Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 1 Universität Erlangen Nürnberg WS 2009/10 Klausur ( )

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1 Nur vom Korrektor auszufüllen Note Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 1 Universität Erlangen Nürnberg WS 2009/10 Klausur ( ) Name: Studiengang: In die Wertung der Klausur gehen nur acht der insgesamt zehn gestellten Aufgaben ein. Kennzeichnen Sie daher deutlich vor Abgabe der Klausur, welche zwei Aufgaben nicht in die Wertung eingehen sollen. Empfehlung: Sehen Sie sich zunächst alle Aufgaben an und entscheiden Sie dann, welche Aufgaben Sie bearbeiten möchten. Aufgabe 1: Rote Welle (8 Punkte) Im Stadtverkehr fahren Sie mit dem Auto von einer roten Ampel zur nächsten. Angenommen, Sie brauchen 30 Sekunden von einer Ampel zur nächsten und die Geschwindigkeit des Autos wird zwischen den Ampeln durch v(t) = 10(1 cos( π 15 s t)) m s beschrieben: (a) Wie groß ist die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit? (b) Wie groß ist die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit und wie weit sind die erste und die zweite Ampel voneinander entfernt? (c) Zu welchem Zeitpunkt ist Ihre Geschwindigkeit zwischen der ersten und der zweiten Ampel maximal und wie schnell sind Sie dann? (d) Die Standzeit an fünf aufeinander folgenden Ampeln beträgt 34 s, 38 s, 32 s, 35 s und 37 s. Wie groß ist die durchschnittliche Standzeit? Wie groß ist die Standardabweichung für einen einzelnen Stop? 1

2 Aufgabe 2: Weitsprung (8 Punkte) Bei den olympischen Spielen springt der US-Amerikaner mit einem Absprungwinkel von α 1 = 30 und einer Geschwindigkeit von v 01 = 36 km h. Der Kanadier springt unter einem Winkel von α 2 = 35 und kommt damit d 2 = 8.50m weit. Berechnen Sie: (a) Wer springt weiter? (b) Wer erreicht die höhere Absprunggeschwindigkeit? (c) Wer springt höher? (Hinweis: Vernachlässigen Sie den Höhenunterschied zwischen der Absprungstelle und der Oberfläche der Sandgrube und setzen Sie die Erdbeschleunigung mit g = 10 m/s 2 an.) 2

3 Aufgabe 3: Flug Rom - Madrid (8 Punkte) Ein Flugzeug erreicht eine Geschwindigkeit von v F = 900 km h. Es soll von Osten nach Westen (d.h. in einem Winkel von α = 0 zur Ost-West-Richtung) von Rom nach Madrid fliegen (Entfernung s = 1350km). Aus südwestlicher Richtung (Winkel α = 45 ) bläst dem Flugzeug konstant Wind mit v W = 100 km h entgegen. (Hinweis: Störende Faktoren wie z.b. die Erdkrümmung, die Erdrotation, die Luftreibung sowie die Höhendifferenz von den Flughäfen zur Flughöhe sollen vernachlässigt werden.) (a) In welchem Winkel α zur Ost-West-Richtung muss das Flugzeug tatsächlich fliegen, um in Madrid anzukommen? (b) Mit welcher Geschwindigkeit kommt es gegenüber Grund voran? (c) Wann landet das Flugzeug in Madrid? 3

