Lösungen zum Pflichtteil (ohne GTR und Formelsammlung) Gebrochenrationale Funktionen

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Sylvia Pohl
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1 Lösungen zum Pflichtteil (ohne GTR und Formelsmmlung) Gebrochenrtionle Funktionen Aufgbe : ) wgr. Asymptote: y, b) wgr. Asymptote: y 0 senkr. Asymptote: x - mit VZW senkr. Asymptote: x mit VZW c) wgr. Asymptote: y -, d) wgr. Asymptote: y senkr. Asymptote: x - ohne VZW senkr. Asymptote: x ohne VZW Aufgbe : ) Anstz, in dem nur die Asymptoteninformtionen enthlten sind: x + f(x), beliebige reelle Zhl x 8 + x Punktbedingung: f() 6 6 f(x) x b) Anstz, in dem nur die Asymptoteninformtionen enthlten sind: f(x) x + +, beliebige reelle Zhl (x ) (d der Pol ohne VZW sein soll, muss der Linerfktor im Nenner qudriert werden) Punktbedingung: f() + f(x) x + + (x ) c) Anstz, in dem nur die Asymptoteninformtionen enthlten sind:

2 f(x) x +, beliebige reelle Zhl (x )(x + ) 6 Punktbedingung: f() + 6 f(x) x + (x )(x + ) d) Anstz, in dem nur die Asymptoteninformtionen enthlten sind: f(x), beliebige reelle Zhl x 8 Punktbedingung: f(0) 8 f(x) x e) Anstz, in dem nur die Asymptoten- und Näherungskurveninformtionen enthlten sind: f(x) x + +, beliebige reelle Zhl x + Punktbedingung: f() + + f(x) x + + x + (x ) f(x) (x )(x ) D bei x eine hebbre Lücke vorliegen soll, muss sich der Linerfktor (x-) heruskürzen lssen. Aufgbe : ) senkrechte Asymptote x - mit VZW, wgrechte Asymptote y - x + Funktionsnstz: f(x), beliebige reelle Zhl x + Punktinformtion us Schubild: P(0/0), lso f(0) 0 0 f(x) x x + b) schiefe Asymptote y 0,5x-, senkrechte Asymptote x ohne VZW Funktionsnstz: f(x) 0,5x +, beliebige reelle Zhl (x ) Punktinformtion us Schubild: P(0/), lso f (0) + lso f(x) 0,5x + (x ) c) senkrechte Asymptoten x - und x ohne VZW, wgr. Asymptote y x + Funktionsnstz: f(x), beliebige reelle Zhl (x )(x + ) Punktinformtion us Schubild: P(0/0), lso f (0) 0 0 x lso f(x) (x )(x + ) d) senkrechte Asymptote x ohne VZW, wgrechte Asymptote y

3 x + Funktionsnstz: f(x), beliebige reelle Zhl (x ) Punktinformtion us Schubild P(0/), lso f (0) x + lso f(x) (x ) Aufgbe : 0 (x + ) (x + ) ) (x) (x + ) (x + ) (x + ) x x x + b) (x) (x + ) (x + ) c) (6x + )(x ) (x + x )x x x (x) (x ) (x ) d) (x + ) x (x + ) (x + ) x 8x + (x) 6 (x + ) (x + ) (x + ) e) ( sin(x)) x ( cos(x)) sin(x) + xcos(x) (x) ( sin(x)) ( sin(x)) (x) x sin(x + ) + x cos(x + ) g) (x) (x ) (x + ) x x h) 0,5 0,5 f(x) (x x ) (x) (x x ) (x x) i) 0 (x + ) x x (x) cos( ) cos( ) x + (x + ) x + (x + ) Aufgbe 5: Für den mximlen Definitionsbereich müssen die Definitionslücken ermittelt werden. ) 5 ± 5 5 ± x 5x x, lso x oder x. D R \ { ; } b) x + 0 besitzt keine Lösung, lso D R c) x x + 0 Ausklmmern und Substitution ist nicht möglich, lso muss zunächst eine Lösung errten werden: x Polynomdivision: (x x + ) : (x ) x x ± + 8 x 0 x, ±, lso D R \ { ; ± } x

