5.5 Elektrisches Zentralfeld, Coulombsches Gesetz

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1 5 Elektrizität und Magnetismus 5.5 Elektrisches Zentralfeld, Coulombsches Gesetz Elektrisches Zentralfeld Kugel mit Radius r um eine Punktladung = ǫ 0 Ed A = ǫ 0 E E d A Kugel da = ǫ 0 E(4πr 2 ) (5.26) E = 4πǫ 0 r 2 e r (5.27) mit e r = r : Einheitsvektor in radialer Richtung (5.28) r ϕ = r Ed r = 4πǫ 0 r (5.29) Diese Gleichungen gelten auch für eine elektrisch geladene Kugel (Radius R) sofern r R ist. (a) E (b) φ φ=konst. E=0 ~ 4πε 0 r² ~ 4πε0r R r R r Abbildung 5.5: (a) Elektrisches Feld und (b) Potential im Abstand r. Feldstärke an der Oberfläche E = 4πǫ 0 R = 2 ǫ 0 A = σ (5.30) ǫ 0 σ : Flächenladungsdichte 12

2 5.5 Elektrisches Zentralfeld, Coulombsches Gesetz Coulombsches Gesetz, Kraftwirkung zwischen zwei Ladungen F = qe = q 4πǫ 0 r 2 e r (5.31) gleiches Vorzeichen Abstoßung q, : ungleiche Vorzeichen Anziehung Gravitationsfeld elektrisches Feld Kraft Massenanziehungskraft Ladungsanziehungskraft (Gravitationskraft) (Columbkraft) F Gr = γ m 1m 2 r r 2 0 Fel = r 4πǫ 0 r 2 0 F Gr = m g; g = F m F el = E; E = Fel Energie W Gr = mϕ Gr W el = ϕ el Potentialänderung Potentiallinien Teilchenbeschleunigung senkrecht zu den Äquipotentiallinien in Richtung der größten Potentialänderung Veranschaulichung dϕ Gr = g d y Linien gleicher potentieller Energie (Höhenlinien) g = gradϕ Gr senkrecht zu den Höhenlinien in Richtung des steilsten Abfalls Höhenlinien dϕ el = E d y Linien gleichen elektrischen Potentials (Äquipotentiallinien) E = gradϕel Feldlinien Falllinien Äquipotentiallinien Tabelle 5.1: Ähnlichkeiten zwischen Gravitationsfeld und elektrischem Feld. 13

3 5 Elektrizität und Magnetismus 5.6 Kapazität, Kondensatoren (Ladungsspeicher) Leitende Kugel mit Ladung und Radius R: Potential: Spannung: ϕ = ; ϕ( ) = 0 (Bezugspunkt) (5.32) 4πǫ 0 R U = ϕ(r) ϕ( ) = ϕ(r) = 4πǫ 0 R = C (5.33) Kapazität: C = U = 4πǫ 0R (Kapazität einer Kugel) (5.34) allgemein: C = U mit [C] = Coulomb Volt = C V = 1 F (Farad) (5.35) Die Kapazität bezeichnet das Fassungsvermögen eines elektrischen Leiters für elektrische Ladungen bei einer bestimmten Spannung. Plattenkondensator E + U Abbildung 5.6: Wie bei der Influenz, nur dass die beiden Platten jetzt mit einer Spannungsquelle aufgeladen werden. Als Ladung eines Kondensators ist diejenige definiert, die eine Platte trägt. E = U d mit d: Plattenabstand; A: Plattenfläche (5.36) 14

4 + 5.7 Parallel und Reihenschaltung von Kondensatoren = ǫ 0 Platte Ed A = }{{} E d A ǫ 0 E da (5.37) = ǫ 0 EA = ǫ 0A U = CU (5.38) d C = ǫ 0A Kapazität eines Plattenkondensators (5.39) d 5.7 Parallel und Reihenschaltung von Kondensatoren a) parallel C 1 C 2 Gleiche Spannungen an C 1 und C 2. U Abbildung 5.7: Parallelschaltung zweier Kondensatoren. U = U 1 = U 2 (5.40) 1 = C 1 U, 2 = C 2 U (5.41) ges = (5.42) ges = U(C 1 + C 2 ) (5.43) ges = UC ges (5.44) C ges = C 1 + C 2 (5.45) allgemein C ges = i C i (5.46) b) seriell Spannung liegt nur an den jeweils äußeren Platten an; die inneren Kondensatorplatten laden sich durch Influenz auf. 1 = 2 = (5.47) (5.48) 15

5 + 5 Elektrizität und Magnetismus C 1 C 2 U Abbildung 5.8: Reihenschaltung zweier Kondensatoren. Spannungen addieren sich: U ges = U 1 + U 2 (5.49) U 1 = C 1, U 2 = C 2 (5.50) U ges = + (5.51) C 1 C ( 2 1 U ges = + 1 ) (5.52) C 1 C 2 U ges = 1 C ges (5.53) 1 = C ges C 1 C 2 (5.54) allgemein 1 C ges = i 1 C i (5.55) Energieinhalt eines geladenen Kondensators: Arbeit: W = F d s }{{} = Ed s = U (5.56) F=E }{{} U Erhöhung der Ladung um d erfordert Arbeit dw dw = Ud, U = C (5.57) Gesamtarbeit: W = dw = U( )d = 1 C d (5.58) 0 W = C = 1 2 CU2 (5.59) Gilt allgemein für Kondensatoren. 0 16

6 Elektrische Isolatoren Energiedichte des elektrischen Feldes: mit: ω el = W el V = 1 2 ǫ 0E 2 (5.60) A C = ǫ 0 d (5.61) U = Ed (5.62) W = 1 2 ǫ 0E 2 Ad (5.63) 5.8 Elektrische Isolatoren Da Materie aus geladenen Teilchen besteht besteht, bewirkt ein elektrisches Feld E 0 eine entgegengesetzte Kraftwirkung auf positiv und negativ geladene Teilchen und bewirkt damit eine elektrische Polarisation. Mechanismen: a) Verschiebungspolarisation: P E 0 Abbildung 5.9: Verschiebungspolarisation. äußeres Feld E 0 Gegenfeld durch Polarisation P Restfeld E im Dielektrikum geringer E = E 0 1 ǫ 0 P (5.64) 17

7 5 Elektrizität und Magnetismus im Dielektrikum wird ein Dipolmoment p erzeugt. p = αe 0 (5.65) α: Polarisierbarkeit (5.66) Polarisation: P = nαe 0 ; (5.67) n: Dipoldichte Aufgrund der Polarisation des Dielektrikums wird die Kapazität des Kondensators erhöht. C = ǫc 0 (5.68) mit der Dielektrizitätskonstante ǫ (Materialeigenschaft, ǫ 1) ǫ Luft Wasser 81 Keramik Feld im Dielektrikum: E = E 0 1 ǫ 0 P, mit E0 = ǫ E (5.69) E = ǫ E 1 ǫ 0 P (5.70) P = ǫ 0 (ǫ 1) E (5.71) Die dielektrische Verschiebungsdichte D wird um die Dielektrizitätskonstante erweitert: D = ǫ 0 ǫ E = ǫ 0 E + P (5.72) Sie gibt die durch das äußere Feld verschobene Ladungsdichte an. b) Orientierungspolarisation: Besitzt ein Stoff schon im feldfreien Raum ein Dipolmoment, so werden diese statistisch ungeordneten Dipole im E 0 Feld ausgerichtet. temperaturabhängig; je kleiner T desto besser die Orientierung Ausrichtung braucht Zeit; in hochfrequenten Feldern gibt es dielektrische Verluste. 18