Flüsse, Fixpunkte, Stabilität

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1 1 Flüsse, Fixpunkte, Stabilität Proseminar: Theoretische Physik Yannic Borchard 7. Mai 2014

2 2 Motivation Die hier entwickelten Formalismen erlauben es, Aussagen über das Verhalten von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen zu treffen, ohne die Lösung explizit zu kennen. Dies ist insbesondere deshalb wertvoll, weil es teilweise keine analytischen Möglichkeiten zur exakten Bestimmung von Lösungen gibt. Um dynamische Systeme zu untersuchen, sind die hier eingeführten Grundbegriffe unerlässlich.

3 3 1 Fluss 2 Fixpunkte und Stabilität 3 Ljapunov-Funktion

4 4 Motivation Der Fluss dient zur Analyse von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Er beschreibt die zeitliche Entwicklung von Zuständen in Systemen.

5 5 Fluss Definition Sei Γ = [a, b] R eine Parametermenge, U R n offen. Eine Abbildung φ: U Γ R n heißt Fluss, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: (i) φ(x, t = 0) = Id(x) x U, (ii) φ(x, s + t) = φ(x, s) φ(x, t) = φ(φ(x, t), s) x U, s, t Γ, (iii) φ ist differenzierbar.

6 6 Fluss Definition Sei Γ = [a, b] R eine Parametermenge, U R n offen. Eine Abbildung φ: U Γ R n heißt Fluss, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: (i) φ(x, t = 0) = Id(x) x U, (ii) φ(x, s + t) = φ(x, s) φ(x, t) = φ(φ(x, t), s) x U, s, t Γ, (iii) φ ist differenzierbar. Bemerkung (i), (ii) Γ ist mit φ eine Halbgruppe. Häufig ist Γ = R + oder Γ = R.

7 7 Trajektorie Definition Die Menge {φ(x, t) t Γ} R n heißt Orbit oder Trajektorie von x.

8 8 Trajektorie Definition Die Menge {φ(x, t) t Γ} R n heißt Orbit oder Trajektorie von x. Notation: x als xεr n ist ein Punkt. x( ) = x(x 0, ) = φ(x 0, ) ist eine Bahnkurve.

9 9 Fluss auf Vektorfeld Gegeben sei eine Differentialgleichung ẋ = f (x) mit f : U R n. f kann als Vektorfeld aufgefasst werden. Das Vektorfeld f erzeugt einen Fluss durch (φ(x, t)) = f (φ(x, t)). d dt Der Fluss ordnet also jeder Anfangsbedingung x(0) ihren zeitlichen Verlauf zu. Hierbei ist f autonom, d. h. f f (x, t), andernfalls wäre (ii) nicht erfüllt. Zu jedem zeitunabhängigen Potential V (x) kann mittels f (x) := gradv (x) ein entsprechendes Vektorfeld konstruiert werden.

10 10 Existenz und Eindeutigkeit Theorem Sei U R n offen, ẋ = f (x) mit f : U R n lokal Lipschitz-stetig, und x(0) = x 0 U. Dann existiert eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems φ(x 0, ) : ( ε, ε) U mit ε > 0 in einer Umgebung um x 0. Insbesondere gilt diese Lösung i.a. nur lokal.

11 11 Beispiel Sei ẋ = f (x) mit f : R U R, f (x) = 1 + x 2 und x(0) = 0 ein gegebenes Anfangswertproblem in einer Dimension.

12 12 Beispiel Sei ẋ = f (x) mit f : R U R, f (x) = 1 + x 2 und x(0) = 0 ein gegebenes Anfangswertproblem in einer Dimension. Offenbar ist f stetig differenzierbar. Folglich existiert lokal eine eindeutige Lösung.

13 13 Beispiel Sei ẋ = f (x) mit f : R U R, f (x) = 1 + x 2 und x(0) = 0 ein gegebenes Anfangswertproblem in einer Dimension. Offenbar ist f stetig differenzierbar. Folglich existiert lokal eine eindeutige Lösung. Separation der Variablen liefert: x(t) = tan(t).

