Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar.

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar."

Transkript

1 Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar Erinnerungen und Ergänzungen zur Vorlesung: Hinweis: Die Bemerkungen zu Kern, Bild und Rang sind für die Aufgaben nicht notwendig. Kern, Bild und Rang Das Wesentliche hierzu kann man folgendermaßen ausdrücken. Es sei A M(m n) eine m n-matrix. Dann gibt es immer invertierbare Matrizen X M m (K) und Y M n (K) mit Er 0 XAY = 0 0 Die Matrix rechts ist mit Blöcken der Dimensionen r r, r (n r), (m r) r, bzw. (m r) (n r) dargestellt. Dabei ist wie üblich 1 0 E r = die Einheitsmatrix. Es steht also überall eine Null mit Ausnahme der ersten r Diagonalelemente, die alle den Wert 1 haben. Die dabei aufretende Zahl r heißt der Rang der Marix A. Dabei gilt 0 r min(n,m). Den Beweis kann man mit Matrizen führen, es ist aber praktischer, zuerst die entsprechenden Definitionen und Argumente für lineare Abbildung ohne gegebene Matrixdarstellung zu betrachten.

2 2 Definition. Es sei V und W K-Vektorräume. Für eine K-lineare Abbildung bezeichnet man mit f: V W Bild(f) = im(f) = f(v) = {w W v V : w = f(v)} W sein Bild und mit Kern(f) = ker(f) = {v V f(v) = 0} V seinen Kern. Der Rang von f ist definiert als die Dimension des Bildes: Rang(f) = dim(bild(f)) Diese Definitionen übertragen sich auf Matrizen indem man eine m n-matrix A M(m n) als lineare Abbildung f A : K n K m auffaßt. Insbesondere ist Rang(A) = Rang(f A ) der Rang der Matrix. Hier sind einige grundlegende Aussagen zum Kern, Bild und Rang: Lemma. (a) Es sei n = dimv und r = Rang(f). Dann gibt es eine Basis v 1,...v n von V mit 1) Die Vektoren f(v 1 )..., f(v r ) bilden eine Basis von Bild(f). 2) Die Vektoren v r+1,..., v n liegen in Kern(f) und bilden eine Basis von Kern(f). (b) (c) (d) Rang(f) dimw Rang(f) dimv dim(kern(f))+rang(f) = dimv Beweis. Der Beweis wird in der Vorlesung besprochen. Hier sind die Hauptargumente: Es sei s = dim(kern(f)). Man wähle zunächst eine Basis u 1,..., u s des Unterraumes Kern(f) V. Wir ergänzen diese Basis zu einer Basis u 1,..., u n von V. Weil die u i den Vektorraum V linear erzeugen, wird das Bild f(v) linear erzeugt von den Bildern f(u i ). Weil f(u i ) = 0 für i s, wird f(v) erzeugt von den Vektoren f(u i ) mit i > s.

3 Zwischenbehauptung: Die Vektoren f(u s+1 ),..., f(u n ) sind linear unabhängig. Beweis: Es seien c i K (s < i n) mit n c i f(u i ) = 0 Dann gilt f(v) = 0 für den Vektor i=s+1 v = n i=s+1 aus V. Also liegt v im Kern von f, ist also eine Linearkombination der Vektoren u i mit i s. Weil die u i insgesamt linear unabhängig sind, muß c i = 0 für alle i gelten. Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen. Insbesondere bilden die Vektoren f(u i ) mit i > s eine Basis von Bild(f). Der Rang von f ist daher r = n s. Das Lemma ist nun klar: Die Vektoren v i in (a) erhält man durch Umordnung der Vektoren u i (v i = u s+i für i r bzw. v r+i = u i ). (b) ist sowieso evident weil Bild(f) ein Unterraum von W ist. (c) und (d) folgen aus s+r = n. Es sei v i (1 i n) eine Basis von V wie im Lemma und es sei w i = f(v i ) (1 i r). Die w i bilden eine Basis des Unterraumes Bild(f) von W. Wir ergänzen sie zu einer Basis w 1,..., w r, w r+1,..., w m, wobei m = dimw. Betrachtet man nun die Matrix A f der linearen Abbildung f bezüglich der Basen v i (1 i n) und w i (1 i m), so ergibt sich die anfangs erwähnte Gestalt Er 0 A f = 0 0 Ist nun eine m n-matrix A M(m n) vorgegeben, so betrachtet man sie als lineare Abbildung f = f A : K n K m Sind dann v i (1 i n) und w i (1 i m) die eben erwähnten Basen und sind c i u i B = (v 1,...,v n ) GL n (K) die Basiswechselmatrizen, so ergibt sich wie in der Einleitung erwähnt. C = (w 1,...,w m ) GL m (K) C 1 AB = Er

