Hypothesentest, ein einfacher Zugang mit Würfeln

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1 R. Brinkmann Seite 4..4 ypothesentest, ein einfacher Zugang mit Würfeln Von einem Laplace- Würfel ist bekannt, dass bei einmaligem Wurf jede einzelne der Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit / auftritt. Bei vielen Würfelspielen hat die eine besondere Bedeutung. Aus Sicht des Spielers mag ein guter Würfel der sein, der möglichst oft eine liefert. ingegen aus der Sicht eines Spielbetreibers sollte der Würfel möglichst selten eine zeigen. ier liegen also unterschiedliche Interessen vor, so dass Würfelmanipulationen denkbar erscheinen. Im Folgenden sollen Würfel getestet werden. Fall I: Es wird vermutet, dass ein Würfel häufiger die liefert, als es bei einem Laplace- Würfel zu erwarten ist ( p > / ). Um den Würfel zu testen, wird geplant, den Würfel n = mal zu werfen und dabei die Zufallsvariable X = Anzahl der aufgetretenen Sechsen zu betrachten. Durch einen ypothesentest soll untersucht werden ob p > / gilt. Welche ypothese ist hierfür zu wählen? Damit man p > / als richtig ansehen kann, muss man davon überzeugt sein, das p / nicht stimmen kann. Getestet wird also die ypothese : p / auch Nullhypothese genannt. Falls diese abgelehnt werden muss, wird : p > / auch Alternativhypothese oder Gegenhypothese genannt angenommen. Bemerkungen zur Nullhypothese. Die Nullhypothese sollte immer die ypothese sein, mit der der Test durchgeführt wird. Für sie sollte gelten: :p p ; :p= p oder :p p Zur Nullhypothese gibt es stets eine Alternativhypothese. : p p : p > p rechtsseitiger Test : p = p : p p zweiseitiger Test : p p : p < p linksseitiger Test Eine Entscheidung für führt stets zur Ablehnung von. Eine Entscheidung gegen führt stets zur Annahme von. Der Fehler, der bei der Entscheidung gemacht werden kann, soll auf höchstens 5% beschränkt werden. Diese Größe heißt Signifikanzniveau. Um den Würfel zu testen, ist für :p ein Annahmebereich und ein Ablehnungsbereich zu berechnen. Bemerkungen zur Vorgehensweise. Bei dem Würfelexperiment handelt es sich um einen Bernoulliversuch mit einer Binomialverteilung der Zufallsvariablen X. Eine solche Verteilung ist nur dann symmetrisch zum Erwartungswert µ, wenn p =,5 ist. Für p = / ist die Verteilungsfunktion nicht mehr symmetrisch. Bei hinreichend hoher Streuung ist die Laplace- Bedingung ( Sigma > 3 ) erfüllt. Dann kann die Binomialverteilung durch eine zum Erwartungswert symmetrische Normalverteilung approximiert werden, so dass zur Berechnung von Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite von 3

2 R. Brinkmann Seite 4..4 Umgebungswahrscheinlichkeiten die Tabelle der Wahrscheinlichkeiten für Sigma- Umgebungen normalverteilter Zufallsvariablen verwendet werden kann. Für den Umgebungsradius einer x%- Umgebung um den Erwartungswert gilt: 9% Umgebung r =,4 σ 95% Umgebung r =,9 σ 99% Umgebung r =,58 σ Berechnung: Nullhypothese : p Signifikanzniveau α 5% Daten: n = ; p = ; μ = n p = = 5 5 σ= n p ( p) = = 9,9 > 3 Es ist ein rechtsseitiger ypothesentest durchzuführen, denn eine hohe Anzahl er spricht gegen. Bei einem Signifikanzniveau von 5% sind folgende Intervalle zu betrachten: { 5% } { 9% } { 5% } Ablehnungsbereich für 5 Damit wird μ+,4 σ= +,4 4,97 die obere Grenze des Annahmebereichs für. Es gilt: Annahmebereich für : {... 5 } Ablehnungsbereich für : {... } Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich derart, das gilt: P X α = 5% {...84}{ }{...} P( X ) = P 85 X 5 r 5,5 P( 85 X 5) r = 5,5 z = =,7 P( 85 X 5),9 σ 5 P( X ) [,9] =,445 Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite von 3

