Formale Sprachen. Spezialgebiet für Komplexe Systeme. Yimin Ge. 5ahdvn. 1 Grundlagen 1. 2 Formale Grammatiken 4. 3 Endliche Automaten 5.

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1 Formale Sprachen Spezialgebiet für Komplexe Systeme Yimin Ge 5ahdvn Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 2 Formale Grammatien 4 Endliche Automaten 5 4 Reguläre Sprachen 9 5 Anwendungen bei Abzählproblemen 10 1 Grundlagen Definition 1. Ein Alphabet ist eine endliche, nichtleere Menge. Elemente eines Alphabets heißen Symbole. Definition 2. Sei Σ ein Alphabet. Ein Wort w über Σ ist eine endliche Folge von Symbolen aus Σ. Anstatt der üblichen Notation w = (x 1,...,x n ) verwenden wir für Wörter die vereinfachte Schreibweise w = x 1...x n. Definition. Sei Σ ein Alphabet und w = x 1...x n ein Wort über Σ. Dann bezeichnen wir mit w := n die Länge von w. Definition 4. Sei Σ ein Alphabet. Jenes Wort über Σ der Länge 0 bezeichnen wir mit ε. Definition 5. Sei Σ ein Alphabet. Dann bezeichnen wir mit Σ := n 0 Σ n die Menge aller Wörter über Σ. Weiters sei Σ + := n 1 Σ n = Σ {ε} 1

2 die Menge aller nichtleerer Wörter über Σ. Definition 6. Sei Σ ein Alphabet. Dann bezeichnen wir die binäre Operation über Σ, definiert als : Σ Σ Σ, (x 1... x n, y 1...y m ) x 1...x n y 1...y m als Verettung. Anstatt w 1 w 2 (w 1, w 2 Σ ) schreiben wir vereinfacht auch w 1 w 2. Definition 7. Sei Σ ein Alphabet, w ein Wort über Σ und n eine nichtnegative ganze Zahl. Dann sei w n definiert als { w n ε, n = 0 = w n 1 w, n 1. Bemerung 1. Ist Σ ein Alphabet, so ist Σ bezüglich der Verettung ein Monoid mit neutralem Element ε. Bemerung 2. Ist Σ ein Alphabet, so ist die Abbildung ein Monoidmorphismus. h : Σ Z + 0, w w Definition 8. Sei Σ ein Alphabet. Eine Sprache (oder auch formale Sprache) L über Σ ist eine Teilmenge von Σ. Bemerung. Die Menge aller Sprachen über einem Alphabet Σ ist somit P(Σ ). Definition 9. Sei Σ ein Alphabet und seien L 1, L 2 Sprachen über Σ. Dann sei die binäre Operation über P(Σ ) definiert als : P(Σ ) P(Σ ) P(Σ ), (L 1, L 2 ) {w 1 w 2 w 1 L 1, w 2 L 2 }. Anstatt L 1 L 2 (L 1, L 2 Σ ) schreiben wir vereinfacht auch L 1 L 2. Definition 10. Sei Σ ein Alphabet, L eine Sprache über Σ und n eine nichtnegative ganze Zahl. Dann sei L n definiert als { L n {ε}, n = 0 := L n 1 L, n 1. Definition 11. Sei L eine Sprache über einem Alphabet Σ. Dann sei L := n 0 L n und L + := n 1 L n. Bemerung 4. Ist Σ ein Alphabet, so ist P(Σ ) bezüglich ein Monoid mit neutralem Element {ε}. 2

