Lösungsvorschlag - Zusatzaufgaben (2)

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1 HOCHSCHULE KARLSRUHE Sommersemester 014 Elektrotechnik - Sensorik Übung Mathematik I B.Sc. Paul Schnäbele Lösungsvorschlag - Zusatzaufgaben ) a) x ) fx) = D = R \ { } x + Es liegt keine gängige Symmetrie vor. Nullstelle bei x =. Pol mit VZW bei x =. Nennergrad < Zählergrad, deswegen Polynomdivision: x 4x + 4 ) x + ) = x x + x x 6x + 4 6x Die lineare Funktion nx) = x + 6 beschreibt das Verhalten von f für x. f x) = x 4x+1 x+) f x) = 3 x+) 3 Daraus ergibt sich: Lok. Max., 0) und lok. Min. 6, 16), sowie keine Wendepunkte. Hinweis: Wie in den Übungen vorgestellt - eine Vorzeichentabelle ist meist sehr hilfreich! Zum Üben: Funktionsgraph und Näherungsfunktion selbst mit Maple plotten. b) fx) = x 4 x 3 + x 8x 1 Nullstelle x = 0. Faktorisieren des Nenners erste Lösung raten, dann Horner-Schema) führt auf: x 3 + x 8x 1 = x + ) x 3) D = R \ {, 3} Zählergrad > Nennergrad, deswegen: x 4 ) x 3 + x 8x 1 ) = x 1 + 9x + 4x 1 x 3 + x 8x 1 x 4 x 3 + 8x + 1x x 3 + 8x + 1x x 3 + x 8x 1 9x + 4x 1 Die lineare Funktion nx) = x 1 beschreibt das Verhalten von f für x. f x) = x3 x 4) x+) x 3) f x) = 6x 3x 8x+7) x+) 4 x 3) 3 Daraus ergibt sich: Lok. Min. Vorzeichen-Tabelle: ) 144 6, 8, lok. Max. ) 6, und lok. Max. 0, 0). 6 3 Faktoren ), Intervalle ), ), 3) 3, ) x x + ) x 3) ergibt:

2 c) ) 3 x fx) = x exp D = R Es liegt Punktsymmetrie vor, da f x) = fx). Die Nullstelle liegt bei x = 0. Randverhalten: lim fx) = 0 x ± Regeln von de l'hospital bzw. Erfahrung) Um die Extrema und Wendepunkte berechnen zu können, benötigen wir die Ableitungen: ) f x) = 1 x 3 x ) exp ) f x) = x 3 3 x 3x) exp f x) = x 4 6x + 3) exp ) 3 x Mit f x) = 0 x = ±1 ergeben sich, da f 1) < 0 und f 1) > 0, das lokale Maximum 1, e) und das lokale Minimum 1, e). ) 3 x f x) = x 3! 3x) exp = 0 x = 0 x = ± 3 Für alle drei Nullstellen der. Ableitung ist die 3. Ableitung 0, sodass es drei Wendepunkte gibt, nämlich 0, 0) und 3, 3) und 3, 3). Eine Vorzeichentabelle hilft uns den Graph zu zeichnen. Faktoren ), Intervalle ), 0) 0, + ) x ) - + exp x...ergibt: - +