3 R. Brinkmann Seite Berechnung mit dem GTR Casio fx-cg P X k,5 k =? k = InvBinomialCD.95,, A... + = = P( A) = P( X ) = BinomialCD 5,, =,47... Bemerkung: Die geringfügigen Unterschiede der Werte sind in der Berechnungsmethode zu finden. Der Wert,445 wurde mit gerundeten Tabellenwerten der Normalverteilung ermittelt. Der Wert,47... ist der realistische Wert, den die Binomialverteilung liefert, denn um eine solche handelt es sich in der Aufgabenstellung. Da die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden kann, wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist, liefert die Normalverteilung Werte mit geringer Abweichung. Auswertung: Falls bei Würfen die Anzahl der verzeichneten er in den Ablehnungsbereich von ( {... } ) fällt, ist abzulehnen und anzunehmen. Das würde bedeuten, das der Würfel tatsächlich mehr er lieferte als er sollte. Möglicherweise ist er gezinkt. Falls die - ypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird, geschieht das mit einem Fehler von etwa 4,45% (berechnetes Signifikanzniveau). Das ist der Fehler. Art und bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die - ypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird obwohl sie richtig ist, beträgt etwa 4,45%. Diese Wahrscheinlichkeit wird auch Irrtumswahrscheinlichkeit genannt. Anders ausgedrückt: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,45% nimmt man an, dass der Würfel gezinkt ist, obwohl er in Ordnung ist. Graphische Darstellung: ( k) P X = : p ; α 5% ; n = ; p = ; μ = ; σ 9,9 Annahmebereich 95,55% Fehler. Art α= 4,45% 5 A =... A = {... 5} Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite 3 von 3

4 R. Brinkmann Seite Fall II: Es wird vermutet, dass ein Würfel weniger die Sechs liefert, als es bei einem Laplace- Würfel zu erwarten ist ( p < / ). Die Vorgehensweise ist analog wie bei Fall I. Es soll untersucht werden ob p < / gilt. Getestet wird also die ypothese : p /. Falls diese abgelehnt werden muss, wird : p < / angenommen. Berechnung: Nullhypothese : p Signifikanzniveau α 5% Daten: n = ; p = ; μ = n p = = 5 5 σ= n p ( p) = = 9,9 > 3 Es ist ein linksseitiger ypothesentest durchzuführen, denn eine geringe Anzahl er spricht gegen. Bei einem Signifikanzniveau von 5% sind folgende Intervalle zu betrachten: { 5% } { 9% } { 5% } Ablehnungsbereich für 5 Damit wird μ,4 σ=,4 85,3 die untere Grenze des Annahmebereichs für. Es gilt: Annahmebereich für : { } Ablehnungsbereich für : { } Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich derart, das gilt: P X 84 α = 5% {... 84}{ }{... } P ( X 84) = P 85 X 5 r 5,5 P85 ( X 5) r= 5,5 z= =,7 P( 85 X 5),9 σ 5 P ( X 84) [, 9] =, 445 Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite 4 von 3

5 R. Brinkmann Seite Berechnung mit dem GTR Casio fx-cg P X k,5 k =? k = InvBinomialCD.5,, 84 A = = P( A) = P( X 84) = BinomialCD 84,, =,44... Bemerkung: Die geringfügigen Unterschiede der Werte sind in der Berechnungsmethode zu finden. Der Wert,445 wurde mit gerundeten Tabellenwerten der Normalverteilung ermittelt. Der Wert,44... ist der realistische Wert, den die Binomialverteilung liefert, denn um eine solche handelt es sich in der Aufgabenstellung. Da die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden kann, wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist, liefert die Normalverteilung Werte mit geringer Abweichung. Auswertung: Falls bei Würfen die Anzahl der verzeichneten er in den Ablehnungsbereich von ( { } ) fällt, ist abzulehnen und anzunehmen. Das würde bedeuten, das der Würfel tatsächlich weniger er lieferte als er sollte. Möglicherweise ist er gezinkt. Falls die - ypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird, geschieht das mit einem Fehler von etwa 4,45% (berechnetes Signifikanzniveau). Das ist der Fehler. Art und bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die - ypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird obwohl sie richtig ist, beträgt etwa 4,45%. Anders ausgedrückt: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,45% nimmt man an, dass der Würfel gezinkt ist, obwohl er in Ordnung ist. Graphische Darstellung: ( k) P X = : p ; α 5% ; n = ; p = ; μ = ; σ 9,9 Annahmebereich 95,55% Fehler. Art α= 4,45% A = {... 84} A = { 85...} Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite 5 von 3

