Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule Technik Lösungen Serie 10 (Lineare Abbildungen)

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1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule Technik Lösungen Serie (Lineare Abbildungen) Dozent/in: R. Burkhardt Büro:.6 Klasse: Semester: Datum: HS 8/9. Aufgabe Zeige, dass die folgenden Abbildungen linear sind: (a) (b) f : R R f (x, y) (x + y, x) f (u + v) f (u)+f (v) Mit u (x,y ) und v (x,y ) finden wir: f ((x,y )+(x,y ))? f ((x,y )) + f ((x,y )) f (x + x,y + y ) (x? + y,x )+(x + y,x ) (x + x + y + y,x + x ) (x? + x + y + y,x + x ) f (λu) λf (u) Mit u (x, y) finden wir: f (λ (x, y))? λf (x, y) f (λx, λy)? λ (x + y, x) (λx + λy, λx) (λx? + λy, λx) f : R R f (x, y, z) x y +z f (u + v) f (u)+f (v) Mit u (x,y,z ) und v (x,y,z ) finden wir: f ((x,y,z )+(x,y,z ))? f ((x,y,z )) + f ((x,y,z )) f (x + x,y + y,z + z ) x? y +z +x y +z (x + x ) (y + y )+(z + z ) (x? + x ) (y + y )+(z + z ) f (λu) λf (u) Mit u (x, y, z) finden wir: f (λ (x, y, z))? λf (x, y, z) f (λx, λy, λz)? λ (x y +z) λx λy +λz λx? λy +λz. Aufgabe Zeige, dass die folgenden Abbildungen nicht linear sind: (a) f : R R f (x, y) xy

2 Hier reicht es zu zeigen, dass eine der beiden Bedingungen nicht gilt: f (λu)? λf (u) f (λ (x, y))? λf (x, y) f (λx, λy)? λxy λ xy λxy (b) f : R R f (x, y) (x +, y,x + y) Hier reicht es zu zeigen, dass eine der beiden Bedingungen nicht gilt: f (λu)? λf (u) f (λ (x, y))? λf (x, y) f (λx, λy)? λ (x +, y, x + y) (λx +, λy, λx + λy) (λx + λ, λy, λx + λy) (c) f : R R f (x, y, z) ( x, ) Hier reicht es zu zeigen, dass eine der beiden Bedingungen nicht gilt: f (λu)? λf (u) f (λ (x, y, z))? λf (x, y, z) f (λx, λy, λz)? λ ( x, ) ( λx, ) (λ x, ) Stimmt nur für positive λ überein!. Aufgabe Es sei f : R R eine lineare Abbildung, die durch f (x, y, z) (x +y z,y + z, x + y z) definiert ist. Gib eine Basis und die Dimension an: (a) für das Bild Es gilt: bild (f) L (f (e x ),f(e y ),f(e z )) L ((,, ), (,, ), (,, )) Nun überprüfen wir, ob diese drei Vektoren linear unabhängig sind: λ +λ λ λ + λ λ + λ λ Obiges Gleichungssystem hat die L (λ, λ, λ ) R :(λ, λ, λ ) Die drei Vektoren sind also linear abhängig. Wir finden z.b. (,, ) (,, ) (,, ) Und daher: bild (f) L ((,, ), (,, )) dim (bild (f)) Bemerkung: Das Bild dieser linearen Abbildung ist ein Unterraum des R. Und zwar eine Ebene durch den Ursprung, die von den beiden Basisvektoren (,, ) und (,, ) aufgespannt wird.

3 (b) und für den Kern der linearen Abbildung. In der vorigen Teilaufgabe haben wir auch schon den Kern berechnet (alle Punkte die auf den Nullvektor abgebildet werden!). Es gilt: ker n (f) (λ, λ, λ ) R :(λ, λ, λ ) L ((,, )) dim (ker n (f)) Bemerkung: Dies ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Richtung (,, ).. Aufgabe Gib für die folgenden linearen Abbildungen die Matrixdarstellung in der kanonischen Basis, das Bild und den Kern an: (a) f : R R f (x, y, z) (x +y, y z,x +z) Bilder der Basisvektoren: f (,, ) (,, ) f (,, ) (,, ) f (,, ) (,, ) Matrixdarstellung: A Bestimmung des Bildes: λ λ λ L (λ, λ, λ ) R :( λ, λ, λ ) Die gegebenen drei Vektoren sind linear abhängig! Es gilt: bild (f) L ((,, ), (,, )) Ebene im R dim (bild (f)) Bestimmung des Kerns: ker n (f) (x, y, z) R :( z,z,z) Gerade im R dim (ker n (f)) (b) f : R R f (x, y) (x + y, x + y) Bilder der Basisvektoren: f (, ) (, ) f (, ) (, ) Matrixdarstellung: A