3 d) fx) = e cos x D = R Achsensymmetrie, da f x) = fx) Cosinus ist eine gerade Funktion, also cos x) = cos x). Es gibt keine Nullstellen und keine Denitionslücken. Ableitungen: f x) = sin xe cos x f x) = sin x cos x)e cos x f x) = 3 + cos x)e cos x sin x cos x Die Nullstellen der 1. Ableitungen sind durch die Nullstellen des Sinus gegeben. Kandidaten für lokale Extrema sind also durch die Stellen x = kπ mit k Z gegeben. Wir testen die hinreichende Bedingung mit Hilfe der zweiten Ableitung: f x = kπ) = 0 coskπ) )e coskπ) = 1) k+1 e }{{}} coskπ) {{} = 1) k >0 { > 0 falls k ungerade lok. Min. < 0 falls k gerade lok. Max. Für die Wendepunkte müssen wir die Gleichung sin x = cos x lösen. Solche trigonometrischen Gleichungen sollte man nicht unterschätzen. In diesem Fall hilft die Substitution ξ := cos x, denn: sin x = 1 cos x = cos x ξ + ξ 1 = 0 pq-formel liefert ξ 1, = 1 ± 5 ξ 1 0, 618 und ξ 1, 618. Die Lösung ξ entfällt, da es keinen x-wert gibt mit cos x = ξ!! Für ξ 1 liefert die Resubstitution x 1 = arccos ) 0, 3π Da sowohl Sinus als auch Cosinus π-periodisch sind, wird obige Gleichung von x = x 1 + k π k Z) gelöst. Das sind aber noch nicht alle Lösungen! Am besten man macht sich eine Skizze: Die zusätzlichen Schnittpunkte erhält man mit sin x 1 = sin x 1 ): sin x 1 = sin x 1 ) = cos x 1 ) = cos x 1 Also sind auch x = x 1 + k π Lösungen der Gleichung. Für alle diese Werte ist die 3. Ableitung 0, sodass überall dort Wendepunkte vorliegen. Nun noch die Werte für die Extrema berechnen: fx = kπ) = exp 1) k) und die Funktion zeichnen: 3

4 e) fx) = ln x x Keine Nullstellen, keine Symmetrie, Ableitungen: f x) = 1 x 1 ln x) f x) = 1 3 x 3 ln x) f x) = 1 11 x 4 3 ln x) Extrema: Bei e 3, 3 4 e 3 ) f x) = 0 x = e D = R >0 da f e) < 0 Hochpunkt bei e, 1 ) e liegt zudem ein Wendepunkt. Da der Logarithmus langsamer wächst als jede Potenzfunktion s. Regeln von l'hospital) gilt fx) 0 für x. Die y-achse ist eine senkrechte Asymptote. f) ) fx) = ln x + 1 D = R Achsensymmetrie zur y-achse, keine Nst., keine Denitionslücken. Da x + 0 für x ± gilt: lim fx) = x ± Ableitungen: f x) = x x +1 4

5 f x) = x 1) x +1) f x) = 4xx 3) x +1) 3 Lokales Maximum bei 0, ln ) und Wendepunkte 1, 0) und 1, 0). g) fx) = 1 4 x5 + 5x 4 D = R 5 Achtung: Funktion ist nur für x 5 deniert! Nullstellen: Ableitungen: f x) = 5xx+4) 8 x+5 f x) = 53x +4x+40) 16x+5) 3 f x) = 15x +1x+40) 3x+5) 5 x 5 + 5x 4 = x 4 x + 5) = 0 Nullstellen x 1 = 0 und x = 5 Lokales Maximum bei 4, 4) und lokales Minimum bei 0, 0). f x) = 0 x 1, = 4 ± 3 Der Wert x = 4 3 < 5 liegt auÿerhalb von D. Bei x 1 liegt ein WP, da f x 1 ) 0 hier kann man ruhig mal den Taschenrechner benutzen). 5

6 h) Nullstellen: fx) = ) 1 + sin x D = R sin x = 1 x = arcsin 0, 5) = π 6 also Nst x 1 = π + kπ mit k Z 6 ABER: Skizze machen!! Das war nur die halbe Miete, denn sinπ x) = sin x und damit sind auch x = π x 1 = 7 6 π + mπ mit m Z Nullstellen von f. f x) = cos x 1 + sin x) f x) = 4 cos x sin x f x) = 8 cos x sin x cos x = cos x8 sin x + 1) Die erste Ableitung wird 0, wenn x eine Nullstelle von f ist, oder wenn der Cosinus 0 wird. f x 1 ) > 0 Lokale Minima x 1, 0) f x 1 ) > 0 Lokale Minima x, 0) f x = π + kπ) < 0 Lokale Maxima an den Stellen x = π + kπ, k Z Damit ist der Wertebereich gegeben durch W = [0, 9 4 ] und wir können den Graphen zeichnen: 6

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