6 R. Brinkmann Seite 4..4 Fall III: Von einem Würfel wird vermutet, dass er die Sechs mit einer Wahrscheinlichkeit liefert, die nicht gleich / ist, wie es bei einem Laplace- Würfel zu erwarten wäre. Es soll ein Test entworfen werden, um die ypothese, es handele sich um keinen Laplace- Würfel, zu untersuchen. Die Vorgehensweise ist ähnlich wie bei Fall I und Fall II. Es soll untersucht werden ob p / gilt. Nullhypothese : p = /; Alternativhypothese : p /. Anders als in Fall I und Fall II muss hier der Ablehnungsbereich von auf beiden Seiten vom Erwartungswert liegen, denn viele er, wie auch wenig er sprechen gegen. Das Signifikanzniveau wird auf beide Ablehnungsbereiche zu gleichen Teilen aufgeteilt. Man spricht bei einem solchen Test von einem zweiseitigen Test. Berechnung: Nullhypothese : p = Signifikanzniveau α 5% Daten: n = ; p = ; μ = n p = = 5 5 σ= n p ( p) = = 9,9 > 3 Es ist ein zweiseitiger ypothesentest durchzuführen, denn eine geringe Anzahl, wie auch eine hohe Anzahl er spricht gegen. Bei einem Signifikanzniveau von 5% sind folgende Intervalle zu betrachten: {,5% } { 95% } {, 5% } Ablehnungsbereich für Ablehnungsbereich für 5 Damit wird μ,9 σ=,9 8, die untere Grenze des Annahmebereichs für. 5 und μ+,9 σ= +,9 7,9 die obere Grenze des Annahmebereichs für. Es gilt: Annahmebereich für : { } Ablehnungsbereich für : {... 8 } { 9... } Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich derart, das gilt: P X 8+ P9 X α = 5% {...8}{ }{ 9...} P ( X 8) + P9 ( X ) = P( 8 X 8) r 8,5 P( 8 X 8) r = 8,5 z = =,3 P( 8 X 8),958 σ 5 P X 8 + P 9 X,9 =,4 Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite von 3

7 R. Brinkmann Seite Berechnung mit dem GTR Casio fx-cg P X k,5 k =? k = InvBinomialCD.5,, 8 A... 8 = = P X k,5 k =? k = InvBinomialCD.975,, 9 A = = P( A) = P( X 8) = BinomialCD 8,,,9... = P( A ) = P( X 9) = BinomialCD 8,, =,3... ( ) P A + P A =,44... Bemerkung: Die geringfügigen Unterschiede der Werte sind in der Berechnungsmethode zu finden. Der Wert,4 wurde mit gerundeten Tabellenwerten der Normalverteilung ermittelt. Der Wert,44... ist der realistische Wert, den die Binomialverteilung liefert, denn um eine solche handelt es sich in der Aufgabenstellung. Da die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden kann, wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist, liefert die Normalverteilung Werte mit geringer Abweichung. Auswertung: Falls bei Würfen die Anzahl der verzeichneten er in den Ablehnungsbereich von ( {... 8 } { 9... } ) fällt, ist abzulehnen und anzunehmen. Das würde bedeuten, das der Würfel tatsächlich nicht die Anzahl er liefert, wie er sollte. Möglicherweise ist er gezinkt. Falls die - ypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird, geschieht das mit einem Fehler von etwa 4,% (berechnetes Signifikanzniveau). Das ist der Fehler. Art und bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die - ypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird obwohl sie richtig ist, beträgt etwa 4,%. Anders ausgedrückt: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,% nimmt man an, dass der Würfel gezinkt ist, obwohl er in Ordnung ist. Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite 7 von 3