4 Bestimmung des Bildes: λ λ L (λ, λ ) R :( λ, λ ) Die gegebenen Vektoren sind linear abhängig! Es gilt: bild (f) L ((, )) Gerade im R dim (bild (f)) Bestimmung des Kerns: ker n (f) (x, y) R :( y, y) Gerade im R dim (ker n (f)) (c) f : R R f (x, y, z) (x + y, y + z) Bilder der Basisvektoren: f (,, ) (, ) f (,, ) (, ) f (,, ) (, ) Matrixdarstellung: A Bestimmung des Bildes: λ λ λ L (λ, λ, λ ) R :(λ, λ, λ ) Die gegebenen drei Vektoren sind linear abhängig! Es gilt: bild (f) L ((, ), (, )) ganz R dim (bild (f)) Bestimmung des Kerns: ker n (f) (x, y, z) R :(z, z, z) Gerade im R dim (ker n (f)). Aufgabe (a) Gib eine lineare Abbildung f : R R an, deren Bild durch die Vektoren v (,, ) und v (,, 6) erzeugt wird. Da das Bild der linearen Abbildung f (beschrieben durch die Matrix A), gerade dem Spaltenraum der Matrix entspricht, haben wir eine Basis des Spaltenraumes und eine mögliche Abbildung erhält man durch A 6 und für die lineare Abbildung also: f (x, y, z) x y 6 z (x +y, x +y, x +6y)

5 Bemerkung: Dies ist eine von vielen möglichen Lösungen! (b) Gib eine lineare Abbildung f : R R an, deren Kern durch die Vektoren v (,,, ) und v (,,, ) erzeugt wird. Wir suchen eine Matrix A R, welche die Abbildung (in Standardbasis) beschreibt. Die beiden gegebenen Vektoren beschreiben eine Basis des Nullraumes dieser Matrix. Also gilt: Av Av Mit der Dimensionsformel finden wir für das Bild der linearen Abbildung: dim(bild(f)) + dim(ker n(f)) m dim (bild (f)) Die Dimension des Bildes entspricht dem Spaltenrang der Abbildungsmatrix A. Da Zeilen-, Spaltenrang einer Matrix gleich dem Rang ist, muss die gesuchte Abbildungsmatrix zwei linear unabhängige Zeilen (oder Spalten) besitzen.wir können für die gesuchte Matrix den folgenden Ansatz wählen: A a a a a Bestimmt man die Produkte, erhält man: +a +a +a +a a + a +a + a Dieses lineare Gleichungssystem hat die a a a a a a a a Also: A f (x,x,x,x )(x x + x,x x + x, ) 6. Aufgabe Es sei f : R R die lineare Abbildung, die durch f (x, y, z) (x +y z, x y +z) definiert ist. Gib die Matrixdarstellung von f bezüglich der Basen {(,, ), (,, ), (,, )} {(, ), (, )} an. Wir suchen von der Abbildung f A : R R (a, b, c) Φ (f (Φ (a, b, c))) die Matrixdarstellung! Wir betrachten die einzelnen Abbildungen: Basisisomorphismus Φ : Ein beliebiger Punkt (a, b, c) R wird durch den Basisisomorphismus auf den

6 Punkt: abgebildet. (x, y, z) t x y z (a, b, c) t a b c Φ Eigentliche Abbildung: (u, v) f (x, y, z) (x +y z, x y +z) u x y v z F Zweiter Basisisomorphismus Φ : Es gilt: (u, v) t (s, t) t u s v t Φ Wir brauchen die Inversion des Basisisomorphismus: Φ s u t v Φ Nun können die Abbildungen verschachtelt werden (s, t) Φ (f (Φ (a, b, c))): (x, y, z) Φ (a, b, c) x y z Φ a b c (u, v) f (Φ (a, b, c)) u x y v z F a b c F Φ (s, t) Φ (f (Φ (a, b, c)))