4 Aufgabe 4: Weltraumbaseball (8 Punkte) Astronaut Bruce möchte während eines Weltraumaufenthaltes seine Baseballwürfe trainieren. Dazu landet er auf einem exakt kugelförmigen Asteroiden mit Radius r = 998m. Zunächst soll sich der Asteroid nicht drehen. Nun wirft Bruce den Ball waagerecht zur Asteroidoberfläche in einer Höhe von 2m und mit einer Geschwindigkeit v = 10 m s. (a) Wie schwer ist der Asteroid, wenn der Ball in konstanter Höhe h = 2m über der Asteroidenoberfläche um den Asteroiden herumfliegt? (Hinweis: Vernachlässigen Sie beim Abwurf des Balls die Impulserhaltung, d.h. weiterhin keine Drehung des Asteroiden; Gravitationskonstante G = 6, m3 kg s 2.) (b) Nun soll der Asteroid mit einer Winkelgeschwindigkeit ω = s rotieren. Bleibt der Ball in einem Orbit um den Asteroiden, wenn er wiederum waagerecht zur Asteroidoberfläche in Rotationsrichtung geworfen wird? Berechnen Sie hierfür den Betrag der Gesamtgeschwindigkeit des Balls nach dem Abwurf. 4

5 Aufgabe 5: Golfspiel (8 Punkte) Ein Golfspieler möchte seinen Ball auf einem flachen Grün ins Loch putten. Das Gras erzeugt eine Rollreibung mit Rollreibungskoeffizient µ roll = 0, 1. (Hinweis: Setzen Sie die Erdbeschleunigung mit g = 10 m/s 2 an.) (a) Wie schnell muss er den Ball abschlagen, wenn er in einem Abstand d = 8m vom Loch entfernt steht? (b) Nun soll das Grün mit einem Winkel von α = 3 ansteigen. Wie schnell muss er nun abschlagen, wenn der horizontale Abstand d = 8m zum Loch gleich bleibt? 5

6 Aufgabe 6: Auffahrunfall (8 Punkte) Ein Auto (Masse m A = 1t) fährt in x-richtung mit einer Geschwindigkeit v 0 = 20 m s und bremst im Abstand d = 20m vor einem stehenden Laster (Masse m L = 5t). Mit blockierten Reifen rutscht das Auto über den Asphalt (Gleitreibungskoeffizient µ Gleit = 0, 75). Leider ist die verbleibende Strecke zu kurz und das Auto prallt auf den Laster. (Hinweis: Setzen Sie die Erdbeschleunigung mit g = 10 m/s 2 an.) (a) Wie schnell ist das Auto beim Zusammenstoß? (Ersatzlösung: v a,x = 9 m s.) (b) Nach dem Zusammenstoß läuft Öl aus, so dass Auto und Laster ohne Reibung weiterrutschen. Durch den Stoß wird das Auto um 45 zur x-richtung abgelenkt; seine Geschwindigkeitskomponente nach dem Stoß in y-richtung ist v ay = 2 m s. Wie schnell bewegt sich der Laster nach dem Stoß in y-richtung? (c) Wie schnell bewegt sich der Laster nach dem Stoß in x-richtung? (d) Ist die Energie bei diesem Stoß erhalten? 6

7 Aufgabe 7: Trägheitsmoment einer Platte (8 Punkte) (a) Leiten Sie durch geeignete Integration das Trägheitsmoment einer dünnen homogenen rechteckigen Platte mit Masse M und Kantenlängen a und b her für den Fall, dass: (i) die Drehachse bei b 2 parallel zur Seite der Länge a liegt, bzw. (ii) die Drehachse mit einer Seite der Länge a zusammenfällt (siehe Skizze). (Hinweis: Hilfreich kann die Verwendung der Längendichte ρ = M/b (in kg/m) sein, so dass dm = ρdr.) (b) Welche Winkelbeschleunigung α muss auf die Platte wirken, um sie aus der Ruhe in 10s gleichmäßig auf eine Winkelgeschwindigkeit ω = 12 1 s zu beschleunigen? (c) Berechnen Sie für den Fall (ii) den Drehimpuls und die Rotationsenergie der Platte mit Masse M = 6kg und Kantenlänge b = 1m bei der Winkelgeschwindigkeit ω = 12 1 s. (Ersatzergebnis, wenn (a) nicht bearbeitet wurde: I = 8kg m 2 ). 7

