vo Elemete, we jeweils ur ei Teil, also z. B. k Elemete i eier Aordug beutzt werde? Wieviele Permutatioe zu je k = 4 Buchstabe lasse sich beispielsweise aus dem Wort MOR- GEN mit = 6 bilde? Stelle wir aaloge Überleguge wie obe a. Die. Stelle der Aordug ka auf -fache Weise besetzt werde, die 2. ka i ( )-facher Weise besetzt werde, die 3. i ( 2)-facher Weise usw. bis zur k-te Stelle. Ehe wir die k-te Stelle eisetze, habe wir (k ) vo de Elemete i der Aordug utergebracht, ud es verbleibe och (k ) = k+ Elemete zur Dispositio für die Besetzug der letzte Stelle. Die Azahl dieser mögliche Permutatioe beträgt demach ( )... ( k + ).

9 9. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Dass auch hier wieder die Fakultäteschreibweise möglich ist, wird deutlich, we wir dieses Produkt erweiter, idem wir es mit der Azahl aller Faktore multipliziere, die zwische ( k+) ud liege, ud es durch dieselbe Faktore dividiere: 2 ::: k+ k k k 2 ::: 2 : k k k 2 ::: 2 Wede wir auf diese Ausdruck die Fakultäteschreibweise a, so erhalte wir die Azahl der Permutatioe vo Elemete zu je k Elemete oder wie ma auch sagt Variatioe vo Elemete zur k-te Klasse ach der Gleichug:! P k = k! : :5 Aus dem Wort MORGEN lasse sich also 6!/(6 4)! = 360 Permutatioe zu je 4 Buchstabe herstelle. Ka ei Elemet mehrfach eigesetzt werde, so spricht ma vo Variatioe mit Wiederholuge. Die Zahl der Variatioe vo Elemete zur k-te Klasse (i Kombiatio zu je k Elemete mit Wiederholuge) beträgt: V k = k : :6 Demach lasse sich z. B. aus dem Wort MOST ( = 4) 4 2 = 6 verschiedee Variatioe zu je k = 2 Buchstabe bilde, we Buchstabewiederholuge (MM, OO, SS ud TT) zulässig sid. Durch die Wiederholug vo Elemete ka k > sei. Für = 2 Elemete ud k Klasse ist 2V k =2 k : :7 Beim Werfe mit eier Müze z. B. habe wir = 2 Elemete (Zahl ud Adler). Diese lasse sich auf 2 3 = 8fache Weise i Dreiervariatioe aorde. Dies sid die Zahl-Adler-Abfolge, die sich bei k = 3 Müzwürfe ergebe köe. Bei 5 Würfe wäre also 2 5 = 32 Abfolge möglich. Um welche Abfolge es sich hier jeweils hadelt, lässt sich leicht dem Pascalsche Dreieck (. Tab..) etehme. Kombiatioe We wir aus Elemete alle Gruppe vo k Elemete bilde, erhalte wir alle Kombiatioe vo Elemete zur k-te Klasse. Zwei Kombiatioe sid verschiede, we sie sich midestes i eiem Elemet uterscheide. 23, 24, 234 etc. sid damit uterschiedliche Dreierkombiatioe der Elemete 234, aber icht 23, 23, 32 etc. Dies wäre Permutatioe der Kombiatio 23. Die i Gl. (.5) errechete Zahl der Permutatioe vo Elemete zur k-te Klasse umfasst sowohl alle Kombiatioe als auch dere Permutatioe. (Die Buchstabeabfolge MORG, MOGR, MROG etc. wurde hier als verschiedee Permutatioe gezählt.) Bei der Bestimmug der Azahl der Kombiatioe lasse wir die Permutatioe vo Buchstabe außer Acht, d. h. dere Reihefolge ist beliebig. Wir wisse aus Gl. (.4), dass jede Kombiatio zu k Elemete k!-fach permutiert werde ka. Die Azahl der Kombiatioe mal der Azahl der Permuta-

