Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS

Transkript

1 Grundlgen in Mthemtik für die. Klssen der HMS und der FMS Einleitung In der Mthemtik wird häufig uf bereits Gelerntem und Beknntem ufgebut. Wer die Grundlgen nicht beherrscht, ht deshlb oft Mühe und Schwierigkeiten, neue mthemtische Themen zu verstehen. Die Erfhrung der letzten Jhre ht gezeigt, dss ein gewisser Prozentstz der Schüler und Schülerinnen die vorusgesetzten Grundlgen für den Stoff im Fch Mthemtik der. Klssen nicht genügend oder gr nicht beherrschen. Schüler und Schülerinnen, die die Rel respektive ds Niveu ll in Mthemtik besuchten, hben in einigen Teilen Lücken, weil dieser Stoff in der OS nicht Pflichtstoff ist. Deshlb wird mit diesem Script ein Angebot gemcht, um diese Lücken zu schliessen. Für die Errbeitung dieser Themen steht in der OMS selber wenig Zeit zur Verfügung. Inhlt Im vorliegenden Dossier sind in Kurzform die wichtigsten Grundlgen zusmmengefsst, welche du vor Beginn des Mthemtikunterrichtes in der. HMS /. FMS beherrschen solltest. Die Theorie wird in einer knppen Übersicht drgestellt. Ds Dossier enthält eine Zusmmenstellung verschiedener Aufgben. Zusätzlich werden im Teil die Lösungswege ufgezeigt. Unter dem Titel Vermischte Übungen findest du weiteres Übungsmteril. Hier werden die Einzelschritte nicht mehr ufgeführt. Zusätzlich gibt es zhllose Angebote im Internet. Du knnst dieses Dossier selbständig durchrbeiten und dbei kontrollieren, ob du für den Mthemtikunterricht in der OMS gerüstet bist oder noch rbeiten und üben solltest.

2 Mi 0 Oberwlliser Mittelschule St. Ursul Alte Simplonstrsse, 900 Brig-Glis Tel. 0/ 9 F. 0 / 9 9 Emil info@oms-brig.ch Internet Seite von.

3 Theoretische Grundlgen Addition / Subtrktion von Brüchen Gleichnmige Brüche 6 b b c c c Die Zähler werden ddiert und der gemeinsme Nenner wird beibehlten. Ungleichnmige Brüche 6 Ungleichnmige Brüche müssen zuerst gleichnmig gemcht werden. Multipliktion von Brüchen b c d 0 c bd Mn multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Wenn möglich, wird vor dem Multiplizieren gekürzt. Division von Brüchen c b d b d c 8 d b c Mn dividiert einen Bruch, indem mn mit seinem reziproken Wert (Kehrwert) multipliziert. Rechnen mit rtionlen Zhlen () Addition () (b) b ( ) (b) b () (b) b () (b) b Klmmern uflösen ein vor der Klmmer (b c) b c (b c) b c ein vor der Klmmer (b c) b c (b c) b c Punkt-vor-Strich-Regel 6 0 Regel Zuerst wird multipliziert und dividiert und dnn erst ddiert und subtrhiert. Eponent-vor-Punkt-vor-Strich-Regel Regel Zuerst wird potenziert, dnn multipliziert und dividiert, dnn erst ddiert und subtrhiert Seite von

4 ( b)( b) b b Distributivgesetz llgemeine Form (b c) b c ( b) c c b c ( b)(c d) b d bc bd Doppelte Anwendung des Gesetzes. Kommuttivgesetz b b b b Kommuttivgesetz b b b b Summnden dürfen beliebig vertuscht werden. Fktoren dürfen beliebig vertuscht werden. Ds Kommuttivgesetz gilt für die Addition und die Multipliktion, nicht ber für die Subtrktion und Divisiosn. Assozitivgesetz ( b) c (b c) b c ( b) c (b c) b c Assozitivgesetz Klmmern können bei Summen und Produkten beliebig gesetzt oder weggelssen werden. Ds Assozitivgesetz gilt für die Subtrktion und die Division nicht. Binomische Formeln ( b) ( b)( b) b b b b b ( b) ( b)( b) b b b b b ( b)( b) b b b b ( b) b b ( b) b b ( b)( b) b ( b) b b b ( b) b b b b ( b) b b b b b b -b -b b.. Seite von.