14 14 Beispiel Sei ẋ = f (x) mit f : R U R, f (x) = 1 + x 2 und x(0) = 0 ein gegebenes Anfangswertproblem in einer Dimension. Offenbar ist f stetig differenzierbar. Folglich existiert lokal eine eindeutige Lösung. Separation der Variablen liefert: x(t) = tan(t). Offensichtlich divergiert die Lösung nach endlicher Zeit. Dies wird mit Blow-up genannt. Die Lösung ist für t = π 2 und t = π 2 nicht definiert. Sie gilt also nur für t ( π 2, π 2 ).

15 15 1 Fluss 2 Fixpunkte und Stabilität 3 Ljapunov-Funktion

16 16 Motivation Wir betrachten nun das Verhalten des Flusses an auffälligen Punkten des Vektorfelds: Dort, wo es verschwindet. An solchen Punkten gibt es nur eine begrenzte Anzahl an Möglichkeiten für das Verhalten des Flusses. Es können also Aussagen über Lösungskurven gemacht werden, ohne diese explizit zu kennen.

17 17 Fixpunkte Im Folgenden betrachten wir das Verhalten des Flusses an kritischen Punkten.

18 18 Fixpunkte Im Folgenden betrachten wir das Verhalten des Flusses an kritischen Punkten. Definition Ein Fixpunkt (oder auch kritischer Punkt) ist ein Punkt x R n, für den gilt f (x) = ẋ = 0.

19 19 Fixpunkte Im Folgenden betrachten wir das Verhalten des Flusses an kritischen Punkten. Definition Ein Fixpunkt (oder auch kritischer Punkt) ist ein Punkt x R n, für den gilt f (x) = ẋ = 0. Anhand von Fixpunkten können Aussagen über die Stabilität von Lösungskurven gemacht werden.

20 20 Stabilität von Fixpunkten Definition Ein Fixpunkt x heißt stabil, falls ε > 0 δ > 0, sodass x(t 0 ) = x 0 B δ ( x) φ(x 0, t) B ε ( x) t t 0,

21 21 Stabilität von Fixpunkten Definition Ein Fixpunkt x heißt stabil, falls ε > 0 δ > 0, sodass x(t 0 ) = x 0 B δ ( x) φ(x 0, t) B ε ( x) t t 0, instabil, falls er nicht stabil ist,

22 22 Stabilität von Fixpunkten Definition Ein Fixpunkt x heißt stabil, falls ε > 0 δ > 0, sodass x(t 0 ) = x 0 B δ ( x) φ(x 0, t) B ε ( x) t t 0, instabil, falls er nicht stabil ist, attraktiv, falls δ > 0, sodass x(t 0 ) = x 0 B δ ( x) lim t φ(x 0, t) = x,

23 23 Stabilität von Fixpunkten Definition Ein Fixpunkt x heißt stabil, falls ε > 0 δ > 0, sodass x(t 0 ) = x 0 B δ ( x) φ(x 0, t) B ε ( x) t t 0, instabil, falls er nicht stabil ist, attraktiv, falls δ > 0, sodass x(t 0 ) = x 0 B δ ( x) lim t φ(x 0, t) = x, asymptotisch stabil, falls er stabil und attraktiv ist.

24 24 Sonderfall: Eine Dimension In einer Dimension ist ein Fixpunkt entweder asymptotisch stabil oder instabil. Dies beruht auf der Lipschitz-Stetigkeit von f.

25 25 Beispiel: Harmonischer Oszillator Sei ẍ + ω 2 x = 0 (DGL für harmonischen Oszillator).

