Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010

Transkript

1 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und der Modul 5. Führen Sie eine Division mit Rest durch, indem Sie r = 7 mod 5 und q = 7 div 5 berechnen. Aufgabe III Teschl / K 3 Zeigen Sie, dass aus a = b mod m und c = d mod m folgt: a + c = b + d mod m und a c = b d mod m. Aufgabe IV Teschl / K 3 Bestimmen Sie die Menge Z 2. Aufgabe V Teschl / K 3 Berechnen Sie mit dem Euklid schen Algorithmus ggt(26, 23) und ggt(49, 255). Aufgabe VI Teschl / K 3 Lösen Sie die Gleichung 3x + 7 = in Z 9 und Z. Aufgabe VII Teschl / K 3 Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung 3x + 3 = in Z 9. Aufgabe VIII Teschl / K 3 Berechnen Sie das multiplikative Inverse von 7 in Z 47 mit Hilfe des erweiterten Euklidschen Algorithmus. Aufgabe IX Teschl / K 3 Es sei S n die Ziffernsumme der natürlichen Zahl n. Zeigen Sie, dass n = S n mod 3. Hinweis: Verwenden Sie = mod 3. Zusatzfrage: Wie kann man, ausgehend von diesem Ergebnis, leicht mit Hilfe der Ziffernsumme feststellen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist? Aufgabe X Skriptum M / K 2.5 Es sei eine Relation R in Z gegeben mit R = { (n, m) Z 2 n = m (mod 5) }. Ist diese Relation eine Äquivalenzrelation? Wenn ja, welche sind die zugehörigen Äquivalenzklassen? Welche Eigenschaften haben die Äquivalenzklassen? Hinweis: n = m mod 5 ist gleichwertig mit n m durch 5 teilbar.

2 2 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 Aufgabe XI Teschl / K 9 Beweisen Sie, dass der Durchschnitt zweier Teilräume wieder ein Teilraum ist, die Vereinigung aber im Allgemeinen nicht. Aufgabe XII gerechnet Teschl / K 9 Wenn die Vektoren a und b linear unabhängig sind, sind dann auch a + b und a b linear unabhängig? Aufgabe XIII gerechnet Teschl / K 9 Überprüfen Sie, ob es sich um einen Teilraum des R 2 handelt und geben Sie gegebenenfalls eine Basis an: a) U = { (x, y) R 2 x = } b) U = { (x, y) R 2 x + y = } Aufgabe XIV gerechnet Teschl / K 9 Gegeben sind a = (, 2, 3) T, a 2 = (, 4, 5) T und a 3 = (2,, ) T R 3 und U = LH {a, a 2, a 3 }. a) Geben Sie die Dimesnion von U an. b) Ist a = (, 2, ) T U? c) Ist b = (3, 2, 4) T U? Aufgabe XV gerechnet Teschl / K 9 Gegeben ist C = {(,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, )} Z 4 2. Bildet C einen Teilraum? Wenn ja, geben Sie eine Basis und die Dimension von C an. Aufgabe XVI Teschl / K 9 Bilden die Vektoren a = (,, ) T, a 2 = (,, ) T und a 3 = (,, ) T Z 3 2 eine Basis des Z 3 2? Läßt sich a = (,, ) T als Linearkombination dieser Vektoren schreiben? Geben Sie diese Linearkombination gegebenenfalls an. Aufgabe XVII gerechnet Teschl / K 9 Sei V der Vektorraum aller Polynome vom Grad 2. Sind die Polynome, x +, x 2 + x linear abhängig? Aufgabe XVIII gerechnet Teschl / K 9 Gegeben ist der Teilraum U = LH {a, b} C 2 mit a = (, i) T und b = ( i, ) T. Wie groß ist die Dimension von U?