3 Bemerung 5. Ist Σ ein Alphabet, so ist (P(Σ ),,,, {ε}) ein Halbring 1. Definition 12. Sei S eine Menge. Eine binäre Relation R über S ist eine Teilmenge von S S. Falls (a, b) R, so schreiben wir auch arb. Bemerung 6. Ist S eine Menge, so ist P(S S) die Menge aller binären Relationen über S. Definition 1. Sei S eine Menge und R 1, R 2 binäre Relationen über S. Dann sei R 1 R 2 := {(a, c) S S b S : ar 1 b, br 2 c}. Definition 14. Sei S eine Menge, R eine Relation über S und n eine nichtnegative ganze Zahl. Dann sei R n definiert als { R n S := {(a, a) a S}, n = 0 := R n 1 R, n 1. Satz 1. Sei R eine Relation über einer Menge S und n eine nichtnegative ganze Zahl. Dann ist R n = {(a, b) S S c 0,...,c n S : c 0 = a, c n = b, = 1,..., n : c 1 Rc }. Beweis. Vollständige Indution. Bemerung 7. Ist S eine Menge, so ist (P(S S),,,, S ) ein Halbring. Definition 15. Sei S eine Menge und R eine Relation über S. Dann bezeichnen wir mit R := n 0 den reflexiven und transitiven Abschluss von R und mit den transitiven Abschluss von R. R + := n 1 Satz 2. Sei R eine Relation über einer Menge S und seien a, b S. Dann gilt ar b genau dann, wenn es eine nichtnegative ganze Zahl n und c 0,...,c n S gibt, sodass c 0 = a, c n = b und c 1 Rc für alle = 1,...,n gilt. Beweis. Folgt unmittelbar aus Satz 1. 1 Sind A eine Menge, +, binäre Operationen über A und 0, 1 A, so ist das Quintupel (A, +,, 0, 1) ein Halbring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: i. A ist ein ommutativer Monoid bezüglich + mit neutralem Element 0, ii. A ist ein Monoid bezüglich mit neutralem Element 1, iii. Für alle a, b, c A gilt iv. Für alle a A gilt R n R n a (b + c) = ab + ac und (b + c) a = ba + ca, a 0 = 0 a = 0.

4 2 Formale Grammatien Definition 16. Eine Grammati (auch formale Grammati oder Chomsy-Grammati) ist ein Quadrupel G = (N, T, P, S) das folgenden Bedingungen genügt: i. N und T sind disjunte Alphabete, ii. P ist eine nichtleere Teilmenge von V NV V, wobei V := N T sei. iii. S N. Symbole von N heißen Nichtterminalsymbole, Symbole von T heißen Terminalsymbole, Elemente von P heißen Produtionsregeln und S heißt Startsymbol. Ist (A, α) P, so schreiben wir A α. Gilt A α 1,...,A α n, so schreiben wir auch A α 1... α n. Definition 17. Sei G = (N, T, P, S) eine Grammati und sei V = N T. Dann bezeichnen wir die binäre Relation über V mit als Ableitung oder Ableitungsrelation. ϕ ψ ϕ = βaγ, A N, β, γ V, ψ = βαγ, (A, α) P Definition 18. Sei G = (N, T, P, S) eine Grammati. Dann bezeichen wir als die von G erzeugte Sprache. L(G) := {w T S w} Definition 19. Sei G = (N, T, P, S) eine Grammati und sei V = N T. Dann heißt G ontextfrei, wenn P eine Teilmenge von N V ist. Beispiel 1. Wir betrachten folgende Produtionsregeln: Dann ist G = (N, T, P, S) mit S asb R R crd ε. N = {S, R}, T = {a, b, c, d}, P = {(S, asb), (S, R), (R, csd), (R, ε)} eine ontextfreie Grammati mit L(G) = {a n c m d m b n m, n 0}. Beispiel 2. Wir betrachten folgende Produtionsregeln: Dann ist G = (N, T, P, S) mit S RS ε R (R) () N = {S, R}, T = {(, )}, P = {(S, RS), (S, ε), (R, (R)), (R, ())} eine ontextfreie Grammati, sodass L(G) die Menge aller wohlgeformter Klammerausdrüce ist. 4

5 Definition 20. Sei G = (N, T, P, S) eine Grammati. Dann heißt G regulär, wenn P eine Teilmenge von (N (TN T)) {(S, ε)} ist. Beispiel. Wir betrachten folgende Produtionsregeln: Dann ist G = (N, T, P, S) mit S as br R cr c N = {S, R}, T = {a, b, c}, P = {(S, as), (S, br), (R, cr), (R, c)} eine reguläre Grammati mit L(G) = {a m bc n m 0, n 1}. Beispiel 4. Wir betrachten folgende Produtionsregeln: Dann ist G = (N, T, P, S) mit N = {S, I}, T = {+,, 0,..., 9}, S +I I 0I 1I 2I 9I I 0I 1I 9I 0 9 P = {(S, +I), (S, I), (S, 0I),..., (S, 9I), (I, 0I),...(I, 9I), (I, 0),..., (I, 9)} eine reguläre Grammati, sodass L(G) die Menge aller nicht notwendigerweise vorzeichenbehafteter Darstellungen ganzer Zahlen im Dezimalsystem ist. Endliche Automaten Definition 21. Ein endlicher Automat A ist ein Quintupel A = (Q, Σ, δ, q 0, F), wobei i. Q eine endliche Menge sogenannter Zustände, ii. Σ ein Alphabet, iii. δ : Q Σ P(Q) die sogennate Überführungsfuntion, iv. q 0 Q der Anfangszustand und v. F Q die Menge der Endzustände seien. 5