4 4 Beispiele: Ist Rang(f) = 0, so ist f = 0. In diesem Fall besteht das Bild nur aus dem Nullraum. Es ist Rang(f) = dimw genau dann f surjektiv. Denn Rang(f) = dim ( Bild(f) ) und für die Inklusion Bild(f) W gilt die Gleichheit genau dann wenn die Dimensionen übereinstimmen. Es ist Rang(f) = dimv genau dann wenn f injektiv ist. Denn nach (c) ist Rang(f) = dimv genau dann Kern(f) = 0. Hier noch eine Sprechweise: Definition. Man sagt f hat maximalen Rang falls Rang(f) = min ( dim(v),dim(w) ) Speziell für lineare Abbildungen zwischen Räumen gleicher Dimension erhält man. Satz. Es sei V, W K-Vektorräume der gleichen Dimension n und f: V W eine lineare Abbildung. Dann ist äquivalent: (a) f ist invertierbar. (b) Kern(f) = 0 (d.h. f ist injektiv) (c) Bild(f) = V (d.h. f ist surjektiv) (d) Rang(f) = n Beweis. Die Äquivalenz von (b), (c), und (d) folgt aus (d) im Lemma. f ist genau invertierbar, wenn f injektiv und surjektiv ist, d.h. wenn (b) und (c) gelten. Diese sind aber äquivalent.

5 5 Eigenwerte und Eigenvektoren von Endomorphismen Definition. Es sei V ein K-Vektorraum und f: V V ein Endomorphismus. Ein Eigenvektor von f ist ein Vektor v V mit v 0 und f(v) = λv für ein λ K. Das Skalar λ heißt der Eigenwert von v. Allgemein heißt ein Skalar λ ein Eigenwert von f falls es einen Vektor v V gibt mit v 0 und f(v) = λv (d.h. v ist Eigenvektor von f mit Eigenwert λ). Für λ K sei f λ = f λ id V : V V also f λ (v) = f(v) λv (v V) Aus der Definition ergibt sich, daß λ genau dann Eigenwert von f ist wenn Kernf λ 0. Dies bedeutet, daß f λ nicht invertierbar ist (vgl. den Satz oben). Man erhält also Satz. Ein Skalar λ K ist genau dann Eigenwert von f wenn det(f λ ) = 0 Diese Bemerkungen übertragen sich auf quadratische Matrizen, wieder indem man eine Matrix als lineare Abbildung K n K n auffaßt. Es ergibt sich insbesondere: Definition. Es sei A M n (K) eine n n-matrix. Ein Eigenvektor v mit zugehörigem Eigenwert λ K ist ein Vektor v K n mit v 0 und Av = λv Satz. Ein Skalar λ K ist genau dann Eigenwert von A wenn det(λe n A) = 0 Bisher hatten wir λ als beliebiges aber festes Skalar betrachtet. Betrachtet man den Ausdruck P A (t) = det(te n A) und erinnert sich an die Definition der Determinante, so sieht man, daß P A (t) ein Polynom in t mit Koeffizienten in K ist (und zwar vom Grad n).

6 6 Beispiel: Ist n = 2 und so ist A = a b c d ( ) 1 0 a b P A (t) = det(te 2 A) = det t 0 1 c d t a b = det = t c t d 2 t(a+d)+(ad bc) Definition. Das Polynom P A (t) = det(te n A) K[t] heißt das charakteristische Polynom von A. Das charakteristische Polynom kann man wie die Determinante ohne Basiswahl definieren. Für einen Endomorphismus f eines Vektorrraumes V definiert man P f (t) = P A (t) wobei A die Matrixdarstellung in einer Basis ist. Es gilt dabei: Ein Skalar λ ist genau dann Eigenwert von A (bzw. f) wenn λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynomes P A (t) (bzw. P f (t)) ist.