5 Die beiden Trpeze bilden ein Rechteck mit der Breite ( b) und der Länge ( b). Es ist lso ( b)( b) b Fktorisieren von Vriblentermen Ds Ziel des Fktorisierens besteht drin, eine Summe in ein Produkt zu verwndeln. Es gibt dzu die folgenden drei Methoden 0 0 ( ) Fktorisieren durch Ausklmmern 9 ( ) 6( ) 9 ( ) 6( ) 9 ( ) 6( ) ( )(9 6) ( ) ( ) Fktorisieren durch zweimliges teilweises Ausklmmern, den gemeinsmen Klmmerusdruck brucht mn nur einml in ds Produkt zu nehmen. ( ) ( )( ) b b b b (b ) (b ) (b )( ) (b )( ) b c b c ( b c) ( b c) ( b c)( ) ( b c)( ) 6 y ( y )( y ) Fktorisieren mit den binomischen Formeln ( y )( y ) 9 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0.6u 6.v 8 (0.8u.v )(0.8u.v ) (0.8u.v )(0.8u.v ) 9 b b b b (9 b b ) ( ( b) b). y 0.y 0.( 0y y ) 0.( y) 0.( y) ( ) ( ) ( )( ) Zerlegen in Linerfktoren ( )( ).. Seite von

6 Aufgben Einfche Terme Klmmerregeln ) y ( y ) y ( y ) y y 0y b) b ( b ) b ( b ) b b b 6 c) z (z ) (z ) z (z ) (z ) z z z z 9 d) (u v) (u v) (v u) (u v) (u v) (v u) u v u v v u e) m (n m ) ( n m) m (n m ) ( n m) m n m n m u m 6n ) ( y) ( ) (y ) ( y ) ( y) ( ) (y ) ( y ) y y y b) (b c) (c ) (b c) (b c) (c ) (b c) 9 b c c b c) 6b c c) [ ( y ) (y )] [ ( y ) (y )] [ y y ] y y y ) ( y) ( y) (y ) ( y) ( y) (y ) 6 y y y y b) b ( b) ( b) b ( b) ( b) b 0b b) b.. Seite 6 von.

7 c) (m n ) (n m ) (m n) (m n ) (n m ) (m n) m n n m 6 m n m 6n 0 d) 6( y z) ( y z) 6( y z) ( y z) 0y 6z 6 y z 8 y 8z e) ( b) (b ) ( b) ( b) (b ) ( b) 6b b 6 9b 0 b ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 b) ( ) ( ) ( ) ( ) Produkte von Summen ) ( y)(z ) ( y)(z ) z yz y b) ( )(y ) ( )(y ) y y 6y y c) (u )(v ) (u )(v ) uv u 6v 9 d) (m n)(m n) (m n)(m n) m mn n e) (z )( ) (z )( ) z 8z 0 f) ( b)(c d) ( b)(c d) c d 6bc bd g) (9u v)(r s) (9u v)(r s) 8ru 8rv su sv h) (m n)(k l) (m n)(k l) km kn lm ln i) (r s)( z) (r s)( z) r rz s 0sz.. Seite von

8 k) (6 b)(c d) (6 b)(c d) c 6d 0bc bd ) ( b)( b ) ( b)( b ) b b b b) ( y)( y ) ( y)( y ) 6 y y y Binomische Formeln ) ( y) ( y) y y b) (m n) (m n) m mn n c) ( ) ( ) d) (z ) (z ) z 6z 9 e) (u v)(u v) (u v)(u v) u v f) ( )( ) ( )( ) 6 g) (r s)(s r) (r s)(s r) r s h) ( b)(b ) ( b)(b ) b i) ( )( ) ( )( ) k) ( b)( b) ( b)( b) 9 b ) ( y) ( y) y 9y b) ( y) ( y) 0y 6y c) (6m n) (6m n) 6m mn n.. Seite 8 von.

9 d) ( b) ( b) 9 8b b e) (u v) (u v) u 66uv 9v f) (s 9t) (s 9t) 6s st 8t g) ( 8b)( 8b) ( 8b)( 8b) 69 6b h) (z )(z ) (z )(z ) z 6 i) (y z)(z y) (y z)(z y) 6y 9z k) (r 8t)(8t r) (r 8t)(8t r) r 6t ) ( b) ( b) 90b 69b b) (u v) (u v) u 8uv v c) (bc ) (bc ) 9 b c bc 9 d) (6 ) (6 ) 6 60 e) (y z) (y z) y yz z f) (9r ) (9r ) 8r r 6 ) ( y) ( y)( y) ( y) ( y)( y) y y y y b) ( b) ( b) ( b) ( b) 0b 9b (6 8b b ) 0b 9b 6 8b b 9 8b 8b.. Seite 9 von

10 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 ( ) b) ( y) ( y)(y ) ( y) ( y)(y ) ( y y ) ( 9y 6y) y y 6y y y y Linere Gleichungen (G ) ) b) 6 c) 6 () d) z 6 8 z z z 6 e) () f) g) h) 8 8 i) Seite 0 von.

