Probe-Klausur 1 Mathematik f. Bau-Ing + Chem.Modul2

Transkript

1 Probe-Klausur Mathematik f. Bau-Ing + Chem.Modul. (a) Durch die Punkte und gehe eine Ebene E, die auf der Ebene E : x + y z = 0 senkrecht steht. Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E. (b) Bestimmen Sie λ so, daß sich die Ebenen x y + z = 0, 3x y z + = 0, 4x y z + λ = 0 in einer Geraden schneiden. Bestimmen Sie die Parameterdarstellung der Geraden Gegeben ist das Transportproblem mit der Kostenwertmatrix A = , den Bedarfsmengen b = (0,36,5,5) und den Angebotsmengen a = (4,30,4). Bestimmen Sie mit Hilfe der Nord-West-Ecken-Regel eine Anfangslösung und ihre Kosten und prüfen Sie, ob diese Lösung optimal ist. Bestimmen Sie mit Hilfe von Potentialen und Verschiebekreisen die Optimallösung und ihre Kosten. 3. Wo liegen mögliche relative Extremstellen der Funktion f(x,y) = 5x + y 3z, ( Punkte) die auf dem Schnitt der Ebene x + y + z = 0 mit der Kugeloberfläche x + y + z = definiert ist? 4. Gegeben ist das 3-dimensionale Gebiet G, das durch das Paraboloid z = 4 x y und die (x,y)-ebene begrenzt wird, mit der Massendichte m(x,y) =. (a) Berechnen Sie die Gesamtmasse des Gebietes. (b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes von G. (c) Berechnen Sie das Trägheitsmoment bezüglich der z-achse. ( Punkte) 5. Lösen Sie das Anfangswertproblem xy = x y xy cot x, y ( π) ( π) = 0, x 0,. Zum Bestehen der Klausur sind ca. 0 Punkte erforderlich. Erlaubte Hilfsmittel: Skript, Übungsaufgaben mit eigenen Lösungen, Taschenrechner. Ausdrücklich nicht erlaubt: Bücher, auch keine Formelsammlungen.

2 Probe-Klausur Mathematik f. Bau-Ing + Chem.Modul. Die Kurve C in der (x,y)-ebene sei gegeben durch die Gleichung e xy x y = 0. Bestimmen Sie den Anstieg der Kurve im Punkt P(0?).. Lösen Sie folgende lineare Optimierungsaufgabe x + x 40 x + x 30 x 8 x 5 x i 0, i =, z = x + x max. (4 Punkte) (a) graphisch und (b) mit Hilfe der Simplex-Methode. 3. Bestimmen Sie Lage und Art der relativen Extremstellen der Funktion f(x,y) = (x x + 6x)(y + ). 4. Gegeben ist die halbe Kugelschale G = {(x,y,z); x + y + z 4, z 0} mit der Massendichte m(x,y) =. Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes von G. 5. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y y + y = e x cos x + xe x. 6. Die Messung der Druckfestigkeit von Betonwürfeln ergab folgende Häufigkeitsverteilung: Druckfestigkeit Anzahl von 5 bis unter 30 4 von 30 bis unter 3 4 von 3 bis unter 33 3 von 33 bis unter 34 5 von 34 bis unter 35 8 von 35 bis unter 37 7 von 37 bis unter 40 6 von 40 bis unter 45 3

3 Zeichnen Sie Histogramm und Häufigkeitspolygon und stellen Sie die zugehörige Häufigkeitsverteilungsfunktion F(x) := x Wert wird von 50 % der Elemente nicht überschritten? f(x) dx auf. Wie viele Elemente liegen im Bereich (3, 38]? Welcher Zum Bestehen der Klausur sind ca. 0 Punkte erforderlich. Erlaubte Hilfsmittel: Skript, Übungsaufgaben mit eigenen Lösungen, Taschenrechner. Ausdrücklich nicht erlaubt: Bücher, auch keine Formelsammlungen.

4 Probe-Klausur 3 Mathematik f. Bau-Ing + Chem.Modul. Gegeben seien im Raum die vier Punkte P =, P =, P 3 = 5 und Q =. 0 (a) Bestimmen Sie die Parameter- und Gleichungs-Darstellung der Ebene E durch P,P,P 3. (b) Bestimmen Sie die Parameter- und Gleichungs-Darstellung der Ebene E parallel zu E durch Q. (c) Bestimmen Sie den Abstand von E und E und den Schnittwinkel von E und der Ebene E 3 : x + y + z = 7.. Um Metallbänder der Breiten 3, 7 und 30cm aus einem Metallband der Breite 50cm zu schneiden, hat man 4 mögliche Verfahren: Verfahren : Bänder von je 3cm breit + Band 7cm, jeweils x m lang, aus einem x m langen 50cm breiten Band, Verfahren : Band 3cm breit + Bänder von je 7cm, jeweils x m lang, aus einem x m langen 50cm breiten Band, Verfahren 3: Band 3cm breit + Band 30cm, jeweils x 3 m lang, aus einem x 3 m langen 50cm breiten Band, Verfahren 4: Band 7cm breit + Band 30cm, jeweils x 4 m lang, aus einem x 4 m langen 50cm breiten Band. Benötigt werden mindestens 00m des 3cm-Bandes, mindestens 600m des 7cm-Bandes und mindestens 00m des 30cm-Bandes. Wieviel Meter des 50cm-Bandes muß man mindestens bestellen? (a) Formulieren Sie das Optimierungsproblem mathematisch! (b) Bestimmen Sie die optimale Lösung mit dem Simplexverfahren! ( Punkte) Gegeben ist das ausgeglichene Transportproblem mit der Kostenwertmatrix A = , den Bedarfsmengen b = (50,0,36,4,a) und den Angebotsmengen a = (60,30,0,50). Bestimmen Sie a, mit Hilfe der Nordwestecken-Regel eine Anfangslösung und ihre Kosten und prüfen Sie, ob diese Lösung optimal ist. Bestimmen Sie mit Hilfe von Potentialen und Verschiebekreisen eine bessere Lösung und ihre Kosten. 4. Bestimmen Sie Lage und Art der relativen Extrema der Funktion f(x,y) = x 3 3xy + y 4, (x,y) IR.