7 Aufgabe 1. Man bestimme für folgende Matrizen die charakteristischen Polynome, Eigenwerte und Eigenvektoren. (a) 0 1 A = 1 0 (b) (c) B = C = Aufgabe 2. Man bestimme für folgende Matrizen die charakteristischen Polynome, Eigenwerte und Eigenvektoren. (a) a 0 A = 0 a (b) (c) B = C = a 0, (a d) 0 d a b, (b 0) 0 a (d) a b D =, (a d) 0 d In welchen Fällen gibt es eine Basis aus Eigenvektoren? Aufgabe 3. Es sei A eine n n-matrix. (a) Es sei λ ein Eigenwert von A und k N. Man zeige, daß λ k ein Eigenwert von A k ist. (b) Es sei A k = 0 für ein k > 0. Man zeige, daß 0 der einzige Eigenwert von A ist und gebe das charakteristische Polynom an. (c) Es sei A k = 0 für ein k > 0. Man zeige für n = 2: A 2 = 0. Anmerkung. Allgemein gilt für beliebige n: A n = 0. Dies folgt aus dem Satz von Caley-Hamilton. Für n = 2 siehe Blatt 1.

8 8 Aufgabe 4. (a) Zeigen Sie, daß v = (1,2,3) t ein Eigenvektor von ist und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert. (b) Zeigen Sie, daß λ = a+b+c ein Eigenwert von a b c b c a c a b ist und bestimmen Sie einen zugehörigen Eigenvektor. (c) Es sei A = a+1 0 a 0 a 0 a 0 a+1 Man bestimme das charakteristische Polynom und alle Eigenwerte von A.

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra und Geometrie I

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra und Geometrie I Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra und Geometrie I Ruhr-Universität Bochum Prof. Dr. Peter Eichelsbacher 3. April 2007, 9.00-13.00 Uhr, 240 Minuten Name und Geburtsdatum: Matrikelnummer: Hinweise: Überprüfen

Mehr

Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen

Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen KAPITEL 4 Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen 1. Lineare Abbildungen Definition 4.1 (Lineare Abbildungen). Seien V und W zwei Vektorräume über den selben Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung

Mehr

Lineare Algebra I. Prof. Dr. Daniel Roggenkamp Vorlesung -

Lineare Algebra I. Prof. Dr. Daniel Roggenkamp Vorlesung - Lineare Algebra I Prof. Dr. Daniel Roggenkamp - 22.Vorlesung - Aus der letzten Vorlesung: Polynome K[t] (p 0, p,, p i K mit p i = 0 i > i 0 für ein i 0 = i 0 p i t i = p 0 + p t + p 2 t 2 + + p i0 t i

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2 2

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung

Mehr

Lineare Algebra I Lösungsvorschlag

Lineare Algebra I Lösungsvorschlag Aufgabe Lineare Algebra I Lösungsvorschlag Wir bezeichnen mit a, a 2, a 3 Q 4 die Spalten der Matrix A. Es ist 7 a + 2a 2 = 7 4 = 7a 3, und wir sehen im l A = a, a 2, a 3 = a, a 2. Da die Vektoren a und

Mehr

3.7 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.7 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.7. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 123 3.7 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir wollen jetzt lineare Endomorphismen durch Matrizen besonders übersichtlicher Gestalt (u.a. mit möglichst vielen Nullen) beschreiben,

Mehr

1 Lineare Abbildungen

1 Lineare Abbildungen 1 Lineare Abbildungen Definition 1 Sei K ein Körper und V und W K-Vektoräume. Eine Abbildung f : V W heisst linear oder Homomoprhismus, wenn gilt: fv 1 + v 2 = fv 1 + fv 2 v 1, v 2 V fλv = λfv λ K, v V

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I Wiederholungsprüfung MUSTERLÖSUNG. April 2008 Name: Studiengang: Aufgabe 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter

Mehr

Lösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I

Lösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I Lösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I Aufgabe Seien V und W zwei K-Vektorräume für einen Körper K. a) Wann heißt eine Abbildung f : V W linear? b) Wann heißt eine Abbildung f : V W injektiv?

