Rechenübung HFT I. Smithdiagramm Impedanztransformation
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- Reinhold Berger
- vor 7 Jahren
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1 Rechenübung HFT I Smithdiagramm Impedanztransformation
2 Organisatorisches zur Rechenübung HFT I UPDATE! Anmeldung für die Klausur: Bis im Sekretariat HFT 4 - (Bachelor und Diplom) Klausur wird gilt nur als Übungsschein! Klausurtermin: 14. Februar 2010
3 Wiederholung: Reflexionsfaktor Z i U 0 U(z = 0) Z L, γ,l U e Z e Durch Reflexion der Hinlaufenden entsteht Rücklaufende Reflexionsfaktor: Wenn r(l) 0, dann werden Strom und Spannung durch Überlagerung von hin- und rücklaufender Welle auf der Leitung transformiert!
4 Wiederholung: Spannungs- und Stromtransformation Leitung stellt Vierpol dar Transformation kann mit Kettenmatrix beschrieben werden U a I a = cosh(γl) ZL sinh(γl) sinh(γl)/z L cosh(γl) U e I e Das kann auch als Impedanztransformation aufgefasst werden!
5 Impedanztransformation Aus der Transformationsmatrix folgt dann: mit Der Abschlusswiderstand wird an den Anfang der Leitung transformiert I a I e I a U a Z L, γ, L U e Z e U a Z a Beispiel Anpassung: Ze = ZL Za = ZL
6 Transformation des Reflexionsfaktors Aber in der Praxis ist meist der Reflexionsfaktor interessanter! r(0) Z L, γ, L r(l) Z e r(0) Z a Kann aus dem transformierten Widerstand berechnet werden Kann aber auch direkt berechnet werden!
7 Transformation des Reflexionsfaktors r(0) Z L, γ, L r(l) Z e r(0) Z a Direkte Berechnung ergibt: Dämpfung Phasendrehung Die Transformation des Reflexionsfaktors ist viel einfacher und anschaulicher als die Impedanztransformation! Das nutzen wir mit Hilfe des Smithdiagramms aus!
8 Einführung in das Smithdiagramm Einfache Transformation von Reflexionsfaktoren und Impedanzen entlang einer Leitung Einfach heißt ohne komplexe Rechnung, sondern grafisch! Heute sehr hohe praktische Bedeutung zur Darstellung von Schaltungseigenschaften
9 Einführung in das Smithdiagramm Einfache Transformation von Reflexionsfaktoren und Impedanzen entlang einer Leitung Einfach heißt ohne komplexe Rechnung, sondern grafisch! Heute sehr hohe praktische Bedeutung zur Darstellung von Schaltungseigenschaften Darstellung eines frequenzabhängigen Reflexionsfaktors im Smithdiagramm (Entnommen von
10 Grundlagen des Smithdiagramms Reflexionsfaktor und Impedanz sind verknüpft durch die Funktion z(l) normierte Impedanz Das ist eine konforme Abbildung: Impedanzen aus der (rechten) z-ebene werden in die r-ebene der Reflexionsfaktoren abgebildet
11 Eigenschaften der konformen Abbildung
12 Vorteile des Smithdiagramms Vorteil: Sehr einfache Transformation entlang der Leitung in der Ebene des Reflexionsfaktors (grafisch!) Weiterer Vorteil: Admittanz y kann aus Impedanz z durch Punktspiegelung am Ursprung ermittelt werden normierte Admittanz D.h., Widerstände in Reihen- und Parallelschaltung können leicht addiert werden!