10 0 Kapitel Wahrscheilichkeitslehre tioe aus jeder Kombiatio muss also die Gesamtzahl der Permutatioe vo Elemete zur k-te Klasse gemäß Gl. (.5) ergebe. Bezeiche wir mit C k die Azahl der Kombiatioe vo Elemete zur k-te Klasse, so köe wir schreibe: k! C k = P k : :8 Setze wir de Wert für P k aus Gl. (.5) ei ud löse die Gleichug ach C k auf, so erhalte wir de Ausdruck für die Berechug der Kombiatioszahl! C k = k! k! : :9 Statt des verbleibede Bruches auf der rechte Seite der Gleichug schreibt ma meist das Symbol k, das vo Euler eigeführt wurde ud deshalb auch Eulersches Symbol geat ud als über k gelese wird: 2 ::: k+ C k = = : :0 k k! Aus dem Wort MORGEN lasse sich also 5 Kombiatioe mit jeweils 4 verschiedee Buchstabe bilde: 6C 4 = =5: Aus Gl. (.9) ergibt sich, dass k = k. So würde wir usere Aufgabe, 6 C 4 zu bereche, auch so bewältige: 6 C 4 = 6 C 6 4 = 6 C 2 = 6 2 =6 5=2 = 5. Setze wir i Gl. (.9) = k, so ist =, adererseits muss da aber = = 0 ebefalls sei. Ei weiteres Beispiel: Das Blatt eies Skatspielers repräsetiert eie Zeherkombiatio aus de 32 Karte des Spiels. Daach ka ei Spieler im Verlauf seies Lebes höchstes C 0 = = verschiedee Blätter erhalte, eie Möglichkeit, die er i der Tat wohl kaum ausschöpfe ka ud bei der die Spielregel, über de sog. Skat ochmals Karte austausche zu köe, och gar icht berücksichtigt ist..2 Wahrscheilichkeitsverteiluge.2. Verteilugsforme vo Zufallsvariable Das -fache Werfe eier Müze stellt eie beliebig oft wiederholbare Vorgag dar, der ach eier gaz bestimmte Vorschrift ausgeführt wird ud desse Ergebis vom Zufall bestimmt ist. Eie Vorgag dieser Art bezeiche wir als Zufallsexperimet. Die Zahl x zur Kezeichug des Ergebisses eies Zufallsexperimetes (z. B. x = 3-mal Adler) stellt dabei eie Realisierug der Zufallsvariable X dar. Ka die Zufallsvariable ur bestimmte Zahlewerte aehme, wie 0,, 2,

11 .2 Wahrscheilichkeitsverteiluge 3, 4 als Azahl der Adler beim Wurf vo 4 Müze, da hadelt es sich um eie diskrete Zufallsvariable; ka sie (u. U. auch ur ierhalb gewisser Greze) alle mögliche Werte aehme, wie der Fußpukt eies eimal gerollte Zyliders alle Werte zwische 0 ud 2rp, dem Umfag des Zyliders, da spricht ma vo eier stetige Zufallsvariable. Zufallsvariable werde im Allgemeie mit lateiische Großbuchstabe (X, Y, A, B) bezeichet, we die Gesamtheit aller mögliche Werte gemeit ist, z. B. X = alle atürliche Zahle zwische 0 ud 4 oder Y = alle reelle Zahle zwische 0 ud 2rp; sie werde mit lateiische Kleibuchstabe (x, y, a, b) symbolisiert, we bestimmte, durch Zufallsexperimete gewoee Werte (Realisatioe) gemeit sid, z. B. x = (3, 0, 2) oder y = (6,2r;,76r; 0,39r; 3,4r) im Falle der obige beide Experimete. Wahrscheilichkeitsfuktio Bei eier diskrete Zufallsvariable ordet die Wahrscheilichkeitsfuktio f(x) jeder Realisatio x i eie Wahrscheilichkeit p i zu: f X = p i fur X = x i 0 fur alle ubrige x. Für x = 3-mal Adler beim Werfe vo =4 Müze beträgt die Wahrscheilichkeit ach 7 Absch...5 f(x = 3) = 4/6. Durch die Wahrscheilichkeitsfuktio ist die Wahrscheilichkeitsverteilug oder kurz die Verteilug eier Zufallsvariable vollstädig bestimmt. Die Summe der Wahrscheilichkeite aller mögliche Realisatioe eier diskrete Zufallsvariable ist : P f(x i )=. Wird eie Wahrscheilichkeitsverteilug vo eier stetige Variable X gebildet, da resultiert aalog eie stetige Wahrscheilichkeitsverteilug, die icht durch Eizelwahrscheilichkeite, soder