Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus:

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1 Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Grundlagen der Integralrechnung: Übungsaufgaben zur Berechnung unbestimmter und bestimmter Integrale Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de

2 Berechnung unbestimmter und bestimmter Integrale Seite 6 von 11 Arbeitsblatt : Berechnung von Integralen Aufgabe 1 Berechnen Sie den Wert der jeweiligen bestimmten Integrale: a) b) c) d) Aufgabe 2 Bestimmen Sie, wie der Parameter gewählt werden muss, damit die folgenden Integrale den jeweils angegebenen Wert besitzen: a) b) c) Aufgabe 3 Gegeben sei Ihnen die Funktion mit. a) Skizzieren Sie den Kurvenverlauf. b) Berechnen Sie die Fläche, die die Funktion mit den Geraden und einschließt. c) In welchem Verhältnis steht die in Teilaufgabe b berechnete Fläche zu der Fläche, die die Funktion mit der x-achse einschließt? Aufgabe 4 Die Tangenten in den Nullstellen der Funktion mit schließen mit der Parabel eine Fläche ein. Bestimmen Sie deren Größe! Fertigen Sie zur Berechnung eine aussagekräftige Skizze an!

3 Berechnung unbestimmter und bestimmter Integrale Seite 7 von 11 Musterlösung des Arbeitsblattes a) Aufgabe 1 b) c) d) Aufgabe 2 Sie berechnen die Integrale wie in Aufgabe 1, allerdings mit den vorgegebenen Parametern. Daraus erhalten Sie eine Bestimmungsgleichung für. a). Es soll gelten:. Dies gilt genau dann, wenn Somit gilt:. b). Es soll gelten:. Dies gilt genau dann, wenn. Wir können faktorisieren: eine binomische Formel ist. Daraus können wir direkt die Lösungen ablesen: denn dies wäre ein Integral der Form, da. Die erste Lösung ist trivial, Wenn obere und untere Grenze übereinstimmen, muss das Integral den Wert 0 haben. Es gilt somit: bzw..

4 Berechnung unbestimmter und bestimmter Integrale Seite 8 von 11 c). Laut Aufgabe soll gelten, dass. Dies gilt genau dann, wenn. Dies ist eine eine sogenannte biquadratische Gleichung, die wir mit Hilfe einer Substitution (Ersetzung) auf eine quadratische Gleichung zurückführen können (vgl. Sie Klassenstufe 11 bzw. 9). Wir setzen:. Dann folgt:, was Ihnen die Lösungen liefert. Somit gilt oder. Da wir allerdings nicht an einer Lösung von u, sondern von k interessiert sind, müssen wir die gefundene Lösung wieder resubstituieren. Die Lösung -3 kann keine Lösung sein, da dann gelten würde:. Eine Gleichung dieser Form besitzt keine reelle Lösung, da die Quadrate von reellen Zahlen stets positiv sind. Es bleibt also nur:, was die Lösungen und nach sich zieht. Daher folgt:. Aufgabe 3 a) Die Skizze berücksichtigt die in Teilaufgabe b gefragte Fläche. b) Die Grenzen der gesuchten Fläche sind 1 und 3, also gilt es, das Integral zu berechnen. Wir erhalten: Die gesuchte Fläche beträgt somit Flächeneinheiten. c) Wenn nach der Fläche gefragt ist, die die Funktion mit der x-achse einschließt, dann sind die Integrationsgrenzen die Nullstellen der Funktion. Wir können die Nullstellen entweder aus der Skizze ablesen oder sie mit Hilfe der pq-formel berechnen: Es sind -1 und 4. Damit ergibt sich die Fläche als Integral

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