Kraftfelder. Die Kraft auf eine Masse kann an verschiedenen Orten unterschiedlich sein. Zur vollständigen Angabe muss für jeden Ort

Transkript

1 Kaffelde Die Kaf auf eine Masse kann an eschiedenen Oen uneschiedlich sein. Zu ollsändigen Angabe muss fü jeden O F F, F, F Scheibweise:,, de Kafeko angegeben weden. Kaffeld Gafische Dasellung F F,,, F,,, F,, Mi dem Akionspinip kann man die Beschleunigung eine Masse F am O in einem Kaffeld diek beechnen. 60

2 Man unescheide bei de Inepeaion on Wechselwikungen wischen Nahwikung und Fenwikung. Bei de Nahwikung eeug eine Masse ein Gaiaionsfeld. Die andee Masse wechselwik mi dem Feld an dem O an dem sie sich befinde Bei de Fenwikung wechselwiken die Massen diek, ohne emielndes Feld übe goße Enfenung. Felde können sich als Wellen on ihen Eeugen lösen Beispiel elekomagneische Wellen und übe goße Enfenungen und Zeien Enegie und Impuls anspoieen. Mi Felden und Nahwikung können diese Phänomene seh übeeugend beschieben weden. Ein saisches Feld efüll den gesamen Raum und äg Enegie Enegiediche. 60b

3 Gaiaionsfeld Es wid die Kaf auf eine kleine Masse m in de Nähe de Masse M gemessen. Die Richung de Kaf eig auf die Masse M d.h. in Richung on De Beag de Kaf is Also ode F G F G F γ m M m M γ m M G γ e 61

4 Kaffelde können usälich auch on de Zei abhängen. F, dies is de Fall, wenn sich die feldeeugenden Massen gegeneinande bewegen. In manchen Fällen hängen die Käfe auf einen Köpe nich nu on seine Posiion im Kaffeld ab, sonden.b. auch on seine Geschwindigkei Ladungen im Magnefeld - Loenkaf. Das Konep des Feldes funkionie dennoch. Die Eigenschafen des Köpes und des Feldes müssen sogfälig oneinande geenn im Modell beücksichig weden. Käfe aufgund on Beühungen on Köpen lassen sich nich duch Felde bescheiben, sonden duch die unmielbae Wechselwikung de Köpe mieinande. 6

5 O, Masse, Geschwindigkei sind Eigenschafen on Köpen. Das Feld häng on Eigenschafen des feldeeugenden Köpes ab. Es daf abe nich on Eigenschafen des Köpes abhängen, de eine Kaf im Feld efäh. Wi fühen dahe eine Feldsäke ein, die unabhängig on de Masse m des Pobeköpes is und ehalen das Gaiaionsfeld g F m Aus Feldsäke und Eigenschafen des Pobeköpes beechne sich die Kaf auf den Pobeköpe F m g Wegen de Gleichhei Täge Masse schwee Masse is die Feldsäke des Gaiaionsfeldes eine Beschleunigung Schweebeschleunigung. m a m g 63

6 Beispiele: Feld eine Punkmasse 64

7 Feld on wei gleichgoßen Punkmassen 65

8 Ausschni mi Zelegung de Käfe Feldsäke in ihe Komponenen 66

9 Feld on wei Punkmassen m 1 /m 5/1 67

10 Feld on dei gleichgoßen Punkmassen 68

11 Zu gaphischen Dasellung on Felden: Feldlinien Jede Feldlinie beginn im Unendlichen und ende an eine Masse Die Richung de Feldlinie simm an jedem Punk mi de Richung de Kaf auf eine Pobemasse übeein. Die Diche de Feldlinien po Flächeneinhei bei senkechem Duchsoßen is popoional u um Beag de Kaf. In Abb. nich ichig dagesell 69

12 Bewegung eine Masse in einem Kaffeld Newon s Akionspinip laue in diesem Fall F m a Die Beschleunigung häng om O ab, an dem sich die Masse befinde. Newon s Akionspinip liefe eine Anleiung, um die Bewegung de Masse duch das Kaffeld u beechnen: Ausgehend om Sapunk mi Sageschwindigkei 0 0 wid in jedem Momen folgendes beechne: aus de Kaf die Beschleunigung Ändeung de Geschwindigkei daaus die neue Geschwindigkei Ändeung des Osekos daaus de neue O 70