durch eie sog. Dichtefuktio f(x) mathematisch beschriebe wird, dere Itegral wie obe die Summe gleich ist: R f(x)dx =. Hier ka die Wahrscheilichkeit, dass ei mögliches Ergebis realisiert wird, ur auf ei bestimmtes Itervall J der Dichtefuktio bezoge werde: Ma ka also um dies am Zufallsexperimet des Zyliderrolles zu veraschauliche frage, wie groß die Wahrscheilichkeit ist, dass der Zylider i eiem Itervall zwische de Marke 3,4r ud 6,28r des Zyliderumfages aufliege werde. Diese Wahrscheilichkeit ist im vorliegede Fall (eier stetige Gleichverteilug) mit p = 0,5 ebeso groß wie die Wahrscheilichkeit, dass der Fußpukt des Zyliders ach dem Rolle zwische 0,00r ud 3,4r liege werde. Verteilugsfuktio Wahrscheilichkeitsverteiluge lasse sich auch so darstelle, dass sie agebe, wie groß die Wahrscheilichkeit P ist, dass i eiem Zufallsexperimet die Variable eie Wert kleier oder gleich x aimmt. Aus derartige Verteiluge lasse sich damit eifach die i 7 Absch...6 behadelte Überschreitugswahrscheilichkeite P ablese. Diese Darstellugsform der Wahrscheilichkeite eier Zufallsvariable bezeichet ma als Verteilugsfuktio F(X). Bei diskrete Zufallsvariable erhält ma sie wie das folgede Beispiel zeigt durch fortlaufede

12 2 Kapitel Wahrscheilichkeitslehre Summatio (Kumulatio) der Puktwahrscheilichkeite der Wahrscheilichkeitsfuktio. Für das Werfe vo = 4 Müze erhält ma: Azahl der Adler =X i Wahrscheilichkeitsfuktio f(x i ) /6 4/6 6/6 4/6 /6 Verteilugsfuktio F(x i ) /6 5/6 /6 5/6 6/6. Formalisiert ma das Vorgehe der fortlaufede Summierug bis jeweils zum Variablewert x k, so ergibt sich für diskrete Wahrscheilichkeitsverteiluge F x k = Xk iˆ0 f x i : : a Die Verteilugsfuktio stetiger Zufallsvariable F(X) erhält ma i etsprecheder Weise, we ma statt vo 0 bis x k zu summiere vo bis x k itegriert: F x k = Z x k f X dx : : b Die stetige Wahrscheilichkeitsverteilug useres Zyliderbeispiels begit zwar bei x = 0 (ud icht bei x = ), doch köe wir i gleicher Weise argumetiere: Die Wahrscheilichkeit, eie Variablewert vo 3,4r oder eie iedrigere Wert zu errolle (x 3,4 r), beträgt P = F(3,4 r) = 0,5, die Wahrscheilichkeit eies Wertes x 4,7 r ist 0,75 ud die Wahrscheilichkeit eies Wertes x 6,28 r ist,00. Erwartugswerte Oft stellt sich die Frage, wieviele Realisatioe eier bestimmte Art ma bei eiem Zufallsexperimet zu erwarte hat, beim Müzewurf etwa, wie oft ma bei N Würfe mit =4 Müze x = i Adler zu erwarte hat. Ket ma die Wahrscheilichkeitsfuktio der Zufallsvariable, da bildet ma eifach E(N, x = i) = Nf(x = i) = N p i. Mittels dieser Gleichug wäre die theoretisch zu erwartede Häufigkeite E(x i ) der Ergebisse vo N Zufallsexperimete vorauszusage: Werfe wir = 4 Müze N=28-mal, so erwarte wir E(x = 0) = 28 (/6) = 8-mal 0 Adler, E(x = ) = 28 (4/6) = 32-mal Adler, E(x = 2) = 28 (6/6) = 48-mal 2 Adler, E(x = 3) = 28 (4/6) = 32-mal 3 Adler ud E(x = 4) = 28 (/6) = 8-mal 4 Adler. Mit dieser theoretisch zu erwartede Häufigkeitsverteilug köte wir die Ergebisse eies tatsächlich durchgeführte Experimetes 28-mal 4 Müze wer-