5 5. Bei einer Lieferung von Kondensatoren sei deren Kapazität K normalverteilt mit Erwartungswert µ = 00 und Varianz σ = 5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Kondensator fehlerhaft ist, wenn die Kapazität K (a) mindestens 98 betragen muß, (b) höchstens 0 betragen darf, (c) maximal 5% vom Sollwert 00 abweichen darf? 6. Ein Intelligenztest ergab bei 70 Studenten des Fachbereichs 0 der Universität Siegen folgende Häufigkeitsverteilung: IQ Anzahl (a) Berechnen Sie den Median, das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der Stichprobe. (b) Bestimmen Sie ein 94%-Vertrauensintervall für den Erwartungswert µ der IQ s aller Bauingenieur- Studenten in Siegen. (6 Punkte) Zum Bestehen der Klausur sind ca. 0 Punkte erforderlich. Erlaubte Hilfsmittel: Skript, Übungsaufgaben mit eigenen Lösungen, Taschenrechner. Ausdrücklich nicht erlaubt: Bücher, auch keine Formelsammlungen.

6 Lösungen zu den Probe-Klausuren Mathematik f. Bau-Ing. Modul Kl. () (a) E : x y = 0. (b) λ = 3. g : x = z () A = Kosten (3) f(,0, ) = 4, f(,0, ) = 4. (4) (a) M = 8π. (b) x s = y s = 0, z s = 4 3. (c) T z = 3 3 π. (5) y(x) = Kl. () y (0) =. xcos x + sin x. x sinx () x = 5, x = 5, z max = 55. (3) Bei (,0) Sattelpunkt, bei (,0) rel. Maximum. (4) x s = y s = 0, z s = (5) y = c e x cos x + c e x sin x + xex sinx + xe x. 0 für x < 5 0,0(x 5) für 5 x < 30 0,05(x 30) + 0, für 30 x < 3 0,075(x 3) + 0, für 3 x < 33 0,5(x 33) + 0,75 für 33 x < 34 (6) F(x) =. 0,(x 34) + 0,4 für 34 x < 35 0,0875(x 35) + 0,6 für 35 x < 37 0,05(x 37) + 0,775 für 37 x < 40 0,05(x 40) + 0,95 für 40 x < 45 für 45 x Anzahl Elemente zwischen 3 und 38: n = 7. 50% der Elemente überschreiten den Wert x = 34,5 nicht. Kl.3 () (a) E : x y + z = 3. x = + λ 0 + µ (b)e : x y+z = 7. x = 7 +λ +µ = 7 +λ 0 +µ (c) Abstand 4 3, cos α = 4 9, α = 63,6. () Werden x Meter des 50 cm-bandes bei Verfahren verbraucht, x Meter bei Verfahren, x 3 Meter bei Verfahren 3 und x 4 Meter bei Verfahren 4, dann erhält man x +x +x 3 Meter der Breite 3 cm, x + x + x 4 cm der Breite 7 cm und x 3 + x 4 Meter der Breite 30 cm.

7 Der Verbrauch ist x + x + x 3 + x 4 Meter. Aus den Minimalforderungen ergibt sich x +x +x 3 00 x +x +x x 3 +x 4 00 x +x +x 3 +x 4 = z Min. Lösung über duales Tableau: Benötigt werden 350 m a 50 cm. Wegen x = 0, x = 50, x 3 = 0 und x 4 = 00 werden 50 m durch Verfahren und 00 m durch Verfahren 4 verarbeitet und man erhält 350 m a 3 cm, 600 m a 7 cm und 00 m a 30 cm. (3) a = Anfangslösung: A = mit Kosten Verbesserung: A = mit Kosten optimal: A = mit Kosten (4) Bei ( 3, ±3 ) rel. Minima, bei (0,0) Sattelpunkt. (5) (a)+ (b) Zu 34,46% ist ein Kondensator fehlerhaft. (c)zu 4,56% ist ein Kondensator fehlerhaft. (6) (a) Median 5, arithm. Mittel 4, Standardabweichung (b) Vertrauensintervall [3, 37; 4, 63] =,8.