13 Ein Beispiel: Impedanztransformation auf einer verlustlosen Leitung I a I e I a U a Z L, γ, l U e Z e U a Z a
14 Ein Beispiel: Impedanztransformation auf einer verlustlosen Leitung
15 Ein Beispiel: Impedanztransformation auf einer verlustlosen Leitung Z e ist vorgegeben
16 Ein Beispiel: Impedanztransformation auf einer verlustlosen Leitung Z e ist vorgegeben normieren
17 Ein Beispiel: Impedanztransformation auf einer verlustlosen Leitung Z e ist vorgegeben normieren r(l) eintragen z = 2
18 Ein Beispiel: Impedanztransformation auf einer verlustlosen Leitung Z e ist vorgegeben normieren r(l) eintragen transformieren z = 2
19 Ein Beispiel: Impedanztransformation auf einer verlustlosen Leitung Z e ist vorgegeben normieren r(l) eintragen transformieren z = 2
20 Ein Beispiel: Impedanztransformation auf einer verlustlosen Leitung Z e ist vorgegeben normieren r(l) eintragen transformieren z = 2 z(0) ablesen
21 Ein Beispiel: Impedanztransformation auf einer verlustlosen Leitung Z e ist vorgegeben normieren r(l) eintragen transformieren z = 2 z(0) ablesen entnormieren
22 Wdh: Verlustlose Leitung mit Parallelkapazität ZL, γ, l YC Rechnung mit Transformationsmatrix hat gezeigt, dass die Leitung durch die Parallelkapazität verlängert wird. Man kann das auch sehr einfach im Smithdiagramm zeigen! Beispiel: Leerlauf
23 Wdh: Leerlaufende Leitung mit Parallelkapazität
24 Wdh: Leerlaufende Leitung mit Parallelkapazität Leerlauf eintragen
25 Wdh: Leerlaufende Leitung mit Parallelkapazität Leerlauf eintragen In Leitwert transformieren
26 Wdh: Leerlaufende Leitung mit Parallelkapazität Leerlauf eintragen In Leitwert transformieren Addition der normierten Admittanz der parallelgeschalteten Kapazität, z.b. y = j0.4 (bei geg. Freq.)
27 Wdh: Leerlaufende Leitung mit Parallelkapazität Leerlauf eintragen In Leitwert transformieren Addition der normierten Admittanz der parallelgeschalteten Kapazität, z.b. y = j0.4 (bei geg. Freq.) Transformation zum Anfang der Leitung, z.b. L/λ = 0.1
28 Wdh: Leerlaufende Leitung mit Parallelkapazität Leerlauf eintragen In Leitwert transformieren Addition der normierten Admittanz der parallelgeschalteten Kapazität, z.b. y = j0.4 (bei geg. Freq.) Transformation zum Anfang der Leitung, z.b. L/λ = 0.1 Man sieht sofort: Leitung mit Parallel-C verhält sich wie Leitung mit L/λ = 0.16 Leitung wird verlängert!
29 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert 2.1 Normierter Eingangsleitwert Es ist der normierte Eingangsleitwert einer am Ende kurzgeschlossenen, verlustfreien Leitung der Länge l bei einem Wellenwiderstand Z L zu berechnen und der Verlauf als Funktion von l/λ zu skizzieren. Für welche Leitungslängen tritt Kurzschluß- bzw. Leerlaufverhalten auf? Lösung: Y E /Y L = j cot (βl) ; l Kurzschluss = nλ 2 ; l Leerlauf = (2n + 1) λ 4
30 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert 2.1 Normierter Eingangsleitwert Es ist der normierte Eingangsleitwert einer am Ende kurzgeschlossenen, verlustfreien Leitung der Länge l bei einem Wellenwiderstand Z L zu berechnen und der Verlauf als Funktion von l/λ zu skizzieren. Für welche Leitungslängen tritt Kurzschluß- bzw. Leerlaufverhalten auf? Lösung: Y E /Y L = j cot (βl) ; l Kurzschluss = nλ 2 ; l Leerlauf = (2n + 1) λ 4 I a I e I a U a Z L, γ, l U e Z e U a Z a
31 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert 2.1 Normierter Eingangsleitwert Es ist der normierte Eingangsleitwert einer am Ende kurzgeschlossenen, verlustfreien Leitung der Länge l bei einem Wellenwiderstand Z L zu berechnen und der Verlauf als Funktion von l/λ zu skizzieren. Für welche Leitungslängen tritt Kurzschluß- bzw. Leerlaufverhalten auf? Lösung: Y E /Y L = j cot (βl) ; l Kurzschluss = nλ 2 ; l Leerlauf = (2n + 1) λ 4 I a I e I a U a Z L, γ, l U e Z e U a Z a
32 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert 2.1 Normierter Eingangsleitwert Es ist der normierte Eingangsleitwert einer am Ende kurzgeschlossenen, verlustfreien Leitung der Länge l bei einem Wellenwiderstand Z L zu berechnen und der Verlauf als Funktion von l/λ zu skizzieren. Für welche Leitungslängen tritt Kurzschluß- bzw. Leerlaufverhalten auf? Lösung: Y E /Y L = j cot (βl) ; l Kurzschluss = nλ 2 ; l Leerlauf = (2n + 1) λ 4
33 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert 2.1 Normierter Eingangsleitwert Es ist der normierte Eingangsleitwert einer am Ende kurzgeschlossenen, verlustfreien Leitung der Länge l bei einem Wellenwiderstand Z L zu berechnen und der Verlauf als Funktion von l/λ zu skizzieren. Für welche Leitungslängen tritt Kurzschluß- bzw. Leerlaufverhalten auf? Lösung: Y E /Y L = j cot (βl) ; l Kurzschluss = nλ 2 ; l Leerlauf = (2n + 1) λ 4
34 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert
35 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Merke: Alle möglichen Blindleitwerte können realisiert werden!