11 k) (6) ) 8 8 b) c) ( ) ( ) ( ) ( ) d) (6 ) ( 6) (6 ) ( 6) e) ( 9) ( ) ( 9) ( ) Seite von

12 f) 6 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 TU 6 6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 b) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) c) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) d) 8 ( ) 6 8 ( ) e) 6 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) Seite von.

13 ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 ( ) b) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 () ( 9) c) ( )( ) 9( ) ( )( ) 9( ) () (8) d) ( ) ( 8) ( ) ( 8) ( 9) e) ( )( ) ( ) 8 ( )( ) ( ) 8 Tu 0 ( ) 8 () Seite von

14 ) b) c) d) (gleichnmig) () (gleichnmig) (8) (gleichnmig) () (gleichnmig) Seite von.

15 e) (gleichnmig) ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Seite von

16 c) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fktorisieren Ausklmmern ) 9p 9q 9p 9q 9(p q) b) y y ( y) c) 8 8b 8 8b 8( b) d) y y ( y) e) b b ( b) f) m my m my m( y) g) ( ) h) ( ) i) u u (u ) k) z z (z ) Ausklmmern ) 8 8 ( ) b) 6 6 ( ) ( ) c) ( ).. Seite 6 von.

17 d) 0 0 ( ) e) 6z 8z 6z 8z z(z ) f) 9y 9y 9y 9y 9y(y ) g) n n n n n (n ) h) 8 b 6b 8 b 6b b( b) Ausklmmern ) 6 y 9z 6 y 9z ( y z) b) y y ( y ) c) 6y 8z 6y 8z ( y z) d) 9 6y z 9 6y z ( y 9z) e) 0y z 0y z ( 8y z) f) b 8c b 8c ( b c) g) 69 9y 69 9y ( y ) h) b 8c b 8c ( b c) Fktorisiere mit der. binomischen Formel ) b b ( b)( b) b) y y (y )(y ) ( y)( y) c) ( )( ) d) u 6 u 6 (u )(u ) e) e e (e )(e ).. Seite von

18 f) 6 6 ( )( ) ( )( ) g) b b ( b)( b) (b )(b ) h) ( )( ) i) u u k) r r ( u)( u) (u )(u ) ( r)( r) (r )(r ) Fktorisiere mit der. binomischen Formel ) () b) y y y y (y ) c) ( ) d) ( ) e) 9 y y 9 y y ( y) f) 0b 6b 0b 6b ( b) g) 9z wz 9w 9z wz 9w (z w) (w z) h) 6 6 (6 ) 6 Fktorisiere mit der. binomischen Formel ) 0 0 ( ) b) ( ) c) p pq q p pq q (p q) d) 6m 60mn n 6m 60mn n (6m n) e) 6y 8y 6y 8y ( 9y).. Seite 8 von.

19 f) y 0yz z y 0yz z (y z) g) 6 8y 9y 6 8y 9y (6 y) h) 9u 8u 6 9u 8u 6 (u 8) Ausklmmern und binomische Formeln ) b b ( b ) ( b)( b) b) 0 0 ( 0 ) ( ) c) 6b b 6b b ( 8b 6b ) ( b) (b ) d) 8 8b 8 8b ( 9b ) ( b)( b) e) ( ) ( ) f) z z (z ) (z )(z ) ) b) c) Addition und Subtrktion von Brüchen 6y y y 6y y y y 9 y y 60 y Seite 9 von

20 .. Seite 0 von. d) b b 8 b b b 8 b b 6b 0b b e) c c c c c c c 0 c 0 98c 0 80c 0 c f) 8z 9 z 6 z 8z 9 z 6 z 8z 9 8z 8z 8z 0 g) 6y 9y y 6y 9y y 8y 8y 8y 8 8y h) u 8 u 6 u u 8 u 6 u u u u 0u i) b b b b b b b b 0b 0b b k) ) b) 8 y y 8 y y y 0 y y y y y y y 0

21 Multipliktion und Division von Brüchen ) 8 8 z z z z b) k c) p q p p 8 z z 8 z k k k k p p k q p p q p p k 90z k (p q) p p 6k pq d) y 0 y 0 y y 0 ) b) c) d) b b b b 8b b b 8b 8b b 8b.. Seite von

22 ) 8 9 b) c) 9 d) y 9y y 9y y 9y 9y y y e) 6y y 9 6y y 9 6y y 9 6y 9 y y f) 6c b c 6c b c 6c b c b 6c c 6 b 6 c Vermischte Übungen Bisher wr die Struktur der Aufgben klr festgelegt und die Antworten enthielten uch die Einzelschritte und nicht nur die Schlussntworten. Nun werden die Aufgbentypen zum Teil gemischt. Du solltest mthemtisch jetzt genügend fit sein und uf die Einzelschritte verzichten können. Deshlb werden nur noch die Schlussntworten ufgeführt. Einzelne Aufgben lssen sich uch mündlich lösen. Vriblenterme umformen ) b) c) 0 0 d) e) 9 0 () f) 60.. Seite von.

