Jürgen Hausen Lineare Algebra I
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- Adolph Geier
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1 Jürgen Hausen Lineare Algebra I 2. korrigierte Auflage Shaker Verlag Aachen 2009
2 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Copyright Shaker Verlag 2009 Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten. Printed in Germany. ISBN ISSN Shaker Verlag GmbH Postfach Aachen Telefon: / Telefax: / Internet: info@shaker.de
3 Vorwort zur ersten Auflage Der vorliegende Text entstand aus einer einführenden Vorlesung Lineare Algebra im Rahmen des Mathematikstudiums. Ich habe mich um knappe Darstellung und einen möglichst geradlinigen Zugang zu den aus meiner Sicht wichtigsten Themen bemüht, ohne dabei auf vollständige Beweise und Beispiele zu verzichten. Jeder Textabschnitt lässt sich in einer Vorlesungsdoppelstunde (90 min.) behandeln. Unumgängliche Unannehmlichkeiten, wie etwa der Nachweis der Vektorraumaxiome für R n, sind m.e. weder dazu geeignet, sie dem Leser als Übung zu empfehlen, noch sie in der Vorlesung vollständig vorzuführen; ich habe sie im Text aufgeführt, allerdings in kleingedruckter Form. Tübingen im Februar 2007 Jürgen Hausen Vorwort zur zweiten Auflage Es sind einige Tippfehler korrigiert und die eine oder andere Unstimmigkeit ist beseitigt all denen, die mir dabei geholfen haben, sei an dieser Stelle herzlich gedankt! Tübingen im September 2009 Jürgen Hausen i
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5 iii Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen Logik und Beweisen 1 Aussagen, logische Operationen und, oder, Negation, Implikation, Äquivalenz, Wahrheitstafeln, All- und Existenzaussagen Aufgaben zu Abschnitt Mengen 7 Cantorscher Mengenbegriff, Teilmengen, Vereinigung, Durchschnitt, Komplement, direktes Produkt, Familien Aufgaben zu Abschnitt Abbildungen 15 Abbildungen, Bild, Urbild, Komposition, injektiv, surjektiv, bijektiv, Umkehrabbildung Aufgaben zu Abschnitt Ergänzungen zu 1.2 und Direktes Produkt und Projektionen, Graph einer Abbildung, Abbildungen endlicher Mengen 2. Etwas Algebra Gruppen 25 Verknüpfungen, neutrale und inverse Elemente, Gruppen, Gruppenhomomorphismen, Beispiel Z/nZ Aufgaben zu Abschnitt Ringe 33 Ringe, Rechnen in kommutativen Ringen, Ringhomomorphismen, Einheiten, Beispiel Z/nZ Aufgaben zu Abschnitt Körper 41 Körper, Körper der komplexen Zahlen, Körper Z/pZ, lineare Gleichungssysteme über Körpern Aufgaben zu Abschnitt Vektorräume Vektorräume und Untervektorräume 47 Vektorräume, K n, Untervektorräume, Durchschnitt von Untervektorräumen, Vektorräume von Abbildungen Aufgaben zu Abschnitt Lineare Hülle und lineare (Un-)abhängigkeit 55 Linearkombinationen, lineare Hülle, lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit Aufgaben zu Abschnitt Basen und Koordinaten 61 Erzeugendensysteme, Basen, Entwicklung nach einer Basis, Koordinaten, Vektorraum der Polynome
6 iv Aufgaben zu Abschnitt Existenz von Basen und Dimension 69 Basisergänzungssatz, Austauschprinzip, Dimensionsbegriff Aufgaben zu Abschnitt Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen 75 Lineare Abbildungen, Kern, Bild, Charakterisierung der Injektivität, Dimensionsformel und ihre Anwendungen Aufgaben zu Abschnitt Matrizen 83 Matrizen, Matrix-Vektor-Multiplikation, Matrizenmultiplikation, Matrizenring, Invertierbarkeit Aufgaben zu Abschnitt Lineare Abbildungen und Matrizen 89 Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen, Vektorraum der linearen Abbildungen, Endomorphismenring Aufgaben zu Abschnitt Der Dualraum 97 Linearformen, Dualraum, duale Basis, duale Abbildung, Transponierte einer Matrix Aufgaben zu Abschnitt Matrizenrechung Zeilen- und Spaltenoperationen 103 Zeilenoperationen, Zeilenstufenform, Gaußscher Algorithmus, Spaltenoperationen, Elementarmatrizen Aufgaben zu Abschnitt Der Rang einer Matrix 111 Spaltenrang, Zeilenrang, Rang, Charakterisierungen von Invertierbarkeit, Rangbestimmung, Inversenberechnung Aufgaben zu Abschnitt Lineare Gleichungssysteme 119 Lineare Gleichungssysteme, verschiedene Lösbarkeitskriterien, Lösungsverfahren Aufgaben zu Abschnitt Die Determinante Permutationen 127 Permutationen, Symmetrische Gruppe, Transpositionen, Signum, Alternierende Gruppe Aufgaben zu Abschnitt Determinanten 133 Determinante einer Matrix, Eigenschaften der Determinante, Determinantenmultiplikationssatz
7 v Aufgaben zu Abschnitt Determinantenberechnung 139 Determinante einer Dreiecksmatrix, komplementäre Matrix, Cramersche Regel, Laplacescher Entwicklungssatz Aufgaben zu Abschnitt Miscellanea Direkte Zerlegungen 147 Summen, direkte Summen, lineare Projektionen, Fall zweier Untervektorräume Aufgaben zu Abschnitt Quotientenvektorräume 155 Äquivalenzrelationen, Quotientenvektorräume, Homomorphiesatz, Dimensionsformel Aufgaben zu Abschnitt Basiswechsel 163 Transformationsformeln für Koordinaten und darstellende Matrizen, Determinante eines Endomorphismus, Normalformenproblem Aufgaben zu Abschnitt Diagonalisierbarkeit Eigenwerte und Eigenvektoren 169 Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume, Diagonalisierbarkeit Aufgaben zu Abschnitt Polynomring und Körper der rationalen Funktionen 175 Polynomring, Division mit Rest, Integritätsringe, Quotientenkörper, Körper der rationalen Funktionen Aufgaben zu Abschnitt Charakteristisches Polynom und Diagonalisierbarkeit 183 Charakteristisches Polynom, algebraische und geometrische Vielfachheiten, Charakterisierung der Diagonalisierbarkeit Aufgaben zu Abschnitt Euklidische und unitäre Vektorräume Euklidische Vektorräume 189 Skalarprodukt, Norm, Länge, Winkel, Orthogonalität, Cauchy- Schwarzsche Ungleichung, Dreiecksungleichung Aufgaben zu Abschnitt Orthonormalbasen 195 Orthonormalbasen, Gram-Schmidt-Orthonormalisierung, orthogonale Zerlegung, Isometrien, orthogonale Matrizen Aufgaben zu Abschnitt Unitäre Vektorräume 201 Hermitesche Skalarprodukte, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, Gram-Schmidt-Orthonormalisierung, Isometrien, unitäre Matrizen.
8 vi Aufgaben zu Abschnitt Selbstadjungierte Endomorphismen 209 Selbstadjungierte Endomorphismen, hermitesche und symmetrische Matrizen, Hauptachsentransformation Aufgaben zu Abschnitt Index 215
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