6 Definition 22. Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein endlicher Automat. Dann sei ˆδ : Q Σ P(Q) definiert als ˆδ(q, ε) = {q}, und ˆδ(q, aw) = ˆδ(p, w) für a Σ und w Σ. p δ(q,a) Definition 2. Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein endlicher Automat. Dann bezeichnen wir mit das Verhalten von A. A := {w Σ ˆδ(q 0, w) F } Definition 24. Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein endlicher Automat und w ein Wort über Σ.Wir sagen, dass w von A azeptiert wird, wenn w A. Definition 25. Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein endlicher Automat und L eine Sprache über Σ. Wir sagen, dass L von A azeptiert wird, wenn L = A gilt. Satz. Sei Σ ein Alphabet und L eine Sprache über Σ. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: i. Es existiert eine reguläre Grammati G = (N, Σ, P, S) mit L = L(G). ii. Es existiert ein endlicher Automat A = (Q, Σ, δ, q 0, F) mit L = A. Beweis. Wir zeigen zunächst, dass ii. aus i. folgt. Sei dazu G = (N, Σ, P, S) eine reguläre Grammati mit N = {V 0 = S, V 1,...,V n }. Wir wählen eine Menge von Zuständen Q = {q 0,..., q n, q F }, sodass Q = N + 1 gilt. Weiters seien δ als { {q F }, (V i, a) P δ : Q Σ P(Q), (q i, a) {q j Q (V i, av j ) P }, sonst und F als F = { {q F, q 0 }, (S, ε) P {q F }, sonst definiert. Man prüft leicht nach, dass L(G) = A = (Q, Σ, δ, q 0, F) gilt. Ist umgeehrt A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein endlicher Automat mit Q = {q 0,...,q n }, so sei N = {V 0, V 1,...,V n } eine Menge von n + 1 Nichtterminalsymbolen, und sei P = {(V i, av j ) N ΣN q j δ(q i, a)} {(V i, a) N Σ δ(q i, a) F } { (V 0, ε), q 0 F, sonst. Man prüft leicht nach, dass G = (N, Σ, P, V 0 ) eine reguläre Grammati mit L(G) = A ist. 6

7 Definition 26. Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein endlicher Automat. Dann heißt A deterministisch, wenn δ(q, a) 1 für alle q Q und a Σ gilt und nichtdeterministisch sonst. Satz 4. Sei A ein nichtdeterministischer endlicher Automat. Dann existiert ein deterministischer endlicher Automat A mit A = A. Beweis. Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F). Die Abbilding δ und die Menge F seien wie folgt definiert: δ : P(Q) Σ P(P(Q)), ( ˆQ, a) δ(q, a) und q ˆQ F := {G P(Q) G F }. Offensichtlich ist A = (P(Q), Σ, δ, {q 0 }, F ) ein deterministischer endlicher Automat. Man sieht leicht, dass A = A gilt. Definition 27. Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein deterministischer endlicher Automat. Dann heißt A minimal, wenn Q Q für alle deterministischen endlichen Automaten A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit A = A gilt. Ohne Beweis sei folgender Satz erwähnt: Satz 5. Zu jedem endlichen Automaten A existiert ein bis auf Isomorphie eindeutiger minimaler deterministischer Automat A m mit A = A m. Definition 28. Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein deterministischer endlicher Automat. Dann heißt A vollständig, wenn für alle q Q und a Σ gilt. δ(q, a) = 1 Satz 6. Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein deterministischer endlicher Automat. Dann existiert ein vollständiger deterministischer endlicher Automat A v mit A = A v. Beweis. Sei q Q ein zusätzlicher Zustand. Wir definieren mit für alle (q, a) Q Σ und δ : (Q {q}) Σ P(Q {q}) δ(q, a) = { δ(q, a) falls δ(q, a) = 1 {q} falls δ(q, a) = 0 δ(q, a) = {q} für alle a Σ. Dann ist A v = (Q {q}, Σ, δ, q 0, F) ein vollständiger deterministischer endlicher Automat. Man prüft leicht nach, dass A v = A gilt. 7