36 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Merke: Alle möglichen Blindleitwerte können realisiert werden! Periodisches Verhalten
37 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Merke: Alle möglichen Blindleitwerte können realisiert werden! Periodisches Verhalten Kurzschlussverhalten bei l l = n*λ/2
38 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Merke: Alle möglichen Blindleitwerte können realisiert werden! Periodisches Verhalten Kurzschlussverhalten bei l l = n*λ/2 Leerlaufverhalten bei l = (2n-1)*λ/4
39 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert
40 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Jetzt dieselbe Aufgabe mit dem Smithdiagramm!
41 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Kurzschluss eintragen
42 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Kurzschluss eintragen In Leitwert transformieren
43 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Kurzschluss eintragen In Leitwert transformieren Transformieren
44 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Kurzschluss eintragen In Leitwert transformieren Transformieren Leerlauflänge kann direkt abgelesen werden! l Leer =1/4*λ
45 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Kurzschluss eintragen In Leitwert transformieren Transformieren Leerlauflänge kann direkt abgelesen werden! Weiter transformieren
46 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Kurzschluss eintragen In Leitwert transformieren Transformieren Leerlauflänge kann direkt abgelesen werden! Kurzschlusslänge kann direkt abgelesen werden! l Kurz =1/2*λ
47 Aufgabe 2.1 Normierter Eingangsleitwert Kurzschluss eintragen In Leitwert transformieren Transformieren Leerlauflänge kann direkt abgelesen werden! Weiter transformieren zeigt Periodizität des Verhaltens
48 Aufgabe 2.2: Reflexionsfaktor 2.2 Reflexionsfaktor Berechnen Sie Betrag und Phase des Reflexionsfaktors, wenn an eine Leitung mit Z L = 50 Ω eine komplexe Last mit 25 Ω und einer Parallelkapazität von 3 pf bei einer Frequenz von f = 2.12 GHz angeschlossen wird. Lösung: r = 0.62; φ r = R Z L, γ, l r(l) Y C
49 Aufgabe 2.2: Reflexionsfaktor 2.2 Reflexionsfaktor Berechnen Sie Betrag und Phase des Reflexionsfaktors, wenn an eine Leitung mit Z L = 50 Ω eine komplexe Last mit 25 Ω und einer Parallelkapazität von 3 pf bei einer Frequenz von f = 2.12 GHz angeschlossen wird. Lösung: r = 0.62; φ r = R Z L, γ, l r(l) Y C
50 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor
51 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren
52 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen
53 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen
54 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren
55 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren
56 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren
57 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren z R eintragen
58 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren z R eintragen
59 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren z R eintragen In Leitwert transformieren
60 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren z R eintragen In Leitwert transformieren
61 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren z R eintragen In Leitwert transformieren Leitwerte addieren
62 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren z R eintragen In Leitwert transformieren Leitwerte addieren
