R. Brinkmann Seite Achsenschnittpunkte von e- Funktionen und Exponentialgleichungen

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1 R. Brikma Sit Achsschittpukt vo - Fuktio ud Epotialglichug Eiführugsbispil Bispil : Zu bstimm sid di Achsschittpukt vo s + f = D Schittpukt mit dr y y=f 0 Achs fidt ma übr d Asatz: ( 0 + ) f( 0) = = 0,0 Py 0 0,0 Schittpukt mit dr Achs fidt ma übr d Asatz: ( + ) f = 0 = 0 ( + ) ki Sschittpukt, d 0 für all Schittpukt mit dr - Achs bstimmt ma übr di Nullstll vo f (). Di Fuktio f () hat ki Nullstll, da s sich bi ihr um i i - Richtug vrschob ud i - Richtug gstrckt - Fuktio hadlt. Si ist außrdm och a dr y- Achs ud a dr - Achs gspiglt. u Epotialfuktio dr Form f = a mit a hab ldiglich i Schittpukt mit dr y Achs abr ki Nullstll. u D 0 für all Bispil : Zu bstimm sid di Achsschittpukt vo + + f = Schittpukt mit dr y Achs : ys = f ( 0) ys = f ( 0) = =,08 Py 0,08 Um möglich Schittpukt mit ds - Achs zu bstimm, ist dr Aufwad twas größr. Dazu sid di Nullstll vo f () zu bstimm. Erstllt vo R. Brikma p_fkt_0.doc : Sit vo 8

2 R. Brikma Sit f = Schittpukt mit dr Achs : + + = 0 f = 0 Epotialglichug = = = : + = Potzgstz + + ( + ) = Epot vrifach = logarithmir l l = l Logarithmgstz l = l = l,9 P l,9 0 Um di Schittpukt mit dr - Achs, also di Nullstll ir Epotialfuktio zu bstimm, ist s i vil Fäll rfordrlich, i Epotialglichug zu lös. Zusätzlich zu d bkat Opratio, di zur Lösug vo Glichug vrwdt wrd, ist s bi dr Lösug vo Epotialglichug ötig, di Potz- ud di Logarithmgstz zu k. f 0 Potz- ud Logarithmgstz Di wichtigst Potz- ud Logarithmgstz zusammgfasst. Potzgstz m m m+ a m a a a a = a = a a b = a b = a b b m m m m 0 = = = = a a a a a a a Dfiitio ds Logarithmus: = = = = 0 = b = lg( b ) a b log b b l b Logarithmgstz zur Basis a b l( a) 0 l( b c) = l( b) + l( c ) l l( b) l( c ) a c = = = c lg b l b l( b ) = c l( b) loga b = = l() = 0 l( ) = lg a l a Im Zusammhag mit - Fuktio hab Potz mit dr Basis ud atürlich Logarithm i bsodr Bdutug. Erstllt vo R. Brikma p_fkt_0.doc : Sit vo 8

3 R. Brikma Sit Traiig POT_LOG_0: Awdug dr Potz- ud Logarithmgstz. Form Si folgd Potz- ud Logarithmtrm utr Vrwdug dr Potzud Logarithmgstz um.. ( + ) l l l() t l( t) l t l + l 8. l t Lösugsmthod für Epotialglichug Lösug mittls Epotvrglich + = 0 ist i Epotialglichug, di ach folgdr Umformug + = übr d Epotialvrglich glöst wrd ka. + = + = + = = Pr ob : 0+ = = 0 Ei Lösug mittls Epotvrglich ist ur da möglich, w s gligt, di Trm auf bid Sit dr Glichug so umzuform, dass sich Potz mit glich Bas rgb. Das ist lidr jdoch icht immr möglich, wi folgds Bispil zig soll. Erstllt vo R. Brikma p_fkt_0.doc : Sit vo 8

4 R. Brikma Sit Lösug mittls Logarithmir = 0 + = = = Hir ist ki Epotialvrglich möglich. Dr Asatz rfolgt übr Logarithmir: l = l l = l l = l () 0 I vil Fäll führt dr Asatz übr das Logarithmir zum Erfolg. Jdoch Epotialglichug, i d Summ odr Diffrz vorkomm, kö icht logarithmirt wrd. Ma ka vrsuch, si mittls Substitutio (Eistzug ir Ersatzvariabl) zu lös. Lösug mittls Substitutio + = 0 Substitutio : = u ud = u u u + = 0 ist i quadratisch Glichug mit dr Lösug u = ;u = Rücksubstitutio ud Lösug durch Logarithmir u = = = l = 0 () u = = = l Erstllt vo R. Brikma p_fkt_0.doc : Sit vo 8

5 R. Brikma Sit Ausführlich Bispil zu Epotialglichug = 0 + = : = l Lösug durch Logarithmir l( ) l = l = l + l l = l + l = l + = l : = l = 0 = 0 = 0 ud = 0 + Lösug durch Logarithmir = l l = l l = l = l Prob : l( ) l( ) = 0 l( ) l( ) = 0 l( ) l( ) = 0 = 0 = 0 = 0 w Prob : = = 0 0 = 0 = 0 0 = 0 w = l l l 0 l = l( ) l( ) 0 l( ) l( ) 0 ( w) = = Erstllt vo R. Brikma p_fkt_0.doc : Sit vo 8

6 R. Brikma Sit = 0 Substitutio: u = u u+ = 0 Lösug dr quadratisch Glichug 7 p = ;q= ; p 89 D = q D = = = p u/ = ± D 7 u = + = = 8 7 u = = = Rücksubstitutio u = 8 = 8 l l = l 8 = l 8 u = = l l( ) = l l = l l = l : = = + + ( + ) ( + ) ( + ) + ( + )( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) + l ( ) = = + + = + = + = l l = l l + l = l l + l = l l + = l = l l = l Erstllt vo R. Brikma p_fkt_0.doc : Sit vo 8

7 R. Brikma Sit ( + ) + + = 0 + = 0 + Substitutio: u = u u + = 0 Rücksubstitutio + ( ) l( ) l l( ) l u = = l + = + = = + + = = ( ) l( ) l( ) u l + = + = 0 = Lösug dr quadratisch Glichug p = ;q= ; p 9 8 D = q D = = = p u/ = ± D u = + = = u = = = Traiig Epgl: Epotialglichug Lös Si di Epotialglichug mit d vo Ih bkat Mthod.).) = 0.) + 0.) + 7.) = =.) = 0.) = 9.) + = 0 8.) + = = + = 0.) ( ) = ( ) Erstllt vo R. Brikma p_fkt_0.doc : Sit 7 vo 8

8 R. Brikma Sit Achsschittpukt brch f = ys = f( 0) =,7 Py 0,7 f = 0 = 0 + l = = = l = l P = l 0, 0 s f = + y = f 0 = + = 0 P 0 0 f = 0 + = 0 () ( ) () Substitutio : = u = u u u+ = 0 Lösug dr quadratisch Glichug: u = ;u = u = = = l, u = = = l = 0 y P l, 0 ;P l = 0 0 f f Erstllt vo R. Brikma p_fkt_0.doc : Sit 8 vo 8