26 26 Beispiel: Harmonischer Oszillator Sei ẍ + ω 2 x = 0 (DGL für harmonischen Oszillator). Dies schreiben wir um in ein System von Differentialgleichungen 1.Ordnung: ẋ = y ẏ = ω 2 x

27 27 Beispiel: Harmonischer Oszillator Sei ẍ + ω 2 x = 0 (DGL für harmonischen Oszillator). Dies schreiben wir um in ein System von Differentialgleichungen 1.Ordnung: ẋ = y ẏ = ω 2 x Es gilt ( ẋ ẏ ) = f ( ( x y ) ) mit f ( ( x y ) ) = ( y ω 2 x ).

28 28 Beispiel: Harmonischer Oszillator Sei ẍ + ω 2 x = 0 (DGL für harmonischen Oszillator). Dies schreiben wir um in ein System von Differentialgleichungen 1.Ordnung: ẋ = y ẏ = ω 2 x ( ) ( ( ) ) ( ( ẋ x x Es gilt = f mit f ẏ y y Der Nullpunkt ist Fixpunkt des Systems. ) ) = ( y ω 2 x ).

29 Beispiel: Harmonischer Oszillator Sei ẍ + ω 2 x = 0 (DGL für harmonischen Oszillator). Dies schreiben wir um in ein System von Differentialgleichungen 1.Ordnung: ẋ = y ẏ = ω 2 x ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ẋ x x y Es gilt = f mit f = ẏ y y ω 2. x Der Nullpunkt ( ist Fixpunkt ) ( des Systems. ) x(t) A sin(ωt + φ0 ) Lösung ist = für y(t) Aω cos(ωt + φ 0 ) entsprechende Anfangsbedingungen. Dies ist offenbar eine zyklische Lösung, da sich auf einer Ellipse um den Ursprung bewegt. Also ist der Ursprung stabil, aber nicht attraktiv. 29

30 30 Beispiel: Banachscher Fixpunktsatz Theorem Sei X ein vollständiger metrischer Raum, k : X X eine kontrahierende Abbildung. Dann! x mit k( x) = x.

31 31 Beispiel: Banachscher Fixpunktsatz Theorem Sei X ein vollständiger metrischer Raum, k : X X eine kontrahierende Abbildung. Dann! x mit k( x) = x. k ist ein diskreter Fluss k (n) (x) = φ(x, n) mit Parametermenge Γ = N. Der Fixpunkt x ist offenbar asymptotisch stabil.

32 32 1 Fluss 2 Fixpunkte und Stabilität 3 Ljapunov-Funktion

33 33 Motivation Bisher haben das Verhalten von Bahnkurven an Fixpunkten bestimmt, indem die Bahnkurve explizit bestimmt wurde. Im Folgenden wird eine Methode vorgestellt, mithilfe derer Fixpunkte allein durch Kenntnis des Vektorfeldes bzgl. ihrer Stabilität charakterisiert werden können.

34 34 Ljapunov-Funktion Definition Sei x ein Fixpunkt von f : R n U R n. Eine differenzierbare Funktion V : U W R heißt Ljapunov-Funktion, falls gilt: (i) V ( x) = 0 und V (x) > 0 x x, (ii) V (x) := gradv (x), f (x) = n i=1 V x i f i (x) 0 x W x.

35 35 Ljapunov-Funktion Theorem Existiert eine Ljapunov-Funktion von f (x), so ist x stabil. Gilt in (ii) sogar die strikte Ungleichung, so ist x asymptotisch stabil.

36 36 Ljapunov-Funktion Theorem Existiert eine Ljapunov-Funktion von f (x), so ist x stabil. Gilt in (ii) sogar die strikte Ungleichung, so ist x asymptotisch stabil. Bemerkung es gibt keine allgemeine Methode, um eine Ljapunov-Funktion zu finden. Oft ist die Energie Ljapunov-Funktion.

37 37 Der harmonische Oszillator reloaded Für den harmonischen Oszillator gilt: ẋ = y, ẏ = ω 2 x.