8 Für manche Zwece ist es sinnvoll, das Leersymbol ε in der Überführungsfuntion als Übergangsymbol zuzulassen. Solche Automaten heißen nichtdeterministische endliche Automaten mit spontanten Übergängen. Formal bedeutet dies: Definition 29. Ein nichtdeterministischer endlicher Automat mit spontanen Übergängen A ist ein Quintupel A = (Q, Σ, δ, q 0, F), wobei i. Q eine endliche Menge sogenannter Zustände, ii. Σ ein Alphabet, iii. δ : Q (Σ {ε}) P(Q) die Überführungsfuntion, iv. q 0 Q der Anfangszustand und v. F Q die Menge der Endzustände seien. Analog zu endlichen Automaten sei auch hier das Verhalten A als die Menge aller von A azeptierten Wörter definiert. Nichtdeterministische endliche Automaten mit spontanen Übergängen sind allerdings eineswegs mächtiger als normale endlichde Automaten, denn es gilt Satz 7. Sei A s = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein nichtdeterministischer endlicher Automat mit spontanen Übergängen. Dann existiert ein endlicher Automat A mit A = A s. Beweis. Es sei δ : Q Σ P(Q) mit p δ(q, a) genau dann, wenn es Zustände p 0,..., p r Q mit r 1 ganz, p 0 = q, p r = p und eine ganze Zahl s mit 1 s r gibt, sodass und für alle {0,...,r} mit s p s δ(p s 1, a) p δ(p 1, ε) gilt. Sei weiters F = { F {q 0 } F falls ε A v sonst. Man prüft leicht nach, dass A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein endlicher Automat mit A = A s ist. 8

9 4 Reguläre Sprachen Definition 0. Sei Σ ein Alphabet und L eine Sprache über Σ. Dann heißt L regulär, wenn es eine reguläre Grammati G mit L = L(G) gibt. Aus Satz folgt unmittelbar, dass obige Definition äquivalent dazu ist, dass ein endlicher Automat A mit A = L existiert. Satz 8. Seien L, L 1, L 2 reguläre Sprachen über einem Alphabet Σ. Dann gilt: 1. L 1 L 2 ist eine reguläre Sprache, 2. L 1 L 2 ist eine reguläre Sprache,. Σ L ist eine reguläre Sprache, 4. L 1 L 2 ist eine reguläre Sprache, 5. L und L + sind reguläre Sprachen. Beweis. 1. Seien A 1 = (Q 1, Σ, δ 1, q 01, F 1 ) und A 2 = (Q 2, Σ, δ 2, q 02, F 2 ) endliche Automaten mit A 1 = L 1 und A 2 = L 2. Wir önnen obda annehmen, dass Q 1 und Q 2 disjunt sind. Dann ist A = (Q, Σ, δ, q s, F 1 F 2 ) mit Q = Q 1 Q 2 {q s }, q s (Q 1 Q 2 ) und δ 1 (q, a) falls q Q 1 und a ε δ 2 (q, a) falls q Q 2 und a ε δ : Q (Σ {ε}) P(Q), (q, a) {q 01, q 02 } falls q = q s und a = ε sonst ein nichtdeterministischer endlicher Automat mit spontanen Übergängen mit A = L 1 L Seien A 1 = (Q 1, Σ, δ 1, q 01, F 1 ) und A 2 = (Q 2, Σ, δ 2, q 02, F 2 ) endliche Automaten mit A 1 = L 1 und A 2 = L 2. Wir önnen obda annehmen, dass Q 1 und Q 2 disjunt sind. Dann ist A = (Q, Σ, δ, q 01, F 2 ) mit Q = Q 1 Q 2 und δ 1 (q, a) falls q Q 1 und a ε δ 2 (q, a) falls q Q 2 und a ε δ : Q (Σ {ε}) P(Q), (q, a) {q 02 } falls q F 1 und a = ε sonst ein nichtdeterministischer endlicher Automat mit spontanen Übergängen mit A = L 1 L 2. 9