13 Aus dem Akionspinip ehäl man eine Diffeenialgleichung, die Bewegungsgleichung. Scheib man die Beschleunigung als und ehäl man d d F g m g Diese Diffeenialgleichung ha als Lösung Funkionen. Lösung sind alle möglichen Bewegungen Bahnkuen im Gaiaionsfeld, d.h. alle ulässigen Funkionen. d a d Es die Angabe on Anfangsbedingungen fü O und Geschwindigkei beschänk die Lösung auf eine besimme Bewegung. 71

14 Bescheibung und Vohesage de Bewegungen on Massen. Bescheibung des Epeimenes miels eines Modells. Zusammensellen alle Käfe die auf bewegliche Massen wiken. Aufsellen de Bewegungsgleichung. Lösen de Bewegungsgleichung. Fessellen de Anfangsbedingungen. Beechnung de Bahnkuen u diesen Anfangsbedingungen. Vegleich mi dem Epeimen. ggf. Falsifiieen des Modells. 7

15 Die Bewegungsgleichung d.h. die Diffeenialgleichung kann numeisch ode in besimmen Fällen analisch gelös weden. Einfache numeische Lösung: Ausgehend om Sapunk mi Sageschwindigkei wid in jedem Momen folgendes beechne: aus de Feldsäke die Beschleunigung Ändeung de Geschwindigkei daaus die neue Geschwindigkei Ändeung des Osekos daaus de neue O 0 0 d d d d g g d d al al neu d.h. a a al neu d.h. 73

16 Die Beschleunigung beechne sich aus de Feldsäke, also: g g al al neu d.h. Komponenenweise egib sich: Anfangsbedingung: g,, g,, g,,

17 Beispiel: Bewegung de Ede um die Sonne Sonne selbs sei osfes m g S γ Komponenenweise egib sich: m S γ m S γ m S γ 75

18 Umseung auf dem Compue: Beechnung de Bahnkue de Ede um die Sonne. m E kg m S kg γ N m / kg 1000 s ca. 15 min, is klein gegen einen Umlauf ein Jah Absand Ede-Sonne: min: m ma: m Goße Halbachse de Ellipse: a m Bahngeschwindigkei: ma: 3089 m/s min: 993 m/s Anfangsbedingungen sind.b m m m m/s m/s m/s 76

19 Beechnung de Bahnkue auf dem Compue Wahl eschiedene Anfangsbedingungen m 0 0 m m/s m 0 0 m m/s m 0 0 m m/s m 0 0 m m/s m 0 0 m m/s 77

20 Vegleich on Newons Modell Aiome und Gaiaionsgese mi Keples Modell fü das Sonnenssem. 1. Die Bahnkuen sind Ellipsen in deen einem Bennpunk die Sonne seh.. Flächensa wid hie nich übepüf 3. Die Quadae de Umlaufeien weie Planeen ehalen sich wie die dien Poenen de goßen Halbachsen ihe Bahnen. T T a T T a a1 a cons. T a Tage Gm Tage / Gm 3 78

21 Vegleich fü eschiedene Bahnkuen: m 0 0 m m/s T / a Tage / Gm Tage / Gm m 0 0 m m/s T / a Tage / Gm Tage / Gm m 0 0 m m/s T / a Tage / Gm Tage / Gm m 0 0 m m/s T / a Tage / Gm Tage / Gm 3 Beide Modelle simmen im Rahmen de numeischen Lösung auf 10-4 mieinande übeein. 79

22 Leiche Modifikaion des Gaiaionsgesees: Vaiaion des Eponenen ms m F γ. 01 E Beispiele: m 0 0 m m/s Eponen m 0 0 m m/s Eponen 1.98 Die Bahnkuen sind keine Ellipsen meh, sonden Roseenbahnen. Tasächlich is die Bahn des Meku eine Roseenbahn aufgund on Effeken de Allgemeinen Relaiiäsheoie und de Käfe duch andee Planeen. 80

23 Genen Newons Modells u Bescheibung de Bewegung on Massen Nano-Kosmos Beweg sich eine kleine Masse auf eine Keplebahn mi Radius im nm Beeich, dann simm das Modell nich meh mi Epeimenen übeein. 1. Die Anfangsbedingungen de Bewegung sind nich päise besimmba Sie sind nu mi eine Unschäfe: 0 ± und 0 ± messba. Es gil: m m 34 kg m /s kg Diese Unschäfe gib die Nau o, sie kann mi keinem noch so genauen Epeimen übewunden weden. De emuliche Aufenhalso eines Teilchens duch eine Wahscheinlichkeisfunkion Wellenfunkion beschieben. 80a