3 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 II Aufgabe I gerechnet Teschl / K Gegeben sind A = diag (a,..., a n ) und B = diag (b,..., b n ). Berechnen Sie AB und A. Aufgabe II gerechnet Teschl / K Folgt aus AB = AC und A immer auch B = C (d.h. kann man bei der Matrixmultiplikation kürzen)? Aufgabe III gerechnet Teschl / K Ist die folgende Abbildung linear? Geben Sie in diesem Fall die zugehörige Matrix A mit F (x) = Ax an: x ( ) ( ) ( ) a) F : R 3 R 2, F ( 3x + x x 2 ) = 2 b) F : R x x 2 x 2 R 2 x x + 5, F ( ) = 3 x 2 x + x 2 3 Aufgabe IV Teschl / K Zeigen Sie durch Ausmultiplizieren, dass Matrix mal Spaltenvektor = Linearkombination der Spalten der Matrix mit den Elementen des Spaltenvektors als Koeffizienten, also dass a a 2 a 3 x a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 x 2 = x a 2 + x 2 a 22 + x 3 a 32 gilt. Allgemein: Ax = (a a 2... a n )x = n x i a i a 3 a 32 a 33 x 3 a 3 a 23 a i= 33 Aufgabe V gerechnet Teschl / K Finden Sie durch Probieren a) eine Matrix A mit der Eigenschaft, dass A 2 =. b) eine Matrix A I 2 mit der Eigenschaft, dass A 2 = I 2. Aufgabe VI gerechnet Teschl / K Gegeben sind die invertierbaren Matrizen A = ( ) 2 4 und B = 3 ( ) 2. Berechnen Sie A 4, B, ( A ) T, (AB). Aufgabe VII gerechnet Teschl / K ( Geben Sie die lineare Abbildung F : R 2 R 2 an mit F ( ) = 2) ( ) ( ( und F ( ) =. 8 ) ) Aufgabe VIII gerechnet Teschl / K Auf dem Vektorraum der Polynome vom Grad 2 ist der Ableitungsoperator definiert durch D(k + k x + k 2 x 2 ) = k + 2k 2 x. Zeigen Sie, dass D eine lineare Abbildung ist, indem Sie die Matrix von D in der Basis p (x) =, p (x) = x, p 2 (x) = x 2 angeben.

4 4 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 Aufgabe IX Teschl / K Lösen Sie mit dem Gauß-Algorithmus und geben Sie alle Lösungen an: v + 2x y = 3 v x + 3y z = v + 2y + x 5z = 2 v + x y 2z = Aufgabe X Teschl / K Berechnen Sie die inverse Matrix von A = mit Hilfe des Gauß-Algorithmus, indem Sie (A I) auf die Form (I A ) bringen. Aufgabe XI Teschl / K Lösen Sie folgendes Gleichungssystem über Z 2, Z 3, Z 7 und R: x + x 3 = x 2 + x 3 = x + x 2 = Aufgabe XII Teschl / K Berechnen Sie die Determinante unter Verwedung des Laplace schen Entwicklungssatzes bzw. der Rechenregeln für Determinanten: a) A = b) A T c) B = d) C = e) 2A f) D = Hinweis: Matrix B entstand aus A, indem die erste und vierte Zeile mit 3 multipliziert wurde; C und A haben dieselben Zeilen, nur in anderer Reihenfolge; D entstand aus C, indem zur zweiten Zeile das 2-fache der ersten Zeile addiert wurde. Aufgabe XIII Teschl / K Für welche λ R ist das folgende Gleichungssystem eindeutig lösbar? λx + x 3 = λx 2 + x 3 = x + x 2 + λx 3 =