38 38 Der harmonische Oszillator reloaded Für den harmonischen Oszillator gilt: ẋ = y, ẏ = ω 2 x. Setze V (x, y) = 1 2 y ω2 x 2.

39 39 Der harmonische Oszillator reloaded Für den harmonischen Oszillator gilt: ẋ = y, ẏ = ω 2 x. Setze V (x, y) = 1 2 y ω2 x 2. V (0, 0) = 0,

40 40 Der harmonische Oszillator reloaded Für den harmonischen Oszillator gilt: ẋ = y, ẏ = ω 2 x. Setze V (x, y) = 1 2 y ω2 x 2. V (0, 0) = 0, V (x, y) > 0 (x, y) (0, 0),

41 41 Der harmonische Oszillator reloaded Für den harmonischen Oszillator gilt: ẋ = y, ẏ = ω 2 x. Setze V (x, y) = 1 2 y ω2 x 2. V (0, 0) = 0, V (x, y) > 0 (x, y) (0, 0), ( ω gradv (x), f (x) = 2 x y ω 2 xy ω 2 xy = 0. ), ( y ω 2 x ) =

42 42 Der harmonische Oszillator reloaded Für den harmonischen Oszillator gilt: ẋ = y, ẏ = ω 2 x. Setze V (x, y) = 1 2 y ω2 x 2. V (0, 0) = 0, V (x, y) > 0 (x, y) (0, 0), ( ω gradv (x), f (x) = 2 x y ω 2 xy ω 2 xy = 0. ), ( y ω 2 x ) = V (x, y) ist eine Ljapunov-Funktion, aber nicht streng.

43 43 Der harmonische Oszillator reloaded Für den harmonischen Oszillator gilt: ẋ = y, ẏ = ω 2 x. Setze V (x, y) = 1 2 y ω2 x 2. V (0, 0) = 0, V (x, y) > 0 (x, y) (0, 0), ( ω gradv (x), f (x) = 2 x y ω 2 xy ω 2 xy = 0. ), ( y ω 2 x ) = V (x, y) ist eine Ljapunov-Funktion, aber nicht streng. (0, 0) ist stabil, aber nicht attraktiv.

44 44 Zusammenfassung Der Fluss φ(x, t) = x(t) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Systems ẋ = f (x). d Dabei gilt: dt φ(x, t) = f (φ(x, t)).

45 45 Zusammenfassung Der Fluss φ(x, t) = x(t) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Systems ẋ = f (x). d Dabei gilt: dt φ(x, t) = f (φ(x, t)). Ist f lokal lipschitz-stetig, so existiert ein eindeutiger lokal Fluss φ.

46 46 Zusammenfassung Der Fluss φ(x, t) = x(t) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Systems ẋ = f (x). d Dabei gilt: dt φ(x, t) = f (φ(x, t)). Ist f lokal lipschitz-stetig, so existiert ein eindeutiger lokal Fluss φ. Fixpunkte x (: f ( x) = 0) können stabil [attraktiv] sein, dann bleiben Trajektorien von Punkten nahe bei x für alle Zeiten in der Nähe [konvergieren gegen x].

47 47 Zusammenfassung Der Fluss φ(x, t) = x(t) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Systems ẋ = f (x). d Dabei gilt: dt φ(x, t) = f (φ(x, t)). Ist f lokal lipschitz-stetig, so existiert ein eindeutiger lokal Fluss φ. Fixpunkte x (: f ( x) = 0) können stabil [attraktiv] sein, dann bleiben Trajektorien von Punkten nahe bei x für alle Zeiten in der Nähe [konvergieren gegen x]. Existiert eine [strenge] Ljapunov-Funktion zu x, so ist der Fixpunkt [asymptotisch] stabil.

48 48 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. Literatur Guckenheimer & Holmes, - Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Kap. 1 Prüss & Wilke - Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Kap. 4,5 Strogatz - Nonlinear Dynamics and Chaos, Kap. 2