8 Aufgabe 8: Federpendel (8 Punkte) An eine Feder mit Federkonstanten D 1 = 250 N/m wird eine Masse m = 1 kg gehängt (siehe Skizze). (Hinweis: Setzen Sie die Erdbeschleunigung mit g = 10 m/s 2 an.) x (a) Welche Kraft übt die Masse auf die Feder aus? (b) Um wieviel Zentimeter wird die Feder unter dem Einfluss der Masse ausgedehnt (ohne Schwingung der Masse, d.h. wenn die Masse ruht)? 0 m D 1 (c) Mit welcher Frequenz schwingt die Masse, wenn sie um x 0 aus der in (b) definierten Ruhelage ausgelenkt wird? (d) Sie befestigen nun eine zweite Feder mit der Federkonstanten D 2 = 150 N/m an der Masse und befestigen das andere Ende am Boden. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Pendelbewegung der Masse auf. Um wieviel ändert sich die Schwingungsfrequenz verglichen zu Aufgabe (c)? (e) Sie wollen nun die Feder aus (c) als eine Art Steinschleuder verwenden. Dazu legen Sie die Masse (m = 1 kg) in ein am unteren Ende der Feder befestigtes (masseloses) Körbchen. Wie hoch fliegt die Masse, wenn Sie die Feder um x 1 = 0, 5 m aus der Ruhelage spannen? (Hinweis: Die Masse wird vom Körbchen beim Durchgang durch die Ruhelage losgelassen.) 8

9 Aufgabe 9: Seilwelle (8 Punkte) Eine entlang eines Seiles laufende Welle werde durch x(z, t) = x 0 sin(kz ωt) mit x 0 = 0, 0033 m, k = 72, 1 m 1 und ω = 2, 72 rad/s beschrieben. (a) Berechnen Sie die Wellenlänge, die Periodendauer und die f=120 Hz P Q Ausbreitungsgeschwindigkeit. (b) Welche Auslenkung hat die Welle bei z = 22, 5 cm und t = 18, 9 s? Wie groß ist die Beschleunigung ẍ(t) des Seils an diesem Ort zu diesem Zeitpunkt? m (c) Das Seil wird nun an Punkt Q mit einer Rolle umgelenkt und daran eine Masse m befestigt (siehe Skizze). Auf der anderen Seite wird das Seil bei Punkt P mit einem Vibrator bei der Frequenz f = 120 Hz sinusförmig zum Schwingen angeregt. Für welches Gewicht der Masse m kann der Vibrator die Grundschwingung auf dem Seil anregen? (Abstand PQ = 1, 2 m; ρ Seil = 1, 6 g/m; Erdbeschleunigung g = 10 m/s 2 ) Hinweis: Die Beziehung zwischen Kreisfrequenz und Wellenzahl für ein Seil mit Dichte ρ (Gewicht pro Länge), das mit der Kraft F eingespannt ist, lautet: F ω(k) = k ρ 9

10 Aufgabe 10: Einzelspalt mit variabler Spaltbreite (8 Punkte) Mit einem HeNe-Laser (Wellenlänge λ = 632, 8 nm) wird ein Spalt der Breite d beleuchtet. Dahinter wird im Abstand l = 0, 8 m das Interferenzbild auf eine Mattscheibe projiziert. (a) Unter welchem Winkel erscheinen Beugungsminima? (b) Wie hängt auf der Mattscheibe der Abstand der Beugungsminima zum zentralen Beugungsmaximum vom Beugungswinkel ab? Berechnen sie den Abstand zweier benachbarter Minima auf der Mattscheibe. Benutzen sie hierfür die Kleinwinkelnäherung: tan(α) sin(α) α (ausreichende Genauigkeit bis ca. α = 0, 1 rad). (c) Der Spalt wird nun von anfangs 0,1 mm auf 0,01 mm verkleinert. In welche Richtung wandern die Beugungsordnungen. Darf auch für den verkleinerten Spalt zur Berechnung des Minimums erster Ordnung die Kleinwinkelnäherung verwendet werden? 10