5 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 III Aufgabe I Teschl / K 3 Schreiben Sie a = (2, 3) in der Form a + a, wobei a Veranschaulichen Sie auch graphisch. die orthogonale Projektion von a in Richtung von (4, 3) ist. Aufgabe II Teschl / K 3 Bestimmen Sie den Abstand der Geraden ( ( ) ( ) x 2 2 = + k R y) 4 2 mit k R vom Ursprung. Wie lautet die Gleichung der dazu parallelen geraden durch den Ursprung (in Normalform)? Aufgabe III Teschl / K 3 Geben Sie Gleichungen der Ebenen an, die parallel zur Ebene durch die Punkte A = (,, 4), B = (,, 3) und C = (4, 2, 3) liegen, und die den Abstand /2 vom Ursprung haben. Der Ursprung liegt dabei zwischen den beiden Ebenen. Aufgabe IV Teschl / K 3 Zeigen Sie die Gültigkeit der Parallelogrammgleichung: a + b 2 + a b 2 = 2 ( a 2 + b 2). Aufgabe V Teschl / K 3 Ist durch s(x, y) = x y + x y 2 + x 2 y + x 2 y 2 ein Skalarprodukt auf R 2 definiert? Aufgabe VI Teschl / K 3 Zeigen Sie: a b 2 + a, b 2 = a 2 b 2 für a, b R 3. Aufgabe VII Teschl / K 3 Spatprodukt: Zeigen Sie, dass a, b c = det (a b c) für a, b, c R 3. Aufgabe VIII Teschl / K 3 Orthonormalisieren Sie mit Gram-Schmidt: a =, a 2 =, a 3 =. Aufgabe IX Teschl / K 3 Das Gleichungssystem Ax = b mit A = ( ) 2, b = 2 ist nicht lösbar. Finden Sie einen Vektor x, für den der Fehler Ax b 2 minimal ist. Ist x eindeutig? ( ) 3 Hinweis: Zerlegen Sie b in eine Komponente parallel und orthogonal zu Bild(A).

6 6 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 Aufgabe X Teschl / K 3 Zeigen Sie, dass die Basisvektoren der diskreten Kosinustransformation (für n = 3) u =, u 2 =, und u 3 = eine Orthonormalbasis bilden. Entwickeln Sie den Vektor a = (2, 3, 3). Wie groß ist der Fehler, wenn man nur die ersten beiden Koeffizienten berücksichtigt? Aufgabe XI Teschl / K 3 Householdertransformation: Zeigen Sie, dass die Matrix U = I 2uu T, wobei u ein Einheitsvektor im R n ist, folgende Eigenschaften hat: a) U T = U und U 2 = I, d.h. U ist symmetrisch und orthogonal, b) Uu = u, c) Ux = x, falls x u. Aufgabe XII Teschl / K 4 Zeigen Sie, dass die Ähnlichkeit von Matrizen eine Äquivalenzrelation ist. Aufgabe XIII Teschl / K 4 Geben Sie eine Matrix an, die die Eigenwerte 4 und 6 und die Eigenvektoren u = (, 3) und u 2 = ( 3, ) hat. Aufgabe XIV Teschl / K 4 Sei A = (a jk ) eine beliebige (2, 2)-Matrix mit Eigenwerten λ und λ 2. Zeigen Sie: a + a 22 = λ + λ 2 und (a a 22 ) 2 + 4a 2 a 2 = (λ λ 2 ) 2. Aufgabe XV Teschl / K 4 Stellen Sie die Kurve 5x 2 + 4x x 2 + 2x 2 2 = in Normalform dar (Hauptachsentransformation). Aufgabe XVI Teschl / K 4 Stellen Sie die Kurve 5x 2 + 6x x 2 + 3x 2 2 = in Normalform dar (Hauptachsentransformation). Um welche Kurve handelt es sich? Aufgabe XVII Teschl / K 3 2 Berechen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A =. 2 Aufgabe XVIII Teschl / K 4 Sei A eine quadratische Matrix. Zeigen Sie, dass A T A symmetrisch ist und für die zugehörige quadratische Form x, A T Ax gilt. Die Eigenwerte λ j von A T A sind somit nichtnegativ. Man nennt λ j Singulärwerte von A.