Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele

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1 Grundwissen Klsse 9 Die Menge der reellen Zhlen Die Umkehrung des Qudrierens wird für nicht negtive Zhlen ls Ziehen der Wurzel oder Rdizieren ezeichnet. Die Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ) ist dei die nicht negtive Lösung der Gleichung x. x x " ; x Es gilt: " L{ ; Wurzelzeichen Rdiknd } Zhlen, die nicht durch einen Bruch drgestellt werden können, heißen irrtionle Zhlen. Rtionle und irrtionle Zhlen ilden zusmmen die Menge der reellen Zhlen. Alle Grundrechenrten können in der Menge der reellen Zhlen genuso usgeführt werden wie in der Menge der rtionlen Zhlen. Alle Rechengesetze gelten uch in der Menge der reellen Zhlen. Es gilt: Addition und Sutrktion Multipliktion und Division Bei der Addition und Sutrktion in lssen sich Terme mit gleichem Rdiknden zusmmenfssen: Für die Multipliktion und Division in R gilt: +c d ( + c d) : : Beispiele 6 +8 (6 ) 5 + (8 5) + Lässt sich nur ein Fktor des Rdiknden ls Qudrtzhl drstellen, so knn mn us diesem Fktor die Wurzel ziehen, der Rest leit unter der Wurzel stehen. Mn spricht vom teilweisen Rdizieren. Beispiel:

2 Grundwissen Klsse 9 Linere Funktionen Wird jedem Element x der Definitionsmenge D genu ein Wert y der Werte menge D zugeordnet, so spricht mn von einer Funktion. Bei einer lineren Funktion kommt die Vrile x in der Funktions - glei chung in der ersten Potenz vor. Die Punkte des Grphen einer lineren Funktion liegen uf einer Gerden. Meist wird die Funktionsgleichung in ihrer Normlform drgestellt. Sie knn er uch in der llgemeinen Form vorliegen. Normlform llgemeine Form Beispiele y m x + t m: Steigungsfktor t: y-achsenschnitt x + y + c 0,, c Q y x * y 0,5x y x + x y 0 0,5x y 0 x y + 0 * Gleichung einer Ursprungsgerden Eine Funktion ist durch den Funktionsterm f(x) festgelegt. Durch Belegung der Vrilen x des Funktionsterms erhält mn den zugehörigen Funktionswert. Beispiel: f (x) x + f () + (Lies: Der Funktionswert n der Stelle x ist ) Zeichnen von Gerden Jede Gerde ist durch ein Steigungsdreieck gekennzeichnet. Durch die Punkte A (x A y A ) und B (x B y B ) ist dei der Steigungsvektor AB und die Steigung m festgelegt. y A (0 ) AB B ( 5) m AB x B x A y B y A m y B y A x B x A (x B x A ) t y x + Beispiel (s. Zeichnung) 0 x 0 AB 5 5 m 0 So knnst du den Grphen einer Funktion zeichnen: Mrkiere den y-achsenschnitt. hier: t Zeichne von t us ds Steigungsdreieck. hier: m ( nch rechts, nch oen) Zeichne den Funktionsgrphen.

3 Grundwissen Klsse 9 Gerdengleichungen ufstellen Beispiele ) Gegeen: Punkt P (x P y P ) g und y-achsenschnitt t Setze die Koordinten des Punktes P (x P y P ) und den y-achsen schnitt t in die Norml form y p m x p + t ein. Löse die Gleichung nch m uf. Gi die Gerdengleichung der Gerde g n. ) Gegeen: Punkt P (x P y P ) g und Steigung m Setze die Koordinten des Punktes P (x p y p ) und die Steigung m in die Punkt-Steigungs-Form y m (x x p ) + y p ein. Löse die Klmmern der Gleichung uf. Gi die Gerdengleichung der Gerde g n. Hinweis: Du knnst die Gleichung uch wie in ) eschrieen ufstellen c) Gegeen: Punkt A (x A y A ) und Punkt B (x B y B ) Berechne mit Hilfe der Punkte A (x A y A ) und Punkt B (x B y B ) die Steigung m der Gerden g (siehe Seite unten). Rechne weiter wie in ) vorgegeen. ) P ( ); t,5 m +,5,5,5 m : m 0,5 g: y 0,5x +,5 ) P ( ); m y (x ) + y x y x + 0 g: y x + 0 Zwei Gerden g und h sind prllel, wenn sie zwr einen unterschiedlichen y-achsen - schnitt, er die gleiche Steigung hen. Beispiel: g: y 0,5 x + h: y 0,5 x 5 m g m h g h Zwei Gerden g und h sind orthogonl, d. h. sie stehen senkrecht ufeinnder, wenn ds Produkt ihrer Steigungen ergit. Beispiel: g: y 0,5 x + h: y x 5 m g m h g h Die Nullstelle Der x-wert, für den y 0 gilt, heißt Nullstelle der Funktion. Im Koordintensystem liegt der zugehörige Punkt P (x 0) uf der x-achse. So knnst du die Nullstelle erechnen: Ersetze die Vrile y in der Gerdengleichung durch 0. Löse die Gleichung nch x uf. Gi die Nullstelle und den zugehörigen Punkt P n. g: y 5x x x : 5 x Nullstelle: x P ( 0)