7 s t u v Φ a b c Φ F Φ a b c Φ F Φ A A Φ Φ F Aufgabe Bestimme das Spiegelbild von (, ) bezüglich (a) der x-achse, (b) der y-achse, (c) der Geraden y x und (d) der Geraden y x durch Multiplikation mit der zugehörigen Abbildungsmatrix. (a) x-achse: (b) y-achse: (c) Geraden y x: (d) Geraden y x: Gerade: r t Normalenvektor: n HNF-Form: x y Bilder der Basisvektoren:

8 e x : d (g, (, )) s n ex ex d n e y : d (g, (, )) s n ey ey d n + Abbildungsmatrix: T 6 8. Aufgabe Bestimme die Abbildungsmatrix der Rotation im R um den Winkel im Uhrzeigersinn bezüglich (a) der x-achse, (b) der y-achse, (c) der z-achse. (a) x-achse: r (e x ) e x (b) y-achse: T r (e y ) r (e z ) cos ( ) sin ( ) sin ( ) cos ( ) cos( ) sin( ) sin ( ) cos( ) r (e x ) cos ( ) sin ( ) r (e y ) e y r (e z ) sin ( ) cos ( )

9 (c) z-achse: T cos ( ) sin ( ) sin ( ) cos( ) T r (e x ) cos ( ) sin ( ) r (e y ) sin ( ) cos ( ) r (e z ) e z cos ( ) sin ( ) sin ( ) cos( ) 9. Aufgabe Bestimme die Abbildungsmatrix der folgenden Kompositionen im R : (a) Drehung um 9 gefolgt von einer Spiegelung an der Geraden y x. T T T T T (b) Orthogonalprojektion auf die y-achse und anschliessende Kontraktion mit k. T T T T T (c) Spiegelung an der x-achse und Diletation um den Faktor k. T T T T T (d) Rotation um 6, dann Orthogonalprojektion auf die x-achse und schliesslich Spiegelung an der Geraden y x. T

10 T T T T T T. Aufgabe Welche der Abbildungen der letzten Aufgabe sind invertierbar? Bestimme von den inversen Abbildungen die Abbildungsmatrizen. (a) T (b) T (c) T (d) T : Ist invertierbar : Nicht invertierbar! T T : Ist invertierbar T : Nicht invertierbar!. Aufgabe Gegeben sei die Zahlenfolge von Fibonacci: f f f f f : f n+ f n + f n+ Wir versuchen diese rekursive Beschreibungsform in eine explizite beschreibung umzuformen. Dazu betrachten wir die lineare Abbildung. fn+ fn f n+ f n+ (a) Bestimme mit dieser Abbildung die ersten 8 Folgeglieder. f f brauchen wir als Startwerte. Nun können die weiteren Folgeglieder berechnet werden: f f f f

11 f f f f f f 6 f6 f 7 f7 f 8 f f f f f f 8 f f f6 f 7 8 (b) Bestimme die ersten 6 Potenzen der Abbildungsmatrix. Findest du ein Zusammenhang zu den Folgegliedern? F F F F F F 6 : F n fn f n n> f n f n+ (c) Die Folgeglieder der Fibonacci-Folge können also durch Potenzieren der Abbildungsmatrix berechnet werden. Dieses Verfahren ist aber immer noch rekursiv. Die Abbildung ist jedoch ein Isomorphismus und wir können die Abbildungsmatrix diagonalisieren, indem wir die Basis wechseln. Bestimme von der Abbildungsmatrix die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren. Eigenwerte: det (A λe ) λ λ λ λ λ + λ

12 F n Eigenvektoren: zu λ + : + + zu λ : λ, ± + v v + (d) Nimm die gefundenen beiden Eigenvektoren als Basis des R und bestimme die Abbildungsmatrix bezüglich dieser neuen Basis. Die Abbildungsmatrix lautet: und es gilt: mit: F D Φ Φ + F D Φ F Φ + (e) Bestimme die n-te Potenz der Abbildungsmatrix mit Hilfe der diagonalisierten Matrix. Es gilt: F ΦF D Φ n n + + F n ΦFDΦ n n + n n + n + n n n n + n + n + + n (f) Finde eine explizite Formel für das n-te Folgeglied der Fibonacci-Folge. Element in der zweiten Zeile erster Spalte von F n entspricht gerade f n : f n + n n + n n n n

13 Einige Zahlenbeispiele: f + f f [ + ] : f : f