13 3.2 Wahrscheilichkeitsverteiluge fe vergleiche ud feststelle, wie gut Beobachtug ud Erwartug übereistimme, wie gut sich die beobachtete der erwartete Häufigkeitsverteilug apasst (7 Absch. 5..3). Ebeso oft stellt sich die Frage, welche durchschittliche Wert die Zufallsvariable X bei viele Versuche aimmt. Dieser Wert wird als Erwartugswert eier Zufallsvariable X bezeichet. Für diskrete Zufallsvariable errechet ma de Erwartugswert E(X) ach folgeder Gleichug: E X = X i f x i x i : :2 a Der Erwartugswert E(X) der Zufallsvariable Azahl der Adler bei eiem Wurf mit = 4 Müze lautet damit E(X) = 0 /6 + 4/ / /6 + 4 /6 =2. Bei stetige Zufallsvariable errechet ma de Erwartugswert ach folgeder Beziehug: E X = Z X f X d X : :2 b Für de Erwartugswert eier Zufallsvariable verwedet ma auch das Symbol l. l bzw. E(X) kezeiche damit de Mittelwert bzw. die zetrale Tedez eier Verteilug. Ei weiteres wichtiges Maß zur Charakterisierug der Verteilug eier Zufallsvariable ist die Variaz r 2. Mit ihr wird die Uterschiedlichkeit, die die Werte eier Zufallsvariable X aufweise, beschriebe: r 2 = X i x i l 2 f x i : :3 a Betrachte wir de Ausdruck x i l als eie eue Zufallsvariable, erket ma uter Bezug auf Gl. (.2), dass die Variaz mit dem Erwartugswert der quadrierte Abweichug (X l) 2 idetisch ist: r 2 =E X l 2 : :4 Im obe geate Müzwurfbeispiel erreche wir eie Variaz vo r 2 = = = = = =6 =: Ist die Zufallsvariable stetig, errechet ma die Variaz ach folgeder Beziehug: r 2 = Z X l 2 f X dx : :3 b

14 4 Kapitel Wahrscheilichkeitslehre.2.2 Die Biomialverteilug Mit dem Müzbeispiel habe wir eie Wahrscheilichkeitsverteilug verwedet, die für gleich mögliche Ereigisse ( Z ud A ) gilt. Diese Verteilug heißt Biomialverteilug für gleich wahrscheiliche Alterativereigisse. Die Wahrscheilichkeitsfuktio für die Zufallsvariable X (z. B. Häufigkeit für das Ereigis Zahl ) lautet: p X = X 2 : :5 Diese Verteilug wurde bereits im Pascalsche Dreieck (. Tab..) tabelliert. Die Zahlewerte im Dreieck etspreche dem. Faktor x. I der rechte Radspalte fide wir de Kehrwert 2 des 2. Faktors der Gl. (.5). Wir köe daach die Puktwahrscheilichkeite, x-mal Zahl zu werfe, für Würfe mit beliebig viele () Müze bereche. Es ist u der allgemeie Fall zu betrachte, dass die beide Ereigisse icht gleich wahrscheilich sid. Herleitug der Wahrscheilichkeitsfuktio Ei Ereigis E habe die Realisatioswahrscheilichkeit p (E) = /2 ud das alterative Ereigis E (lies: No-E) die komplemetäre Wahrscheilichkeit (E) = (E). Nach dem Multiplikatiossatz gelte da für die Sukzessio des Auftretes vo E oder E i =2 Versuche, wobei zur Veraschaulichug E das Würfel eier Sechs ud E das Würfel eier adere Augezahl bedeute möge, folgede Wahrscheilichkeite [für p (E) schreibe wir vereifached p]: p (EE) = p p p(ee) = p ( p) p(ee)=( p) p p(ee)=( p) ( p). Lässt ma die Reihefolge der Ereigisse uberücksichtigt, ergebe sich die folgede Wahrscheilichkeite: p (EE) = p p = () p 2 = 2 p2 ( p) 0 p(ee oder EE) = p ( p) + ( p) p = (2) p ( p) = 2 2 p ( p) p(ee) = ( p) ( p) = () ( p) 2 = 2 0 p0 ( p) 2. I = 3 Versuche wäre die etsprechede Wahrscheilichkeite p(eee) = p p p = () p 3 = 3 p3 3 ( p) 0 p(eee oder EEE oder EEE) = (3) p 2 ( p) = 3 p2 2 ( p) p(eee oder EEE oder EEE) = (3) ( p) 2 p = 3 p ( p) 2 p(eee) = ( p) ( p) ( p) = () ( p) 3 = 3 p0 0 ( p) 3.