8 R. Brinkmann Seite Graphische Darstellung: ( k) P X = : p = ; α 5% ; n = ; p = ; μ = ; σ 9,9 Annahmebereich 95,8% Fehler. Art α= 4,% A... 8 A = A = 9... = Fehlerbetrachtungen: Fall I bis Fall III haben gezeigt, dass das jeweils gebildete Urteil falsch sein kann. Fehler. Art: Es handelt sich in Wirklichkeit um einen Laplace- Würfel, doch da das Testergebnis zufällig in den Ablehnungsbereich von fällt, wird fälschlicherweise abgelehnt. Kurz: Die wahre ypothese wird abgelehnt. Fehler. Art: Es handelt sich in Wirklichkeit nicht um einen Laplace- Würfel, doch da das Testergebnis in den Annahmebereich von fällt, wird fälschlicherweise angenommen. Kurz: Die falsche ypothese wird angenommen. Der Fehler. Art lässt sich nur berechnen, wenn man bei einem gefälschten Würfel eine bestimmte Wahrscheinlichkeit für eine Sechs annimmt oder man sie weiß. Ein Fallbeispiel soll das Verständnis erleichtern. Fallbeispiel: Ein Glücksspiel auf dem Jahrmarkt heißt Jede Sechs gewinnt. Ein ehemaliger Mitarbeiter des Betreibers geht zur Polizei und behauptet, die Würfel seien derart gefälscht, dass er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von p =,3 auftreten würden. Der vom Betrugsdezernat beauftragte Kommissar Brinkmann macht sich zuvor Gedanken, wie er an den Fall herangehen will. Aus seiner Schulzeit weiß er, dass Würfeln ein Zufallsversuch ist. Er weiß auch, dass bei einem Laplace- Würfel es durchaus vorkommen kann, dass auch nach mehr als Würfen keine erscheint. Um statistisch die Wahrscheinlichkeit für er mit einer hinreichenden Genauigkeit zu ermitteln, müsste er viele tausend Würfelversuche durchführen lassen. Da er aber nicht bis zu seiner Pensionierung mit diesem Fall beschäftigt sein möchte, beschließt er lediglich Versuche zu dokumentieren und aus dem Ergebnis eine Schlussfolgerung zu ziehen. Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite 8 von 3

9 R. Brinkmann Seite Nach Sichtung der Stochastik- Unterlagen aus seiner Schulzeit, beschließt er zur Entscheidungsfindung einen ypothesentest zu entwickeln. : p ( Nullhypothese ); : p < ( Alternativhypothese ) sind die ypothesen. soll auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden. Das ist der gleiche Test, wie er unter Fall II bereits beschrieben wurde. Annahmebereich von { }; Ablehnungsbereich von { } mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 4,45%. Um den Fehler. Art berechnen zu können nimmt Kommissar Brinkmann aufgrund der Informantenaussage an, dass die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für er p =,3 beträgt. Er berechnet die Wahrscheinlichkeit mit der ein Ergebnis unter der Voraussetzung dass p =,3 stimmt, in den Annahmebereich von fällt. Berechnung: β= P 85 X ist zu berechnen.,3 Daten: n = ; p =,3 ; μ = n p =,3 = 78 σ= n p p = 78,87 = 7,8 8,38 > 3 Zur Berechnung sind symmetrische Intervalle zu betrachten. {... 7}{ } { } Annahmebereich von P,3 ( 85 X ) = P( 7 X 84) r,5 P( 7 X 84) r =,5 z = =,79 σ 7,8 P( 7 X 84),57 P, 3 ( 85 X ) [,57] =,5 Fehler. Art β,5% Berechnung mit dem GTR Casio fx-cg P A = P X 85 = BinomialCD 84,,.3 =,33... Auswertung: Falls bei Würfen die Anzahl der verzeichneten er in den Ablehnungsbereich von fällt, wird der Kommissar den vermeintlich gefälschten Würfel beschlagnahmen und den Spielebetreiber verhaften. Den Fehler, den er bei dieser Entscheidung begeht, beträgt etwa 4,45%. Denn die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Laplace- Würfel dieses Ergebnis zeigt, beträgt 4,45%. Dieses Risiko geht der Kommissar ein. Da andererseits, falls der Würfel wirklich gefälscht ist, mit einer Wahrscheinlichkeit von,5% die Anzahl der verzeichneten er in den Annahmebereich von fällt, wird der Kommissar mit einer Wahrscheinlichkeit von,5% den gefälschten Würfel als solchen nicht erkennen. Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite 9 von 3