4 Grundwissen Klsse 9 Systeme linerer Gleichungen Verknüpft mn zwei linere Gleichungen mit zwei Vrilen durch ds Zeichen ^ ( und zugleich ), so entsteht ein lineres Gleichungssystem. Löst mn ds System, so erhält mn den Schnittpunkt der eiden zugehörigen Gerden. Forme die Gleichungen so um, dss eines der Lösungsverfhren ngewndt werden knn. Gleichsetzungsverfhren: in eiden Gleichungen steht uf einer Seite der gleiche Term, der eine Vrile enthält. Einsetzungsverfhren: eine der eiden Gleichungen ist nch einer Vrilen ufgelöst. Additionsverfhren: die Koeffizienten vor einer Vrilen sind ei eiden Gleichungen etrgsgleich, esitzen er unterschiedliche Vorzeichen. Wende ds geeignete Verfhren n, so dss eine Gleichung mit einer Vrilen ürig leit. Löse die neu entstndene Gleichung nch der Vrilen uf. Berechne den Wert der nderen Vrilen, indem du den in erechneten Wert in eine der eiden ursprünglichen Gleichungen einsetzt. 5 Gi die Lösungsmenge n. * * Git es keine Lösung, sind die eiden Gerden prllel. Git es unendlich viele Lösungen, sind sie identisch. Beispiel I x y 0 II 5x + y 5 ^ I + II: x y + 5x + y x in I: 5 y y Anwendung Anwendung des des Additionsverfhrens {(5 0)} Zeichnen von Schrägildern Im Schrägild erscheinen lle zur Schrägild chse prllel verlufenden Strecken, Flächen und Winkel in whrer Größe. Strecken, die senkrecht zur Schrägildchse verlufen, werden verzerrt und verkürzt drgestellt. Meist gilt: Verzerrungswinkel ω 5 Verzerrungsmßst q 0,5

5 Grundwissen Klsse 9 5 Die zentrische Streckung R Bildfigur Eine Urfigur lässt sich durch Zentrische Streckung uf genu eine Bildfigur ilden. Die Zentrische Streckung wird dei durch Ange des Streckungszentrums Z, und des Streckungsfktors k festgelegt. Z; k Mn schreit: P P Urfigur R P Q P Q Eigenschften Z Urpunkt, Bildpunkt und Streckungszentrum liegen uf einer Gerden. Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsildung (Ur- und Bildfigur sind einnder ähnlich). Jeder Strecke [ZP] wird eine Bildstrecke [ZP ] zugeordnet, so dss gilt: ZP k ZP (für < k < ist die Bildstrecke kürzer ls die Urstrecke) Die Zentrische Streckung ist winkeltreu, gerdentreu, kreistreu und verhältnistreu. Urfigur und Bildfigur hen den gleichen Umlufsinn. Ds Zentrum Z ist für k 0 und k der einzige Fixpunkt. Eine Gerde durch ds Streckungszentrum Z ist Fixgerde. Jede Gerde, die nicht durch Z verläuft, wird uf eine prllele Bildgerde geildet Für den Flächeninhlt der Bildfigur gilt: A k A Ähnliche Dreiecke Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie vgl. Kongruenzsätze (Grundwissen Klsse 8)... in den Mßen zweier Winkel üereinstimmen.... im Verhältnis der drei Seitenlängen üereinstimmen.... im Verhältnis zweier Seitenlängen und dem Mß des Zwischenwinkels üereinstimmen.... im Verhältnis zweier Seiten und dem Mß des Gegenwinkels der längeren Seite üereinstimmen. Vierstreckensätze Werden zwei sich schneidende Gerden von zwei Prllelen geschnitten, ergeen sich ähnliche Dreiecke. Es gelten folgende Verhältnisse: ZA ZC ZB ZD ZA ZC ZB ZD

6 Grundwissen Klsse 9 6 Flächeninhlte eener Vielecke Prllelogrmm g A Grundlinie g Höhe h* (* zwei mögliche Höhen ) h Dreieck h g A 0,5 Grundlinie g Höhe h* (* drei mögliche Höhen) Wird ds Prllelogrmm zw. ds Dreieck von den eiden Vektoren x und x y y ufgespnnt, so knn der Flächeninhlt der Figur mit Hilfe der Determinnte erechnet werden: Prllelogrmm x A sdfsdf y x y Dreieck x A 0,5 sdfsdf y x y A x y y x A 0,5 ( x y y x ) c Trpez m A Mittellinie m* Höhe h * m 0,5 (Grundlinie + Grundlinie c) h rechtwinkliges Dreieck A 0,5 Kthete Kthete Kthete: liegt m 90 -Winkel n Drchenviereck Rute e e f f A 0,5 Digonle e Digonle f gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck c A 0,5 Kthete A 0,5 Hypothenuse c Hypothenuse: liegt dem 90 -Winkel gegenüer Funktionle Ahängigkeit: Beim Berechnen von Flächeninhlten eener Vielecke können einzelne Punkte uf einer Gerden wndern, lso von einer lineren Funktion hängig sein.

7 Grundwissen Klsse 9 7 Flächensätze m rechtwinkligen Dreieck Der Höhenstz Im rechtwinkligen Dreieck ist ds Qudrt üer der Höhe inhltsgleich mit dem Rechteck, dessen Seiten die eiden Hypothenusenschnitte ilden. h c p q Der Kthetenstz Im rechtwinkligen Dreieck ist ds Qudrt üer einer Kthete inhltsgleich mit dem Rechteck, dessen Seiten die Hypothenuse und der der Kthete nliegende Hypothenusenschnitt ilden. c q und c p Der Stz des Pythgors Im rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhlt des Hypothenusen - qudrtes gleich der Summe der Flächen inhlte der Kthetenqudrte. c + Durch Anwendung der Flächensätze erhält mn folgende Formeln: Gleichschenkliges Dreieck: c: Länge der Bsis, : Länge der Schenkel h c c Gleichseitiges Dreieck: : Länge der Seiten h und A Länge einer Strecke [AB] mit A (x A y A ) und B (x B y B ): AB (x B x A ) + (y B y A )