Mehr

Wiederholungsserie II

Wiederholungsserie II Lineare Algebra II D-MATH, FS 205 Prof. Richard Pink Wiederholungsserie II. Zeige durch Kopfrechnen, dass die folgende reelle Matrix invertierbar ist: 205 2344 234 990 A := 224 423 990 3026 230 204 9095

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 0/06 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung... und ein guter Lehrer kann auch einem schlechten Schüler was beibringen Beziehung zwischen Eigenräumen Wir

Mehr

Übungen zur Linearen Algebra 1

Übungen zur Linearen Algebra 1 Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 2014/2015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, 16.01.2015, 11 Uhr Auf diesem

Mehr

1 Eigenschaften von Abbildungen

1 Eigenschaften von Abbildungen Technische Universität München Christian Neumann Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Dienstag WS 2008/09 Thema des heutigen Tages sind zuerst Abbildungen, dann spezielle Eigenschaften linearer

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF 07032016-11032016 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Abbildungen 2 11 Homomorphismus 2 12 Kern

Mehr

Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger

Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Stefan Lell 2. Juli 2 Aufgabe. Sei t Q und A t = t 4t + 2 2t + 2 t t 2t 2t Mat 3Q a Bestimmen Sie die Eigenwerte von A t in Abhängigkeit

Mehr

Lösung zu Serie 9. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink

Lösung zu Serie 9. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink Lineare Algebra D-MATH, HS 2014 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 9 1. [Aufgabe] Sei f : V W eine lineare Abbildung. Zeige: a) Die Abbildung f ist injektiv genau dann, wenn eine lineare Abbildung g :

Mehr

4 Eigenwerte und Eigenvektoren

4 Eigenwerte und Eigenvektoren 4 Eigenwerte und Eigenvektoren Sei V {0} ein K Vektorraum und f : V V K linear. Definition: Ein Eigenwert von f ist ein Element λ K, für die es einen Vektor v 0 in V gibt, so dass f(v) = λ v. Sei nun λ

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 16. Eigentheorie

Mathematik I. Vorlesung 16. Eigentheorie Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 009/00 Mathematik I Vorlesung 6 Eigentheorie Unter einer Achsenspiegelung in der Ebene verhalten sich gewisse Vektoren besonders einfach Die Vektoren auf der Spiegelungsachse

Mehr

Lineare Algebra II 6. Übungsblatt

Lineare Algebra II 6. Übungsblatt Lineare Algebra II 6 Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 2011 Prof Dr Kollross 18/19 Mai 2011 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minimalpolynom) Bestimmen Sie das Minimalpolynom der

Mehr

1 Linearkombinationen

1 Linearkombinationen Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch

Mehr

Lösung zu Serie [Aufgabe] Zeige: Das folgende Diagramm kommutiert insgesamt genau dann, wenn alle 6 Teilquadrate kommutieren.

Lösung zu Serie [Aufgabe] Zeige: Das folgende Diagramm kommutiert insgesamt genau dann, wenn alle 6 Teilquadrate kommutieren. Lineare Algebra D-MATH, HS 2014 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 8 1. [Aufgabe] Zeige: Das folgende Diagramm kommutiert insgesamt genau dann, wenn alle 6 Teilquadrate kommutieren. a 1 A 1 a 2 A 2 a 3

Mehr

Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom

Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse

Mehr

R 3 und U := [e 2, e 3 ] der von e 2, e 3 erzeugte

R 3 und U := [e 2, e 3 ] der von e 2, e 3 erzeugte Aufgabe ( Es seien e =, e = Untervektorraum (, e = ( R und U := [e, e ] der von e, e erzeugte Weiter sei G := {A GL(, R A e = e und A U U} (a Zeigen Sie, dass G eine Untergruppe von GL(, R ist (b Geben

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden

Mehr

Lineare Algebra I Lösung der Probeklausur

Lineare Algebra I Lösung der Probeklausur David Blottière Patrick Schützdeller WS 6/7 Universität Paderborn Lineare Algebra I Lösung der Probeklausur Aufgabe : M i) M ist linear unabhängig. Seien a,b,c R mit Daraus folgt : Also gilt a = b = c

Mehr

Lösung Lineare Algebra I Sommer 2018 Version A

Lösung Lineare Algebra I Sommer 2018 Version A Lösung Lineare Algebra I Sommer 208 Version A. (25 Punkte) Kreuzen Sie direkt auf dem Abgabeblatt an, ob die Behauptungen oder sind. Sie müssen Ihre Antworten nicht begründen! Bewertung: Punkt für jede

Mehr

Lösungsskizze zur Wiederholungsserie

Lösungsskizze zur Wiederholungsserie Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink Lösungsskizze zur Wiederholungsserie. [Aufgabe] Schreibe die lineare Abbildung f : Q Q 5, x +x +x x x +x +6x f x := x +x +8x x x +x +x. x +x +5x als Linksmultiplikation