63 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren z R eintragen In Leitwert transformieren Leitwerte addieren In Impedanz transformieren
64 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren z R eintragen In Leitwert transformieren Leitwerte addieren In Impedanz transformieren
65 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren z R eintragen In Leitwert transformieren Leitwerte addieren In Impedanz transformieren Reflexionsfaktor ablesen
66 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren z R eintragen In Leitwert transformieren Leitwerte addieren In Impedanz transformieren Reflexionsfaktor ablesen r 0.62
67 Aufgabe 2.2 Reflexionsfaktor Z C normieren z C eintragen In Leitwert transformieren R normieren z R eintragen In Leitwert transformieren Leitwerte addieren In Impedanz transformieren Reflexionsfaktor ablesen r 0.62 exp(j 210 )
68 Übungsaufgabe zu Smithdiagramm II 2.5 Wellenwiderstandssprung Bestimmen Sie für eine Schaltung nach Abbildung 9 den Eingangswiderstand Z E bei einer Frequenz von 2.5 GHz, wobei die Leitungen als Streifenleitungen auf Epoxyd-Substrat mit ε eff = 5.76 ausgeführt sind. (Z = 20 Ω, Z L1 = 50 Ω, Z L2 = 75 Ω) l = 1cm 2 l = 2cm 1 Z L2 Z L1 Z Abbildung 9: Wellenwiderstandssprung Lösung: Z E = j68.3ω
69 Aufgabe 2.5: Wellenwiderstandssprung f = 2,5 GHz Epoxyd-Substrat ε eff =5,76 Z = 20 Ohm, Z L2 = 75 Ohm, Z L1 = 50 Ohm
70 Aufgabe 2.5: Wellenwiderstandssprung f = 2,5 GHz Epoxyd-Substrat ε eff =5,76 Z = 20 Ohm, Z L2 = 75 Ohm, Z L1 = 50 Ohm L2=1cm L1=2cm
71 Aufgabe 2.5: Wellenwiderstandssprung f = 2,5 GHz Epoxyd-Substrat ε eff =5,76 Z = 20 Ohm, Z L2 = 75 Ohm, Z L1 = 50 Ohm
72 Aufgabe 2.5: Wellenwiderstandssprung f = 2,5 GHz Epoxyd-Substrat ε eff =5,76 Z = 20 Ohm, Z L2 = 75 Ohm, Z L1 = 50 Ohm
73 Aufgabe 2.5: Wellenwiderstandssprung f = 2,5 GHz Epoxyd-Substrat ε eff =5,76 Z = 20 Ohm, Z L2 = 75 Ohm, Z L1 = 50 Ohm
74 Aufgabe 2.5: Wellenwiderstandssprung f = 2,5 GHz Epoxyd-Substrat ε eff =5,76 Z = 20 Ohm, Z L2 = 75 Ohm, Z L1 = 50 Ohm
75 Aufgabe 2.5 Wellenwiderstandssprung
76 Aufgabe 2.5 Wellenwiderstandssprung Z auf Z L1 =50 Ohm normieren z = Z/ Z L1 =0.4
77 Aufgabe 2.5 Wellenwiderstandssprung Z auf Z L1 =50 Ohm normieren z eintragen
78 Aufgabe 2.5 Wellenwiderstandssprung Z auf Z L1 =50 Ohm normieren z eintragen z über Leitung 1 transformieren
79 Aufgabe 2.5 Wellenwiderstandssprung Z auf Z L1 =50 Ohm normieren z eintragen z über Leitung 1 transformieren
80 Aufgabe 2.5 Wellenwiderstandssprung Z auf Z L1 =50 Ohm normieren z eintragen z über Leitung 1 transformieren z 1 ablesen und entnormieren Z 1 = (0.55-j0.55)*50Ω = 27.5Ω-j27.5Ω
81 Aufgabe 2.5 Wellenwiderstandssprung Z auf Z L1 =50 Ohm normieren z eintragen z über Leitung 1 transformieren z 1 ablesen und entnormieren Z1 auf Z L2 = 75 Ohm normieren z 2 = (27.5Ω-j27.5Ω)/75Ω =0.37-j0.37
82 Aufgabe 2.5 Wellenwiderstandssprung Z auf Z L1 =50 Ohm normieren z eintragen z über Leitung 1 transformieren z 1 ablesen und entnormieren Z1 auf Z L2 = 75 Ohm normieren z 2 eintragen und transformieren
83 Aufgabe 2.5 Wellenwiderstandssprung Z auf Z L1 =50 Ohm normieren z eintragen z über Leitung 1 transformieren z 1 ablesen und entnormieren Z1 auf Z L2 = 75 Ohm normieren z 2 eintragen und transformieren
84 Aufgabe 2.5 Wellenwiderstandssprung Z auf Z L1 =50 Ohm normieren z eintragen z über Leitung 1 transformieren z 1 ablesen und entnormieren Z1 auf Z L2 = 75 Ohm normieren z 2 eintragen und transformieren z E ablesen und entnormieren Z E = (0.65-j0.9)*75Ω = 49Ω-j67Ω
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