15 5.2 Wahrscheilichkeitsverteiluge Wir sehe, dass die eigeklammerte Faktore de Zahle der 2. ud 3. Zeile des Pascalsche Dreiecks etspreche, die sich als x mit x =,..., 0 ergebe. Verallgemeier wir vo =3 auf Versuche, so erhalte wir folgede Wahrscheilichkeite für das x-malige Auftrete des Ereigisses E: x = : p (-mal E ud 0-mal E) = p ( p) 0 x = : p ( -mal E ud -mal E) = p ( p) x = 2: p ( 2-mal E ud 2-mal E) = 2 p 2 ( p) 2.. x = 0: p (0-mal E ud -mal E) = 0 p0 ( p). Da mit x =,,...,0 alle mögliche Realisieruge der Zufallsvariable X erschöpft sid, muss die Summe der Wahrscheilichkeite dieser Realisieruge ergebe. Setzt ma p = p ud q = p, muss wege p+q=folgede Gleichug gelte: p+q = p q 0 + p q p 2 q p 0 q : Die rechte Seite dieser Verteilug stellt die Etwicklug des Bioms p+q für die -te Potez dar ud heißt deshalb biomische Etwicklug. Die Koeffiziete x heiße Biomialkoeffiziete, die ach dem Pascalsche Dreieck eifach zu bereche sid. Setzt ma weiterhi x = x, wobei x die Zahle 0,,..., durchläuft, so erhält ma p x = p x p x! = x x! x! px p x : :6 Nach dieser Gleichug lässt sich die Wahrscheilichkeit bereche, geau x-mal E zu beobachte. Die Wahrscheilichkeitsverteilug für alle Realisieruge der Zufallsvariable X heißt Biomialverteilug. Ist = p = /2, geht Gl. (.6) i Gl. (.5) über. Wie ma zeige ka (vgl. etwa Kreyszig, 973, Absch. 40) beträgt der Erwartugswert E(X) der Biomialverteilug l = p ud die Variaz r 2 = p ( p). Verteilugsfuktio Will ma icht Puktwahrscheilichkeite, soder Überschreitugswahrscheilichkeite dafür ermittel, dass X k, bediet ma sich zweckmäßiger der Verteilugsfuktio bzw. der Summefuktio der Biomialverteilug. Für de spezielle Fall p = p=/2 lautet sie P X k = Xk x 2 : :7 xˆ0 Für beliebiges p lautet die Summefuktio der Biomialverteilug etspreched

16 6 Kapitel Wahrscheilichkeitslehre P X k = Xk xˆ0 p x p x : x :8 Diese Verteilug ist für ausgewählte Werte p tabelliert (7 Tafel des Ahags). Die Beutzug dieser Tafel sei ahad vo Beispiele demostriert. Bei eier Jahrmarktslotterie möge die Chace für ei Gewilos 0% (p=0,) betrage. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, beim Kauf vo = 5 Lose midestes 4-mal zu gewie? Wir etehme der Tafel für = 5, p= 0, ud x = 4; 5...5: P = 0, , , , (0) = 0,0555. Oder als ei Beispiel für eie zweiseitige Fragestellug: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sich i eier Familie mit = 0 Kider höchstes 2 oder midestes 8 Juge befide, we wir davo ausgehe, dass die Wahrscheilichkeit für die Geburt eies Juge bei p = 0,5 liegt? Für = 0, p= 0,5 ud x = 0; ; 2 bzw. x = 8; 9; 0 etehme wir Tafel : P' = 0, , , , , ,000 = 2 0,0547 = 0,094. Liegt die Wahrscheilichkeit für die utersuchte Alterative im Bereich p > 0,50, beutzt ma die adere Alterative ud dere Häufigkeite x für die Ermittlug der Überschreitugswahrscheilichkeit. Bezoge auf das. Beispiel ist die Wahrscheilichkeit für midestes 4 Gewilose (p =0,) mit der Wahrscheilichkeit für höchstes 5 4= Niete (p = 0,9) idetisch..2.3 Die Normalverteilugsapproximatio der Biomialverteilug Wird die Azahl der Versuche groß ( > 50), da ermittelt ma die Überschreitugswahrscheilichkeite bei icht zu kleier oder icht zu großer Wahrscheilichkeit der betrachtete Alterative (0, <p < 0,9) ökoomischer über die sog. Normalverteilug, der sich die Biomialverteilug mit wachseder Azahl der Versuche schell ähert. (Zur Bedeutug der Normalverteilug für die Statistik vgl. z. B. Bortz, 2005, Absch ) Die Gleichug für die Dichtefuktio der Normalverteilug lautet: f x = p r exp x l 2 =2r 2 Š :9 2p mit p=3,46. Ersetzt ma die Parameter l ud r durch die Parameter der Biomialverteilug, l= p ud, r = pq, so lautet die Gleichug für die Normalap- p proximatio der Biomialverteilug f x = p exp x p 2 =2pqŠ : :20 2ppq Die Normalverteilug liegt als sog. Stadard- oder Eiheitsormalverteilug mit l = 0 ud r= tabelliert vor (7 Tafel 2 des Ahags): f u = p exp u 2 =2 : :2 2p