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018

Mathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 15. April 2018 1/46 Die Dimension eines Vektorraums Satz 2.27 (Basisergänzungssatz) Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Weiter seien v 1,...,

Mehr

Lösung 23: Sylvesters Trägheitssatz & Singulärwertzerlegung

Lösung 23: Sylvesters Trägheitssatz & Singulärwertzerlegung D-MATH Lineare Algebra I/II HS 07/FS 08 Dr Meike Akveld Lösung 3: Sylvesters Trägheitssatz & Singulärwertzerlegung Wir wissen, dass eine Basis B von R n existiert, sodass p [β Q ] B I I q 0 n p q gilt

Mehr

4.2 Die adjungierte Abbildung

4.2 Die adjungierte Abbildung 4.2. DIE ADJUNGIERTE ABBILDUNG 177 4.2 Die adjungierte Abbildung Die Vektorräume dieses Paragraphen seien sämtlich euklidisch, die Norm kommt jetzt also vom inneren Produkt her, v = v v. Zu f Hom R (V,

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,

Mehr

Richie Gottschalk Lineare Algebra I Seite 1. a) Welche der folgenden Ringe sind kommutativ? Es gibt genau einen Unterraum W von V mit dim(w ) = n.

Richie Gottschalk Lineare Algebra I Seite 1. a) Welche der folgenden Ringe sind kommutativ? Es gibt genau einen Unterraum W von V mit dim(w ) = n. Richie Gottschalk Lineare Algebra I Seite Aufgabe Im Folgenden sind K immer ein Körper und V ein K-Vektorraum. a) Welche der folgenden Ringe sind kommutativ? K[x] K[x] ist per se ein kommutativer Polynomring.

Mehr

Lineare Algebra I für Mathematiker Lösungen

Lineare Algebra I für Mathematiker Lösungen Lineare Algebra I für Mathematiker Lösungen Anonymous 24. April 2016 Aufgabe 1 Beantworten Sie bitte die folgenden Fragen. Jeder Vektorraum hat mindestens ein Element. Q ist ein R-Vektorraum (mit der Multiplikation

Mehr

Leitfaden 20. t = dim V dimu.

Leitfaden 20. t = dim V dimu. Leitfaden 2 Einschub (Nachtrag zur LA I): Komplementärbasen Sei V ein Vektorraum, U ein Unterraum Eine Folge (v,, v t ) von Vektoren aus V heißt linear unabhängig modulo U, falls folgendes gilt: sind p

Mehr

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzugen zur Vorlesung: Der Vollständigkeit

Mehr

, Uhr Dr. Thorsten Weist. Name Vorname Matrikelnummer. Geburtsort Geburtsdatum Studiengang

, Uhr Dr. Thorsten Weist. Name Vorname Matrikelnummer. Geburtsort Geburtsdatum Studiengang Nachklausur zur Linearen Algebra I - Nr. 1 Bergische Universität Wuppertal Sommersemester 2011 Prof. Dr. Markus Reineke 06.10.2011, 10-12 Uhr Dr. Thorsten Weist Bitte tragen Sie die folgenden Daten leserlich

Mehr

23. Die Jordan sche Normalform

23. Die Jordan sche Normalform Chr.Nelius, Lineare Algebra II (SS 2005) 1 23. Die Jordan sche Normalform Wir suchen für einen trigonalisierbaren Endomorphismus unter seinen dreiecksförmigen Darstellungsmatrizen eine Darstellungsmatrix,

Mehr

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni.

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni. Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la2 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Eigenvektoren

Mehr

5 Diagonalisierbarkeit

5 Diagonalisierbarkeit 5 Diagonalisierbarkeit Sei V ein K Vektorraum mit einer Basis B = (v 1,..., v n ) Wiederholung aus 2: Sei f : V V K linear. Stelle f(v j ) für j = 1,..., n dar in der Form a 1j Das n Tupel a j =. a nj

Mehr

Grundlagen der Mathematik 1

Grundlagen der Mathematik 1 Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010, Blatt 14 Thomas Markwig Stefan Steidel Grundlagen der Mathematik 1 Die Lösungen müssen nicht eingereicht werden und werden auch nicht korrigiert. Die Aufgaben

Mehr

Lineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Lineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Lineare Algebra 7. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November 9, 27 Erinnerung 2 Vektoräume Sei V ein Vektorraum, U V, U {}. U hiesst Untervektorraum, Unterraum,