10 . Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein vollständiger deterministischer endlicher Automat mit A = L. Dann ist A = (Q, Σ, δ, q 0, Q F) ein vollständiger deterministischer endlicher Automat mit A = Σ L. 4. Wegen L 1 L 2 = Σ ((Σ L 1 ) (Σ L 2 )) folgt aus Satz 8.1 und Satz 8., dass auch L 1 L 2 regulär ist. 5. Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein endlicher Automat mit A = L. Es sei δ(q, a) falls a ε δ : Q (Σ {ε}) P(Q), (q, a) {q 0 } falls q F und a = ε sonst. Dann ist A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein nichtdeterministischer endlicher Automat mit spontanen Übergängen mit A = L +. Somit ist L + regulär. Aus Satz 8.1 folgt daher, dass auch L + {ε} = L regulär ist. Definition 1. Der Begriff des Regulären Ausdrucs über einem Alphabet Σ sei wie folgt definiert: i. Die leere Menge ist ein regulärer Ausdruc ii. Für alle a (Σ {ε}) ist {a} ein regulärer Ausdruc iii. Ist R ein regulärer Ausdruc, so ist auch R ein regulärer Ausdruc iv. Sind R 1 und R 2 reguläre Ausdrüce, so sind auch R 1 R 2 und R 1 R 2 reguläre Ausdrüce. v. Es gibt eine weiteren regulären Ausdrüce. Satz 9. Sei Σ ein Alphabet und sei L eine Sprache über Σ. Dann ist L genau dann eine reguläre Sprache über Σ, wenn L ein regulärer Ausdruc über Σ ist. Der dann-teil folgt unmittelbar aus Satz 8, auf den Beweis des genau dann-teils wird nicht eingegangen. 5 Anwendungen bei Abzählproblemen Die meisten Abzählprobleme, die sich mithilfe von regulären Sprachen beschreiben lassen, önnen unmittelbar mit sogenannten erzeugenden Funtionen gelöst werden. Eine erzeugende Funtion ist dabei ein formales, unendliches Polynom, dessen Koeffizienten die gesuchte Lösungsfolge des Abzählproblems ist. Vereinfacht ausgedrüct ann dabei eine reguläre Sprache mit folgenden Regeln in eine erzeugende Funtion gewandelt werden: 10

11 Jede Vereinigung entspricht einer Addition Jede Verettung entspricht einer Multipliation Jedes entspricht einer geometrischen Reihe. Jedes Teilwort entspricht einer 1 im Koeffizienten von x n, wobei n entsprechend der gesuchten Anzahl zu wählen ist (ist zb die Anzahl der Wörter der Länge n einer Sprache gesucht, so entspricht jedes Teilwort der Länge n einer 1 im Koeffizienten von x n ). Die Gültigeit dieser Vorgehensweise ann folgendermaßen begründet werden: Definition 2. Seien Σ ein Alphabet und L 1, L 2 Sprachen über Σ. Dann heißen L 1 und L 2 relativ prim, wenn für alle x 1, x 2 L 1 und y 1, y 2 L 2 mit x 1 = x 2 und y 1 = y 2 folgt. x 1 y 1 = x 2 y 2 Definition. Seien h 1,...,h r : Σ Z + 0 Monoidhomomorphismen. Dann sei ϕ h 1,...,h r die Abbildung : P(Σ ) (Z + 0 { })[[x 1,...,x r ]], L w L =1 x h (w). Obwohl ein Halbringhomomorphismus ist, erfüllt sie dennoch wichtige Struturerhaltungseigenschaften, denn es gilt Satz 10. Sei Σ ein Alphabet, L 1, L 2 Sprachen über Σ und h 1,...,h r : Σ Z + 0 Monoidhomomorphismen. Dann gilt: 1. Sind L 1 und L 2 disjunt, so gilt 2. Sind L 1 und L 2 relativ prim, so gilt (L 1 L 2 ) = (L 1 ) + (L 2 ) (L 1 L 2 ) = (L 1 ) (L 2 ) Beweis. 1. Für disjunte Sprachen L 1, L 2 Σ gilt (L 1 L 2 ) = x h (w) = = w (L 1 L 2 ) =1 ( x h (w) w L 1 =1 ) + w L 1 w L 2 =1 ( w L 2 =1 = (L 1 ) + (L 2 ). x h (w) x h (w) ) 11