17 7.2 Wahrscheilichkeitsverteiluge Hier ka zu jedem Wert x bzw. dem ihm etsprechede Wert u= p x p pq :22 die zugehörige Überschreitugswahrscheilichkeit P abgelese werde (7 S. 34). Die Trasformatio überführt eie Verteilug mit beliebigem ud r i eie Verteilug mit l=0 ud r = (vgl. dazu etwa Bortz, 2005, uter dem Stichwort z-trasformatio). Die Wahrscheilichkeit, beim Wurf vo = 0 Müze midestes x = 8 Zahle zu erhalte, erreche wir ach der exakte Biomialverteilug [Gl. (.8)] zu P = 0,0547. Über die Normalverteilug erhalte wir für p=q=/2 u= 8 0 =2 p =;90 0 =2 =2 Diesem Abszissewert u der Stadardormalverteilug etspricht ach Tafel 2 des Ahags ei P-Wert vo 0,0287, der im Verhältis zum exakt ermittelte P = 0,0547 zu iedrig ausgefalle ist. Offebar ist usere Stichprobe mit =0 zu klei für die Normalverteilugsapproximatio. Die Uterschätzug lässt sich allerdigs wie wir i 7 Absch. 5.. sehe werde mit Hilfe der sog. Kotiuitätskorrektur reduziere. Da die Normalverteilug symmetrisch ist, etspricht eiem positive u-wert dieselbe Überschreitugswahrscheilichkeit wie eiem egative u-wert..2.4 Die Polyomialverteilug Lasse wir die Beschräkug auf 2 Ausprägugsarte falle, so geht die Biomialverteilug i die Polyomialverteilug oder auch Multiomialverteilug über. Für m Ausprägugsarte mit de Wahrscheilichkeite p, p 2,...p m ergibt sich die Puktwahrscheilichkeit eier bestimmte Zusammesetzug eier Stichprobe des Umfages mit Elemete der erste, 2 Elemete der zweite ud m Elemete der m-te Ausprägug zu! p ; 2 ;...; m =! 2!... m! p p p m m : :23 Die Überschreitugswahrscheilichkeit P, die beobachtete oder eie extremere Zusammesetzug der Stichprobe durch Zufall azutreffe, ergibt sich zu P ˆ X p = X p ; 2 ;...; m ; :24 wobei die p alle Puktwahrscheilichkeite für Aorduge mit ; 2 ;...; m Elemete bezeichet, die kleier oder gleich der Puktwahrscheilichkeit der beobachtete Zusammesetzug sid. Die Ermittlug vo Pukt- ud Überschreitugswahrscheilichkeite sei a eiem Beispiel verdeutlicht. Ageomme, i eiem akademische Etscheidugsgremium befide sich = 4 Studete, dee die folgede Parteizugehörigkeite achgesagt werde:

18 8 Kapitel Wahrscheilichkeitslehre Partei A: =0, Partei B: 2 = ud Partei C: 3 =3. I der studetische Populatio habe die 3 Parteie folgede Sympathisateateile: p = 0,5, p 2 = 0,3 ud p 3 = 0,2. Wir frage ach der Wahrscheilichkeit der Gremiezusammesetzug agesichts dieser Populatiosverhältisse. Nach Gl. (.23) ergibt sich p =0; 2 =; 3 =3 = 4! 0!! 3! 0;50 0;3 0;2 3 =0;0096 : Diese Wahrscheilichkeit ist sehr gerig ud spricht icht für eie repräsetative Auswahl. Frage wir im Sie der Überschreitugswahrscheilichkeit, wie wahrscheilich diese ud och extremere Auswahle sid (extremer im Sie eier och stärkere Abweichug vo der Populatiosverteilug), beötige wir die Puktwahrscheilichkeite der extremere Auswahle. I userem Beispiel sid dies die Zusammesetzuge =0; 2 =4; 3 = 0 mit p =0;008 ; =0; 2 =0; 3 = 4 mit p =0;006 : Alle übrige Zusammesetzuge habe eie größere Puktwahrscheilichkeit als die agetroffee. Als Überschreitugswahrscheilichkeit erreche wir damit P = 0, , ,006 = 0,093. Die Polyomialverteilug spielt überall dort als Prüfverteilug eie Rolle, wo Elemete oder Ereigisse ach mehr als 2 Klasse aufgeteilt sid; sie wird, wie wir im ächste Abschitt sehe werde, durch eie adere, viel leichter zu hadhabede Verteilug hireiched gut ageähert, bei der die Bestimmug vo Überschreitugswahrscheilichkeite keierlei Mühe macht. Ei Spezialfall der Polyomialverteilug ist die Gleichverteilug oder Rechteckverteilug, i der p = p 2 =... p m = /m für alle m Klasse ist. Die Puktwahrscheilichkeit eier Stichprobe vo, 2,..., m Elemete ist gegebe durch p ; 2 ;...; m =!! 2!... m! =m 2... m =!! 2!... m! m : :25 Die Gleichverteilug für m=2 Klasse ist die Biomialverteilug für p=0,5. Nach der Termiologie vo Gl. (.5) etspricht = x ud 2 = x, so dass p ; 2 = =! 2! 2 =! x! x! 2 x 2 :