4 Aufgbe 6: ) Eine Definitionslücke einer gebrochenrtionlen Funktion ist eine Nullstelle des Nennerpolynoms. D mn nicht durch Null dividieren drf, muss mn diese Nullstellen us der Definitionsmenge usschließen. b) Eine Polstelle ist eine Definitionslücke, bei der eine senkrechte Asymptote uftritt. Dies ist genu dnn der Fll, wenn sich der Linerfktor im Nenner, der diese Definitionslücke verurscht nicht im Nenner komplett heruskürzen lässt. Es gibt Polstellen mit Vorzeichenwechsel und Polstellen ohne Vorzeichenwechsel. c) Eine Polstelle ist eine spezielle Definitionslücke. d) Eine hebbre Lücke ist eine Definitionslücke, die in dem Schubild nschulich ein kleines Loch ergibt. Dies ist genu dnn der Fll, wenn sich der Linerfktor im Nenner, der diese Definitionslücke verurscht, im Nenner komplett heruskürzen lässt. e) Eine wgrechte Asymptote y 0 liegt vor, wenn der Zählergrd der gebrochenrtionlen Funktion kleiner ls der Nennergrd ist. Ddurch wächst für x ± der Nenner schneller ls der Zähler und der Grenzwert der Funktion ist Null. Aufgbe 7: ) b) f(x) 6 8x f(x) 6 (x + ) F(x) 6x + x F(x) (x + ) c) F (x) lnx + lnx + d) F (x) (x + ) (x + ) 6 e) 5 f(x) x + x + F(x) x + x + x 5 F(x) cos(x ) x x,5(x + ) g) f(x) + x + x x F(x) x x x x x h) x f(x) + x + x F(x) lnx x x x 6 i) f(x) (x ) F(x) (x ) + C (x ) + C Mit F() folgt F() + C C F(x) (x ) + + x 9

5 Aufgbe 8: ) Volumen des Rottionskörpers: b) V π x [ x ] x dx π x dx π π π ( + ) π Die nch rechts offene Fläche wird zunächst durch eine senkrechte Gerde x z für z > nch rechts begrenzt. A(z) dx + x x z Für z git A(z), lso besitzt diese Fläche den endlichen Flächeninhlt. z z Aufgbe 9: Es gilt f(x). Aus f() folgt P(/). x Mit (x) folgt m tn g () (x ) Tngentengleichung mit Punkt-Steigungs-Form: y (x ) y x + 9 Steigung der Normlen: mnorm m tng Normlengleichung mit Punkt-Steigungs-Form: Aufgbe 0: y (x ) y x + 7 ) x f(x) x wgrechte Asymptote y, d Zählergrd Nennergrd senkrechte Asymptote Polstelle bei x (d x in den Zähler eingesetzt nicht Null ergibt und somit der Linerfktor im Nenner nicht kürzbr ist) 5

6 b) c) d) x + x + 5 f(x) x 6 schiefe Asymptote mit Polynomdivision: ( x + x + 5) : (x ) x x lso y x+7 senkrechte Asymptote Polstelle bei x (Begründung wie in )) f (x) x + x schiefe Asymptote: y x (es steht schon ds Polynomdivisionsergebnis d) senkrechte Asymptote Polstelle bei x 0 (Begründung wie in )) (x )(x ) f(x) (x )(x + ) wgrechte Asymptote y (d Zählergrd Nennergrd) senkrechte Asymptote Polstelle bei x -, d (x+) nicht kürzbr hebbre Lücke bei x, d (x-) us Nenner komplett kürzbr e) x + x f(x) x Näherungskurve mit Polynomdivision: (x + x) : (x ) x + x + + x lso y x + x + senkrechte Asymptote Polstelle bei x (Begründung wie in )) x + f(x) (x )(x + ) wgrechte Asymptote y 0 (d Zählergrd < Nennergrd) senkrechte Asymptoten Polstellen bei x - und x (Begründung wie in )) 6

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