10 R. Brinkmann Seite 4..4 Graphische Darstellung: ( = k) P X : p ; α 5% ; n = ; p = ; μ = ; σ 9,9 Annahmebereich 95,55% Fehler. Art α= 4,45% A = {...84} A = { } : p =,3 < ; α 5% ; n = ; p =,3 ; μ = 78 ; σ 8,38 Fehler. Art β=,5% Annahmebereich von A von = Änderung des Signifikanzniveaus: Kommissar Pingelig erhält einen ähnlichen Auftrag und lässt sich, da er von Stochastik nur wenig Ahnung hat, die Unterlagen von Brinkmann schicken. Er will nun ähnlich verfahren, wie sein Kollege. Jedoch ein Signifikanzniveau von 4,45% erscheint ihm zu hoch. Er möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 97,5% Sicherheit seine Entscheidung treffen. Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite von 3

11 R. Brinkmann Seite 4..4 Berechnung: Nullhypothese : p Signifikanzniveau α,5% Daten: n = ; p = ; μ = n p = = 5 5 σ= n p ( p) = = 9,9 > 3 Es ist ein linksseitiger ypothesentest durchzuführen, denn eine geringe Anzahl er spricht gegen. Bei einem Signifikanzniveau von,5% sind folgende Intervalle zu betrachten: {,5% } { 95% } {,5% } Ablehnungsbereich für 5 Damit wird μ,9 σ=,9 8, die untere Grenze des Annahmebereichs für. Es gilt: Annahmebereich für : { 8... } Ablehnungsbereich für : {... 8 } Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich derart, das gilt: P X 8 α =,5% {... 8}{ }{ 9... } P ( X 8) = P( 8 X ) 8 r 8,5 P8 ( X 8) r = 8,5 z = =,3 P( 8 X 8),958 σ 5 P( X 8) [,958] =, Berechnung mit dem GTR Casio fx-cg P X k,5 k =? k = InvBinomialCD.5,, 8 A... 8 = = P( A) = P( X 8) = BinomialCD 8,, =,9... Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite von 3

12 R. Brinkmann Seite 4..4 Fehler. Art:,3 β= P 8 X ist zu berechnen. Daten: n = ; p =,3 ; μ = n p =,3 = 78 σ= n p p = 78,87 = 7,8 8,38 > 3 Zur Berechnung sind symmetrische Intervalle zu betrachten. {...74}{ } { 8... } Annahmebereich von P,3 ( 8 X ) = P( 75 X 8) r 3,5 P75 ( X 8) r= 3,5 z= =,4 σ 7,8 P( 5 X 8),3 P, 3 ( 8 X ) [,3] =,337 Fehler. Art β 33,7% Berechnung mit dem GTR Casio fx-cg P A = P X 8 = BinomialCD 8,,.3 =,33... Auswertung: Falls bei Würfen die Anzahl der verzeichneten er in den Ablehnungsbereich von fällt, wird Kommissar Pingelig den vermeintlich gefälschten Würfel beschlagnahmen und den Spielebetreiber verhaften. Den Fehler, den er bei dieser Entscheidung begeht, beträgt etwa,%. Denn die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Laplace- Würfel dieses Ergebnis zeigt, beträgt,%. Dieses Risiko geht Pingelig ein. Da andererseits, falls der Würfel wirklich gefälscht ist, mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,7% die Anzahl der verzeichneten er in den Annahmebereich von fällt, wird der Kommissar mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,7% den gefälschten Würfel als solchen nicht erkennen. Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite von 3

13 R. Brinkmann Seite Graphische Darstellung: ( k) P X = : p ; α,5% ; n = ; p = ; μ = ; σ 9,9 Annahmebereich 97,9% Fehler. Art α=,% 8 A = A = { 8... } : p =,3 < ; α,5% ; n = ; p =,3 ; μ = 78 ; σ 8,38 Fehler. Art β= 33,7% Annahmebereich von 78 8 A von = 8... Fazit: Die Gefahr, sich in der Öffentlichkeit durch vorschnelle, letztlich ungerechtfertigte Festnahmen zu diskreditieren ist bei Kommissar Pingelig geringer als bei Kommissar Brinkmann. Der Preis für die Sicherheit ist jedoch ein größerer Fehler. Art, was bedeutet gefälschte Würfel werden seltener als solche erkannt. Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_ :3 Seite 3 von 3