23 g) y z 60yz h) ( y z) y z i) k) l) b c 6 b -c y z y z 0 f) (0 ) Bestimme die Lösungsmenge L, und y stehen für rtionle Zhlen. ) ( ) ( ) L {} b) { [ ( )]} 0 L { } c) ( )( 8) 0 L [, 8} d) y (, y sind hier Zhlenpre) L {(/), (/), (/)} Produkte von Summen - binomische Formeln ) ( z) z z b) ( b) b b c) ( y) y 9y d) (u v) 69u 86uv v e) ( y)( b) b y by f) (q )(q ) q q g) ( b)(b ) 9 9b h) ( )( ) 8 i) ( )( ) k) ( )( ) l) (0. )(0. 0) 9.8. m) ( )( ) 0 9 n) (000u v)(0.00u 000v) u ' uv 000v o) ( )( ) 0 p) ( y) y y q) (y z) y yz z r) ( y) y 9y.. Seite von

24 s) ( )( ) t) u uv v (ml umgekehrt ) (u v) u) y 9y (ml umgekehrt ) ( y) v) ( b c)(( y) y b by c cy w) ( y) ( y) y ) ( b c) b c b bc c y) m n (m n)(m n) z) ( ) 8 6 Binomi ) (6c d)(d 6c) 6c 6d b) (m ) 89m m c) ( )( ) 6 d) (uv v ) u v uv v e) ( y z)( y z) y z f) ( y 6) y y 6 g) ( b) ( b)( b) b b h) ( y) ( y) 0 i) ( y)( X y) y 6 k) (m )(m ) (m ) m 8 l) ( y) ( 6) 8 8y 6y m) (z )(z ) (z )(z ) z z n) (z 8) (z )(z ) z 80z o) ( )( ) 8 Fktorisieren ) y z (y z) b) b c ( b c) c) Klmmere us ( ) d) u Klmmere us - ( u) e) 6 b 8b 8b( b).. Seite von.

25 f) y ( y) g) ( ) h) c b bc ( b)( c) i) y y (y ) k) 6 9 ( )( ) l) u uv v v (u ) m) ( )( ) o) 8 ( ) p) ( )( ) q) 6 08 ( 6) r) 90 ( 0)( 9) s) y ( y )( y)( y) t) - 8 ( )( ) v) nicht fktorisierbr; Grund? ) 0.0 0,y 0.09y (0. 0.y) y) 00 nicht zerlegbr; Grund? z) b c b c ( b c)( ) ) b) Bruchgleichungen 8 bc Kürze bc Kürze b b c) Klmmere us y z ( y z) d) e) Kürze Kürze - y y b b - b b y b b f) g) Fsse zusmmen Mche gleichnmig, u 6u 8u y y, y y h) Kürze u v u v nicht kürzbr.. Seite von

26 i) Kürze k) Erweitere so, dss der Bruchterm den gegebenen Nenner ht y y, y 9y y 9y l) m) n) o) p) Fsse zusmmen 9 Fsse zusmmen p p q p Fsse zusmmen Kürze p pq q q p Fsse zusmmen p pq 0 6 p q q p ( ) q) y Fsse zusmmen yz z 8 0y z yz yz r) s) Löse nch uf 6 y Fsse zusmmen y y L {} 8 y y t) Erweitere so, dss der Bruchterm den gegebenen Nenner ht u) 6 b, 6b 8 b Fsse zusmmen s t s t b 6b 8 s s t v) Fsse zusmmen 0 ( ) w) Fsse zusmmen ( )( )( ) ) Bestimme die Lösungsmenge L y) L { } 0 b Fsse zusmmen ( 8 9 ) 0 b b 08.. Seite 6 von.

27 z) Kürze 6 y( ) y ( ) 6 ( ) y Weitere (etws schwierigere) Beispiele zu Bruchtermen und Bruchgleichungen b b ) b c) d) e) f) y z( 6yz u v v u u v v u ) 0 ( ) 6y u v u v z Internet Zusätzliches Übungsmteril, flls ds noch nötig sein sollte, findest du uch im Internet. Einzelne Aufgben lssen sich uch online lösen. Diese Form knn dir eine willkommene Abwechslung zur schriftlichen Arbeit bieten. Hier einer der unzähligen Links ZUM.de Gib z.b. die Suchbegriffe Binome, Fktorisieren, Bruchgleichungen, ein. Viel Erfolg beim Durchrbeiten dieses Skripts! Flls dir Fehler (und solche ht es sicher drin ) uffllen,. bitte ich um ein kurzes Feedbck. Brig im März 00/Mi 0.. Seite von