19 9.2 Wahrscheilichkeitsverteiluge.2.5 Die v 2 -Approximatio der Polyomialverteilug Die Ermittlug der Überschreitugswahrscheilichkeite ach der Polyomialverteilug ist scho für kleie Stichprobe sehr mühsam. Glücklicherweise geht sie bereits für relativ kleie Stichprobeumfäge i eie adere theoretische Verteilug, die v 2 -Verteilug, über, die vo Pearso (900) ach Überleguge vo Helmert (876) erarbeitet wurde. Diese Verteilug liegt ebefalls tabelliert vor (7 Tafel 3 des Ahags). Die v 2 -Verteilug geauer: die v 2 -Verteilug für k Freiheitsgrade ist defiiert als Verteilug der Summe der Quadrate vo k uabhägige Stadardormalvariable u i =(x i l)/r ach v 2 =u 2 u u2 k : :26 Durch ifiitesimale Ableitug lässt sich zeige, dass die Ordiate f der v 2 -Verteilug im Pukt v 2 der Abszisse gegebe ist durch f v 2 =K v k e v2 =2 wobei die Kostate K de folgede Wert aimmt: K= :!2 k 2 =2 k 2 2 :27 Wie die Polyomialverteilug eie Verallgemeierug der Biomialverteilug ist, so ist auch die v2-verteilug eie Verallgemeierug der Normalverteilug: Etimmt ma jeweils ur k= ormalverteilte Zufallszahle, da geht der Ausdruck (.27) i die Form f v 2 =K e x2 =2 p über, die mit Gl. (.2) idetisch ist, we ma v 2 durch u 2 ud K durch = 2p ersetzt. :28 Kritisch für die Bestimmug der zu eiem bestimmte v 2 -Wert gehörede Überschreitugswahrscheilichkeit P ist die Zahl der Freiheitsgrade (Fg). I der Defiitiosgleichug (.26) ist Fg = k, also gleich der Zahl der uabhägige u-werte. Liegt aber P u=cost. fest, weil etwa l u = P u/k als Durchschitt der u-variable gegebe ist, da reduziert sich die Zahl der Freiheitsgrade um ; dies ist auch bei m Klasse vo Häufigkeite f der Fall, we P f = =cost. Wie Pearso gezeigt hat, ist auch der folgede Ausdruck approximativ v 2 -verteilt: v 2 = Xm iˆ b i e i 2 e i : :29 Dabei sid b i die i eier Kategorie i beobachtete ud e i die theoretisch erwartete Häufigkeite. Dieser Ausdruck ist v 2 -verteilt, we die erwartete Häufigkeite e i geüged groß sid. Als Richtwerte für ei ausreiched großes e i werde i der statistische Literatur uter verschiedee Bediguge Werte e i =5, e i =0 oder e i = 30 agegebe (7 dazu Kap. 5). Zur Verdeutlichug vo Gl. (.29) greife wir ereut das i 7 Absch..2.4 geate Beispiel auf, u allerdigs mit eier größere Stichprobe. Ageomme, vo = 30 Studete sympathisiere b = 5 mit Partei A, b 2 = mit Partei B ud

20 20 Kapitel Wahrscheilichkeitslehre b 3 = 4 mit Partei C. Die theoretisch erwartete Häufigkeite erhalte wir, idem die auf S. 8 geate p-werte mit multipliziert werde: e = 0,5 30 = 5, e 2 = 0,3 30 = 9 ud e 3 = 0,2 30 = 6. Nach Gl. (.29) resultiert damit ei v 2 vo v 2 = =; : Da die theoretische Häufigkeite i diesem Beispiel die gleiche Summe ergebe müsse wie die beobachtete, hat dieser v 2 -Wert m =2 (m = Azahl der Kategorie) Freiheitsgrade. Tafel 3 des Ahags ist zu etehme, dass für Fg=2 ei v 2 =,022 eie Überschreitugswahrscheilichkeit vo P = 0,60 ud ei v 2 =,386 eie Überschreitugswahrscheilichkeit vo P = 0,50 aufweise. Demach hat der empirisch ermittelte v 2 -Wert eie Überschreitugswahrscheilichkeit, die zwische 0,50 ud 0,60 liegt. Daraus wäre zu folger, dass die theoretische Verteilug icht graviered vo der empirische Verteilug abweicht (Näheres dazu 7 Absch. 