Mehr

Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009

Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009 I. (4 Punkte) Gegeben sei die Menge Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 9 G := { a c b a, b, c R }. (a) Zeigen Sie, dass G zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag

Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 11/1 Blatt 1 7.1.1 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag 45. a) Wegen 1

Mehr

8 Eigenwerttheorie I 8. EIGENWERTTHEORIE I 139. Wir hatten bereits früher den Polynomring in einer Variablen über einem Körper K betrachtet:

8 Eigenwerttheorie I 8. EIGENWERTTHEORIE I 139. Wir hatten bereits früher den Polynomring in einer Variablen über einem Körper K betrachtet: 8. EIGENWERTTHEORIE I 139 8 Eigenwerttheorie I Wir hatten bereits früher den Polynomring in einer Variablen über einem Körper K betrachtet: K[x] = Abb[N, K] = {P ; P = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0 ; a

Mehr

5 Lineare Abbildungen

5 Lineare Abbildungen 5 Lineare Abbildungen Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 59 5 Lineare Abbildungen 5.1 Definition Gegeben seien Vektorräume U, V, W über einem Körper K. Definition: Eine Abbildung f : V W heisst K-linear,

Mehr

Ferienkurs - Lineare Algebra. Hanna Schäfer. Merkinhalte

Ferienkurs - Lineare Algebra. Hanna Schäfer. Merkinhalte Technische Universität München, Fakultät für Physik Ferienkurs - ineare Algebra Hanna Schäfer 03. März 04 0. inearität. f : M N, x : y = f(x) Merkinhalte. f(x + λy) = f(x) + λf(y), x, y V, λ K 3. ineare

Mehr

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 12 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 7. Juli.

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 12 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 7. Juli. Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 12 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 7. Juli http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la2 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Hier

Mehr

MC-Serie 11: Eigenwerte

MC-Serie 11: Eigenwerte D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung

Mehr

6.3 Eigenwerte. γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar.

6.3 Eigenwerte. γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar. Um zu zeigen, dass die irreduziblen Teiler eines reellen Polynoms höchstens den Grad 2 haben, fassen wir nun (x γ) und (x γ) zusammen und stellen fest, dass (x (a + b i))(x ((a b i)) = x 2 2a + (a 2 +

Mehr

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $ Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit

Mehr

Serie Sei V ein Vektorraum. Man nennt eine lineare Abbildung P : V V eine Projektion, falls P 2 = P gilt. Zeigen Sie:

Serie Sei V ein Vektorraum. Man nennt eine lineare Abbildung P : V V eine Projektion, falls P 2 = P gilt. Zeigen Sie: Prof Emmanuel Kowalski Lineare Algebra II Serie 3 Sei V ein Vektorraum Man nennt eine lineare Abbildung P : V V eine Projektion, falls P 2 = P gilt Zeigen Sie: a Der Kern und das Bild einer Projektion

Mehr

6. Normale Abbildungen

6. Normale Abbildungen SKALARPRODUKE 1 6 Normale Abbildungen 61 Erinnerung Sei V ein n-dimensionaler prä-hilbertraum, also ein n-dimensionaler Vektorraum über K (R oder C) versehen auch mit einer Skalarprodukt, ra K Die euklidische

Mehr

5 Lineare Abbildungen

5 Lineare Abbildungen 5 Lineare Abbildungen Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 56 5 Lineare Abbildungen 5.1 Definition Gegeben seien Vektorräume U, V, W über einem Körper K. Definition: Eine Abbildung f : V W heisst K-linear,

Mehr

4 Funktionenfolgen und normierte Räume

4 Funktionenfolgen und normierte Räume $Id: norm.tex,v 1.57 2018/06/08 16:27:08 hk Exp $ $Id: jordan.tex,v 1.34 2018/07/12 20:08:29 hk Exp $ 4 Funktionenfolgen und normierte Räume 4.7 Kompakte Mengen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir zwei

Mehr

Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen.

Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen. Definition: Lineare Abbildung Lineare Abbildungen Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen. 8.1 Definition: Lineare Abbildung Eine Funktion f : V Ñ W zwischen

Mehr

(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt.

(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. () In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. a) Es seien A und B beliebige n n-matrizen mit Einträgen in einem Körper K.

