Experimentalphysik 4 - SS11 Physik der Atome und Kerne

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1 Experimentalphysik 4 - SS Physik der Atome und Kerne Prof. Dr. Tilman Pfau 5. Physikalisches Institut Übungsblatt 06 Besprechung: 8. Juni Aufgabe : Koeffizient a C des Coulomb-Terms 4 Punkte In dieser Aufgabe soll der Koeffizient a C der Weizäcker-Massenformel hergeleitet werden. Hierzu soll vom Coulomb-Potential U(r) einer homogen geladenen Kugel mit Radius r ausgegangen werden. Q 4πɛ 0 r = 4 Dieses ist für Abstände r r durch U(r) = gegeben. Soll die Gesamtladung um dq = ρdv = ρ4πr 2 dr erhöht werden, so muss Energie aufgebracht werden. Bestimmen Sie die Gesamtenergie W, die benötigt wird, um einen Kern mit Radius R und Ladung Z zu erzeugen. Ermitteln Sie schließlich den Koeffizienten a C. Hinweis: Für den Kern gilt Ze = 4π R ρ. πr ρ r 4πɛ 0

2 Aufgabe 2: α-zerfall des Polonium-Kerns Po 7 (2,,2) Punkte In einem semiklassischen Bild wird die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit W, dass ein Po-Kern unter Aussendung eines α-teilchens in einen sog. Tochterkern zerfällt, beschrieben durch W = W 0 W T = τ = ln 2 t /2. (2.) Hier ist W 0 die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein α-teilchen mit Energie E α im Kern bildet, W die Rate, mit der dieses gegen die Innenwand des Coulomb-Potentialwalls stößt, T die Transmissionswahrscheinlichkeit durch den Potentialwall und t /2 die Halbwertszeit des Isotops. Das Potential, welches das α-teilchen nach seiner Erzeugung sieht kann vereinfacht durch { E 0 = 5 MeV für r < r E pot (r) = E C = ZαZ (2.2) 2e 2 4πɛr für r r beschrieben werden. Der Radius r ist die Summe der Radien des Alphateilchens und des Tochterkerns und Z 2 die Ladung des Tochterkerns. Abbildung 2.: Potential beim α-zerfall a) Stellen Sie eine Gleichung zur Bestimmung der gesamten kinetischen Energie der Zerfallsprodukte beim α-zerfall des Po auf und berechnen Sie diese. Wie groß ist die kinetische Energie E α,kin des α-teilchens nach dem Zerfall unter Beachtung von Energie- und Impulserhaltung? b) Für kleine Tunnelwahrscheinlichkeiten nimmt T folgende Form an: T = e G mit G = 2 2m r2 α Zα Z 2 e 2 E α dr (2.) 4πɛr r 2 ist der Radius, bei dem das getunnelte Teilchen aus der Coulombbarriere austritt, es gilt also E pot (r 2 ) = E α. Zeigen Sie, dass der hier eingeführte Gamov-Faktor G auf folgende Form gebracht werden kann: G = 2 Hinweis: Verwenden Sie durch. 2mα E α [ r r2 r + r 2 arctan E α E pot(r ) = r r 2 r r2 r ]. (2.4) und führen Sie vor der Integration die Substitution ρ = r 2

3 c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit W 0 beim α-zerfall des Po. Bestimmen Sie dazu W, indem Sie annehmen, dass das Alphateilchen im Potentialtopf der Breite 2r mit der Geschwindigkeit v hin- und herläuft. Die Halbwertszeit von Po finden Sie z.b. in der Online Nuklid-Tabelle (Spin 0+ Komponente). Begründen Sie mit den Ergebnissen aus Aufgabe a) und b) warum ein He-Kern und keine leichteren oder schwereren Kerne abgespalten werden.

4 Aufgabe : Kernspaltung - Grundlagen 4 (2,2) Punkte Wird ein Mutterkern A Z X durch Beschuss von einem Neutron in die Bruchstücke A Z Y, A 2 Z 2 Y 2 und ν Neutronen gespalten, so geschieht die Reaktion über A ZX + n A+ Z X A Z Y + A 2 Z 2 Y 2 + ν n + γ, (.) ein Stern indiziert jeweils einen angeregten Kern und γ die direkt freiwerdende Gammastrahlung. Der Kern A+ Z X wird Compoundkern genannt und seine Anregungsenergie ist gleich der Differenz der Bindungsenergien des Compoundkerns und des Mutterkerns plus der kinetischen Energie des auftreffenden Neutrons. a) Betrachten Sie die beiden Fälle der Spaltung von U und U. Berechnen Sie jeweils die Anregungsenergie (in MeV) des Compoundkerns (E kin (Neutron) = 0) mit Hilfe der Bethe- Weizsäcker-Formel (BWF). Welcher Term der BWF sorgt für einen signifikanten Unterschied der beiden Energiebeträge? Vergleichen Sie die Anregungsenergien zur Höhe der sog. Spaltbarriere, die für eine Spaltung des Compoundkerns überwunden werden muss. Diese ist für die Kerne E Barriere ( U) = 5. MeV und E Barriere ( U) = 5.9 MeV. Welche kinetische Energie müssen die Neutronen besitzen, damit die Spaltbarriere überwunden werden kann? b) Berechnen Sie die freiwerdende Energie pro Spaltung eines U Kerns gemäß dem Zerfallsschema aus Gleichung (.), wenn eines der Spaltprodukte der 4 56 Ba-Kern ist und ν = Neutronen emittiert werden. Etwa % dieser Energie wird als kinetische Energie E kin,n der drei Neutronen frei, berechnen Sie das Verhältnis der kinetischen Energie eines dieser Neutronen zu einem thermischen Neutron. 4

5 Aufgabe 4: Kernfusion 5 (2,,2) Punkte Die Kernfusion wird als mögliche zukünftige Energiequelle angesehen. In dieser Aufgabe soll ein Vergleich zur Kernspaltung gemacht und die physikalischen Voraussetzungen der Kernfusion erörtert werden: a) Berechnen Sie die freiwerdenden Energien für folgende Fusionen: H + H 2 H + e + + νe + E (4.) 2 H + 2 H 2He + n + E 2 (4.2) H + 2 H 4 2He + n + E (4.) H + H 4 2He + 2n + E 4 (4.4) Wie groß ist die freiwerdende Energie der Tritium-Deuterium-Fusion für g Brennmaterial bei optimalem Mischungsverhältnis. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Spaltung von g U. b) Damit zwei Kerne fusionieren können, muss zunächst die Coulomb-Barriere überwunden werden. Schätzen Sie die benötigte Energie ab, die 2 Wasserstoffkerne benötigen, um sich auf m anzunähern. Welcher Temperatur entspricht dies? c) Es gibt zwei Ansätze solche Temperaturen kontrolliert zu erreichen. Zum einem über die sogenannte Trägheitsfusion, zum anderen über eine Mikrowellenheizung und magnetischen Einschluss. Erläutern Sie die Grundidee beider Verfahren, welche Funktion haben die Neutronen beim magnetischen Einschluss (natürliches Vorkommen von H)? 5