5..3)..2.6 Die Poisso-Verteilug We die Azahl der Ereigisse sehr groß ud die Wahrscheilichkeit des utersuchte Ereigisses p sehr klei sid, wird die Ermittlug biomialer Wahrscheilichkeite ach Gl. (.6) sehr aufwedig. I diesem Falle empfiehlt es sich, die exakte biomiale Wahrscheilichkeite durch die Wahrscheilichkeite eier adere Verteilug, der Poisso-Verteilug, zu approximiere. Die Wahrscheilichkeitsfuktio der Poisso-Verteilug lautet: p x = lx x! e l :30 mit l= p ud e=2,783 (Basis der atürliche Logarithme). Die Biomialverteilug geht i die Poisso-Verteilug über, we??, p? 0 ud p=cost. (vgl. dazu etwa Kreyszig, 973, Absch. 42). Variaz ud Mittelwert sid bei der Poisso-Verteilug idetisch: l=r 2 = p. Die Poisso-Verteilug wird gelegetlich auch als Verteilug selteer Ereigisse bezeichet. Ihre Berechug sei im Folgede a eiem Beispiel verdeutlicht. (Weitere Aweduge der Poisso-Verteilug fidet ma z. B. bei Hays, 973, Absch. 5.2). A eiem Roulettetisch werde a eiem Abed = 300 Spiele gemacht. Ei Spieler behauptet, dass a diesem Abed die Zahl 3 icht häufiger als 2-mal fällt. Mit welcher Wahrscheilichkeit hat der Spieler mit seier Behauptug recht, we es sich um ei faires Roulette hadelt, d. h. we p=/37? Nach Gl. (.30) erreche wir l = 300/37 = 8, ud p x =0 = p x = = p x =2 = 8; 0 e 8; =0;0003 0! 8; e 8; =0;0024! 8; 2 e 8; =0;0099 : 2!

21 2.2 Wahrscheilichkeitsverteiluge Als Überschreitugswahrscheilichkeit ergibt sich damit der Wert P = 0,026. Es empfiehlt sich also icht, der Ituitio des Spielers zu folge. Uter Verwedug vo Gl. (.6) lautet die exakte Überschreitugswahrscheilichkeit ach der Biomialverteilug P = 0, , ,0094 = 0,020. Die Poisso-Approximatio ka damit bereits für - ud p-werte i der Größeordug des Beispiels als brauchbar agesehe werde..2.7 Die hypergeometrische Verteilug Wir habe u abschließed och eie Wahrscheilichkeitsverteilug keezulere, die sich da ergibt, we Stichprobe zweiklassiger Elemete aus eier edlich begrezte Grudgesamtheit etomme werde: die hypergeometrische Verteilug. Die hypergeometrische Verteilug lässt sich ahad eies sog. Uremodells folgedermaße herleite: I eier Ure befide sich K farbige ud N K farblose Kugel, isgesamt also N Kugel. Die Wahrscheilichkeit, eie farbige Kugel zu ziehe, ist damit p = K/N. Die Wahrscheilichkeit, geau x farbige Kugel i eier Stichprobe vo Kugel zu fide, ergibt sich aus folgede Überleguge: Es bestehe K x Möglichkeite, x farbige Kugel aus de K isgesamt vorhadee farbige Kugel herauszugreife; es bestehe weiterhi N K x Möglichkeite, x farblose Kugel aus de isgesamt vorhadee N K farblose Kugel herauszugreife. Daher ergebe sich ach dem Multiplikatiossatz K x N K x Möglichkeite, aus de N Kugel x farbige ud x farblose Kugel zu ziehe. Da die Gesamtzahl aller Kombiatioe für Kugel aus N Kugel N beträgt, ergibt sich die Wahrscheilichkeit p(x) für x farbige Kugel aus Kugel zu: p x = K N K x x N : :3 Der Ausdruck p(x) etspricht eier Puktwahrscheilichkeit. Die Überschreitugswahrscheilichkeit, x oder weiger farbige Kugel zu ziehe, bestimmt ma als Summe der zugehörige Puktwahrscheilichkeite: P = p(x) + p(x ) +...+p(0). Die hypergeometrische p Verteilug hat eie Mittelwert vo p ud eie Stadardabweichug vo p p N = M ; sie hat p also das gleiche Mittel wie die Biomialverteilug, ur eie um de Faktor N = N kleiere Streuug. Sie geht i die Biomialverteilug über, we N??. Auch diese Verteilug sei a eiem Beispiel erläutert: We wir bereche wolle, wie hoch die Chace ist, im Zahlelotto 6 aus 49 de iedrigste Gewirag (x = 3 Richtige) zu habe, so wäre eizusetze: K = 6 (Azahl der mögliche Treffer), x = 3 (Azahl der tatsächliche Treffer), N = 49 (Azahl der Kugel im Ziehugsgerät), = 6 (Azahl zu zieheder Kugel), N K = 43 ud x= p x =3 = = =0;077 :

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