Mehr

Wiederholungsklausur zur Linearen Algebra I

Wiederholungsklausur zur Linearen Algebra I Wiederholungsklausur zur Linearen Algebra I Prof. Dr. C. Löh/D. Fauser/J. Witzig 20. April 2017 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen Sie, ob

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a)

Mehr

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax

Mehr

Eigenwerttheorie. Martin Gubisch Lineare Algebra I WS 2007/2008

Eigenwerttheorie. Martin Gubisch Lineare Algebra I WS 2007/2008 Eigenwerttheorie Martin Gubisch Lineare Algebra I WS 27/28 Motivation Gegeben seien ein K-Vektorraum V der Dimension n < und eine K-lineare Abbildung f : V V Wir suchen eine Basis V = v 1,, v n von V,

Mehr

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben

Mehr

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte : und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b

Mehr

4 Lineare Abbildungen und Matrizen

4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4.1 Lineare Abbildungen Definition 4.1. Es seien V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, wenn für alle u, v V und λ K gilt Beispiel 4.2. L1 f(u + v) = f(u) + f(v),

Mehr

3.4 Trigonalisierung und Jordansche Normalform

3.4 Trigonalisierung und Jordansche Normalform 3.4 Trigonalisierung und Jordansche Normalform Definition 3.4.1. Sei V ein K-Vektorraum, F End K (V ). Ein Unterraum U V heißt F -invariant falls F (U) U. Bemerkung. (1) Falls U V ein F -invarianter Unterraum

Mehr

Lineare Algebra 2. Lösung zu Aufgabe 7.2:

Lineare Algebra 2. Lösung zu Aufgabe 7.2: Technische Universität Dortmund Sommersemester 2017 Fakultät für Mathematik Übungsblatt 7 Prof. Dr. Detlev Hoffmann 15. Juni 2017 Marco Sobiech/ Nico Lorenz Lineare Algebra 2 Lösung zu Aufgabe 7.1: (a)

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 215/216 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 27 In der letzten Vorlesung haben wir die Haupträume zu einem Eigenwert λ zu einem Endomorphismus ϕ als Kern

Mehr

3.5 Trigonalisierbarkeit, verallgemeinerte Eigenräume und Jordansche Normalform

3.5 Trigonalisierbarkeit, verallgemeinerte Eigenräume und Jordansche Normalform LinAlg II Version 1 29. Mai 2006 c Rudolf Scharlau 219 3.5 Trigonalisierbarkeit, verallgemeinerte Eigenräume und Jordansche Normalform Das Problem der Normalformen für Endomorphismen handelt kurz gesprochen

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 12 Wege entstehen dadurch, dass man sie geht Franz Kafka Invertierbare Matrizen Definition 121 Es sei K ein

Mehr

Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich

Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 27 Klausur 2.9.27 mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Aufgabe (4 Punkte: Sei n N und seien A und B zwei (n n-matrizen über einem Körper K. Wahr Falsch (a Es

Mehr

Klausur zur Linearen Algebra I

Klausur zur Linearen Algebra I Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik 24.03.2010 Klausur zur Linearen Algebra I Prüfen Sie sofort nach Beginn der Klausur, ob Sie alle 8 Aufgaben erhalten haben.

Mehr

Klausur zu Lineare Algebra I für Informatiker, SS 07

Klausur zu Lineare Algebra I für Informatiker, SS 07 Deckblatt 9.9.7 (. Termin), Gruppe A Klausur zu Lineare Algebra I für Informatiker, SS 7 B.Sc-Modulprüfung / Diplom-Vorprüfung / Scheinklausur in Lineare Algebra I Dr. Timo Hanke, Lehrstuhl D für Mathematik,

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 15 Unterräume und Dualraum Untervektorräume eines K-Vektorraumes stehen in direkter Beziehung zu Untervektorräumen

Mehr

Basisprüfung. 18. August 2015

Basisprüfung. 18. August 2015 Lineare Algebra I/II D-MATH, HS 4/FS 5 Prof Richard Pink Basisprüfung 8 August 25 [6 Punkte] Betrachte den reellen Vektorraum R 3 zusammen mit dem Standardskalarprodukt, und die Vektoren 9 3 v := 6, v

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 15.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 12 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn

Mehr

2.11 Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit

2.11 Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit 2.11. EIGENWERTE UND DIAGONALISIERBARKEIT 127 Die Determinante eines Endomorphismus Wir geben uns jetzt einen endlichen erzeugten K-Vektorraum V und einen Endomorphismus ϕ : V V vor. Wir wollen die Determinante

Mehr

Gegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.

Gegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen. 1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild

Mehr

Lineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

Lineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben Lineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben Blatt 2, Aufgabe 3 a) Wir zeigen, daß das Ideal (2, X) kein Hauptideal in Z[X] ist. (Dieses Ideal besteht aus allen Elementen in Z[X], die von der Form

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

Technische Universität München. Mathematik für Physiker 1

Technische Universität München. Mathematik für Physiker 1 Tutorübung - Lösungen T: Basiswechsel Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker Wintersemester /2 Michael Kaplan Jan Wehrheim Christian Mendl Übungsblatt 9 Wir betrachten

Mehr

Übungsklausur Lineare Algebra

Übungsklausur Lineare Algebra Übungsklausur Lineare Algebra Sommersemester 2010 Johannes Gutenberg-Universität Mainz Diese Übungsklausur ist sehr lang (gut zum Üben). In der richtigen Klausur finden Sie eine Multiple Choice aufgabe

Mehr

Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure

Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de

Mehr

Musterlösung zur Probeklausur Lineare Algebra I

Musterlösung zur Probeklausur Lineare Algebra I Musterlösung zur Probeklausur Lineare Algebra I Aufgabe 1 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I 22. Februar 2008

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I 22. Februar 2008 KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I. Februar 008 MUSTERLÖSUNG Diese Klausur wurde je nach Sitzreihe in zwei verschiedenen Versionen geschrieben. Die andere Version unterscheidet sich von der vorliegenden jedoch

Mehr

Serie 17: Satz von Cayley-Hamilton & spezielle Endomorphismen

Serie 17: Satz von Cayley-Hamilton & spezielle Endomorphismen D-MATH Lineare Algebra I/II HS 2017/FS 2018 Dr. Meike Akveld Serie 17: Satz von Cayley-Hamilton & spezielle Endomorphismen 1. Sei V ein K-Vektorraum. a) Sei T End(V ). Zeigen Sie, dass die folgenden alles

Mehr

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 23. Juni.

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 23. Juni. Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 10 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 23. Juni http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la2 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Das

Mehr

Berechnung der Determinante

Berechnung der Determinante Berechnung der Determinante Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenoperationen: Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten der Matrix A ändert nur das Vorzeichen der Determinante, d.h: i, j {1,...,

Mehr

9 Lineare Algebra 2 (SS 2009)

9 Lineare Algebra 2 (SS 2009) 9 Lineare Algebra 2 (SS 2009) Vorbemerkung: Das Einsetzen von quadratischen Matrizen in Polynome. Im folgenden sei R ein kommutativer Ring und R[T] der Polynomring mit Koeffizienten in R (dies ist wieder

Mehr

Lineare Algebra Weihnachtszettel

Lineare Algebra Weihnachtszettel Lineare Algebra Weihnachtszettel 0..08 Die Aufgaben auf diesem Zettel sind zum Üben während der Weihnachtspause gedacht, sie dienen der freiwilligen Selbstkontrolle. Die Aufgaben müssen nicht bearbeitet

Mehr

KAPITEL 8. Normalformen. 1. Blockmatrizen. ,C K m 2 n 1. X = K (m 1+m 2 ) (n 1 +n 2 ) K L. und Y = M N Blockmatrizen mit.

KAPITEL 8. Normalformen. 1. Blockmatrizen. ,C K m 2 n 1. X = K (m 1+m 2 ) (n 1 +n 2 ) K L. und Y = M N Blockmatrizen mit. KAPITEL 8 Normalformen Definition 8.1 (Blockmatrizen). Sind 1. Blockmatrizen A K m 1 n 1,B K m 1 n 2,C K m 2 n 1 und D K m 2 n 2 so nennet man die Matrix X = ( A B C D ) K (m 1+m 2 ) (n 1 +n 2 ) eine Blockmatrix

Mehr

2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen

2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen 24 Lineare Abbildungen und Matrizen Definition 24 Seien V, W zwei K-Vektorräume Eine Abbildung f : V W heißt lineare Abbildung (lineare Transformation, linearer Homomorphismus, Vektorraumhomomorphismus

Mehr

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 11 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 20. Januar. http://www.math.uni-bielefeld.

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 11 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 20. Januar. http://www.math.uni-bielefeld. Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 11 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 20. Januar http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung:

Mehr

Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I

Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I Es werden folgende Themen behandelt:. Formale und logische Grundlagen 2. Algebraische Grundlagen 3. Vektorräume und LGS 4. Homomorphismen und

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Dezember Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9- Übungsblatt

Mehr