12 2. Für relativ prime Sprachen L 1, L 2 Σ gilt (L 1 L 2 ) = x h (w) w (L 1 L 2 ) =1 = w 1 L 1 =1 w 2 L 2 = = w 1 L 1 w 2 L 2 ( ( =1 = x h (w 1 )+h (w 2 ) w 1 L 1 =1 x h (w 1 ) x h (w 1 ) x h (w 1 w 2 ) w 1 L 1 =1 w 2 L 2 ) ( = =1 ) ( = (L 1 ) (L 2 ). w 1 L 1 w 2 L 2 x h (w 2 ) =1 ) x h (w 2 ) w 2 L 2 =1 x h (w 1 ) x h (w 2 ) Satz 11. Seien Σ ein Alphabet, L eine Sprache über Σ und h 1,..., h r : Σ Z + 0 Monoidhomomorphismen. Für jedes r-tupel nichtnegativer ganzer Zahlen (n 1,...,n r ) sei a n1,...,n r (L) die Anzahl der Wörter w L, für die für alle = 1,..., r gilt. Dann gilt (L) = h (w) = n n 1,...,n r=0 a n1,...,n r (L) =1 ) x n. (1) Beweis. Offensichtlich sind beide Seiten von (1) formale multivariable Polynome aus (Z + 0 { })[[x 1,...x r ]]. Es gilt (L) = x h (w). w L =1 Für jedes r-tupel (n 1,...,n r ) gilt für den Koeffizienten [ ] (L) = a n1,...,n r (L). =1 x n Durch einen Koeffizientenvergleich zwischen den beiden Polynomen erhalten wir also (1). Betrachten wir nun folgendes Beispiel: Beispiel 5. Gegeben sei die Sprache L = {w 1...w n n 0, w i {0, 1, 2}, i = 1,...,n 1 : w i = 0 w i+1 = 0}, 12

13 also jene Sprache über {0, 1, 2}, die genau jene Wörter enthält, sodass je zwei aufeinanderfolgende Symbole zumindest eine 0 enthalten. Gesucht sei nun die Anzahl der Wörter der Länge n in L. Wir stellen zunächst fest, dass L eine reguläre Sprache ist, denn es gilt L = ({ε} {1} {2})({0} {01} {02}) (2) und dies ist ein regulärer Ausdruc. Sei nun a n die Anzahl der Wörter der Länge n in L. Wir betrachten nun die erzeugende Funtion P(x) = a n x n. () Da h : {0, 1, 2} Z + 0, w w ein Monoidhomomorphismus ist, folgt aus Satz 11, dass Andererseits sind P(x) = ϕ h (L). ({ε} {1} {2}) und ({0} {01} {02}) offensichtlich relativ prim und für verschiedene nichtnegative ganze Zahlen i, j sind disjunt. Aus (2) und Satz 10 folgt daher also ({0} {01} {02}) i und ({0} {01} {02}) j P(x) = ϕ h (L) = (1 + x + x)((x + x 2 + x 2 ) 0 + (x + x 2 + x 2 ) 1 + (x + x 2 + x 2 ) 2 + ), ( ) P(x) = (1 + 2x) (x + 2x 2 ) n und somit 1 P(x) = (1 + 2x) 1 x 2x 2. Mithilfe einer Partialbruchzerlegung erhalten wir 1 1 x 2x = 1 ( x + 2 ), 1 2x also folgt 1

14 1 P(x) = (1 + 2x) 1 x 2x 2 = 1 + 2x ( x + 2 ) 1 2x ( = 1 + 2x ) ( x) n + 2 (2x) n ( = 1 + 2x ) x n (( 1) n + 2 n+1 ) ( ) ( 1) = x n n + 2 n+1 ( ) 2(( 1) + x n+1 n + 2 n+1 ) ( ) ( 1) = x n n + 2 n+1 ( ) 2(( 1) + x n n n ) n=1 ( ) ( 1) = x n n + 2 n+1 ( ) 2(( 1) + x n n n ) ( ) ( 1) = x n n + 2 n+1 + 2(( 1)n n ) ( ) ( 1) = x n n (1 2) + 2 n+2 (1 + 1) ( ) ( 1) = x n n n+2. (4) Ein Koeffizientenvergleich zwischen () und (4) ergibt daher Quellen a n = ( 1)n n+2. [1] Werner Kuich, Vorlesung Theoretische Informati, Sommersemester 2008 [2] Jirí Adáme, Vorlesungssript Theoretische Informati, Otober 2005, pdf, pdf 14