24 aus: S. Band & H.D. Dahmen, The Picue Book of Quanum Mechanics, Spinge Velag 80b

25 Teilchen innehalb diese Unschäfe haben uneschiedliche Umlaufeien. Ein anfängliche lokal begene Veeilung ebeie sich im Laufe de Zei. Nach meheen Umläufen is die Veeilung übe die gane Bahn eschmie. Man weiß nich meh wo auf de Bahn das Teilchen is.. Zusälich haben die Teilchen eine Wellennau und Übelageungen fühen u Inefeenen wie man sie om Lich he kenn. Übelage sich das Teilchen mi sich selbs, d.h. sein n-e Umlauf mi seinem n1-en Umlauf, dann beobache man eine Wellensuku in de Aufenhalswahscheinlichkei. Dies alles wid in de Quanenmechanik mahemaisch fomulie. 80c

26 aus: S. Band & H.D. Dahmen, The Picue Book of Quanum Mechanics, Spinge Velag 80d

27 Richige Behandlung de Gegenkaf: Auf die Sonne wik die gleiche Kaf wie auf die Ede, abe in engegengesee Richung. Auch die Sonne wid beschleunig. Behandlung de Sonne als fei bewegliche Masse duch usäliche Bewegungsgleichungen. Die Ede beweg sich im Gaiaionsfeld de Sonne, die Sonne beweg sich im Gaiaionsfeld de Ede. S E S E S E S E m d d γ E S E S E S E S m d d γ E S E S 81

28 Beispiele auf dem Compue: Oiginal Massenehälnis Masse Sonne kg Masse Ede kg Ede: m 0 0 m m/s Sonne: 0 0 m 0 0 m m/s Massenehälnis 10:1 Masse Sonne kg Masse Ede 10 9 kg Ede: m 0 0 m m/s Sonne: 0 0 m 0 0 m m/s Massenehälnis 1:1 Masse Sonne kg Masse Ede kg Ede: m 0 0 m m/s Sonne: 0 0 m 0 0 m m/s 8

29 Bewegung um gemeinsamen Schwepunk: Massenehälnis 10:1 Masse Sonne kg Masse Ede 10 9 kg Ede: m 0 0 m m/s Sonne: 0 0 m 0 0 m m/s Massenehälnis 1:1 Masse Sonne kg Masse Ede kg Ede: m 0 0 m m/s Sonne: 0 0 m 0 0 m m/s 83

30 Analische Behandlung on keisfömigen Planeenbahnen: Wichige Mehode beim Lösen on Diffeenialgleichungen is das inelligene aen de ichigen Funkion und anschließend Beechnung de Paamee. Beachung des Speialfalls keisfömige Bahnkue, cosϕ, sin ϕ Bewegung auf Keis is gleichfömig Keples Flächensa Winkel nimm gleichmäßig u. ϕ ω ω cons. also cos ω, sin ω ϕ 84

31 cos ω, sin ω ω sin ω, ω cos ω a ω cos ω, ω sin ω Ableien on nach ausklammen on -ω egib sich: a ω Die Beschleunigung eig imme auf das Zenum des Keises. Sie heiß Zenipealbeschleunigung a ω Bewegungen auf eine Keisbahn sind imme beschleunige Bewegungen. nach de Zei: Beschleunigung seh senkech u, sie ände nich den Beag on, sonden nu die Richung. ϕ a 85

32 Die Zenipealbeschleunigung muss duch eine Kaf eusach weden Newon s Akionspinip. m a F mi m 1 osfes im Zenum und m auf de Keisbahn egib sich: m ω γ m1 m m ω m1m γ 3 m 1 ω γ ω 3 m γ Ein Umlauf d.h. wid nach de Zei eeich. ω π T 1 3 ϕ π π ω T nenn man Winkelgeschwindigkei. 86

33 Aus ω γ m 1 3 lies man das 3. Keplesche Gese ab es folg aus Newons Modell bei osfese Sonne und einem Planeen: π T m γ 1 3 Fü den Beag de Bahngeschwindigkei T 3 m1 γ 4π gil: cons. ω sin ω cos ω also ω 1 Analische Behandlung on Ellipsen schwieige Analische Behandlung eine Roseenbahn seh schwieig 87