35 Stetige lineare Abbildungen

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1 Stetige lineare Abbildungen Lernziele: Konzepte: Lineare Operatoren und ihre Normen Resultate: Abschätzungen für Matrizennormen Kompetenzen: Abschätzung von Operatornormen 35.1 Lineare Abbildungen. a) Eine Abbildung T : E F zwischen Vektorräumen heißt linear, falls gilt T(αx+y) = αt(x)+t(y) für x,y E und α K. (1) Lineare Abbildungen werden auch als lineare Operatoren bezeichnet. b) Kern und Bild von T sind gegeben durch N(T) := {x E T(x) = 0} E, R(T) := {T(x) x E} F. (2) 35.2 Satz. Es seien E, F normierte Räume und T : E F linear. Dann sind äquivalent: (a) C 0 x E : T(x) C x. (b) T ist gleichmäßig stetig auf E. (c) T ist in 0 stetig. (d) Es gilt T := sup x 1 T(x) <. Beweise zu diesem Abschnitt findet man in [A2], Abschnitt Operatornormen. a) Nach Satz 35.2 ist ein linearer Operator T : E F genau dann stetig, wenn er beschränkte Teilmengen von E in beschränkte Teilmengen von F abbildet. b) Für normierte Räume E,F wird mit L(E,F) die Menge aller stetigen (oder beschränkten) linearen Operatoren von E nach F bezeichnet; offenbar ist L(E, F) ein Vektorraum über K. Statt L(E,E) schreibt man einfach L(E). Der Raum E := L(E, K) heißt Dualraum von E, seine Elemente heißen stetige oder beschränkte Linearformen auf E. c) Das in 35.2(d) definierte Supremum T := T L(E,F) = sup x 1 T(x) (3)

2 172 V. Topologische Grundlagen der Analysis definiert eine Norm auf L(E,F). Es ist T die minimal mögliche Konstante C in 35.2(a), insbesondere gilt also T(x) T x für alle x E. (4) d) Die Operatornorm ist submultiplikativ: Für normierte Räume E, F, G sowie T L(E,F) und S L(F,G) gilt für deren Verknüpfung ST = S T ST S T. (5) 35.4 Beispiele. a) Das Integral I : f b a f(t)dt ist eine Linearform auf dem Raum C[a,b]. Man hat I = b a bzgl. der sup - Norm auf C[a,b], (6) I = 1 bzgl. der L 1 -Norm auf C[a,b], (7) I = b a bzgl. der L 2 -Norm auf C[a,b]. (8) b) Es sei X ein kompakter metrischer Raum. Für p X wird das Dirac- oder δ- Funktional δ p C(X) definiert durch δ p (f) := f(p), f C(X). (9) Man hat δ p = 1 (bezüglich der sup-norm). c) Die Linearform δ p auf C[a,b] ist bzgl. der L p -Normen, 1 p <, unstetig. d) Für b > 0 ist der lineare Differentialoperator D : f df dx, f C1 [0,b], (10) unstetig als Operator von (C 1 [0,b], sup ) nach (C[0,b], sup ). Dagegen ist D : (C 1 [0,b], C 1) (C[0,b], sup ) stetig mit D Satz. Es seien E ein normierter Raum und F ein Banachraum. Dann ist auch L(E, F) ein Banachraum. Insbesondere ist der Dualraum E = L(E,K) eines normierten Raumes stets ein Banachraum Theorem (Neumannsche Reihe). Es seien X ein Banachraum und S L(X) ein Operator mit S < 1. Dann ist die Reihe k S k in L(X) absolut konvergent, und es gilt S k = (I S) 1. (11) Insbesondere ist also der Operator I S invertierbar.

3 36 Stetige lineare Abbildungen 173 Beweis. Die absolute Konvergenz der Reihe folgt sofort aus S k S k und S < 1. Nach Satz existiert also T := S k L(X), und man hat (I S)T = T(I S) = Die Summe T := T 0 = I, T n+1 = I +ST n und T n T. S k S k = I. S k läßt sich iterativ berechnen: Mit T n := n S k gilt offenbar Mittels Neumannscher Reihe lassen sich viele lineare Integral- und Differentialgleichungen lösen; eine nichtlineare Version der Methode ist der Banachsche Fixpunktsatz; vgl. dazu [A2], Abschnitt 26 und Satz Für endlichdimensionale Räume und auf diesen definierte lineare Operatoren gilt: 35.7 Satz. Es seien E,F normierte Räume und dime = n <. a) Es gibt einen Isomorphismus, d.h. eine lineare Homöomorphie V : K n E. b) E ist vollständig. c) Jede lineare Abbildung T : E F ist stetig Matrizen. a) Eine lineare Abbildung T L(K n,k m ) kann eindeutig durch eine Matrix A = (a kj ) = M(T) M(m,n) = M K (m,n) repräsentiert werden; mit den Einheitsvektoren e l werden die Matrixelemente a kj K durch die Gleichungen T(e j ) = m a kj e k, j = 1,...,n, (12) festgelegt. Für x = n x j e j K n gilt dann T(x) = n x j T(e j ) = m n a kj x j e k, (13) d.h. der Vektor y := T(x) = m y k e k K m läßt sich als Matrizenprodukt y 1 a 11 a 12 a 1n x 1 y 2 a 21 a 22 a 2n x 2 = y m a m1 a m2 a mn x n schreiben, kurz: y = Ax. b) Im folgenden werden im Zusammenhang mit dem Matrizenkalkül Vektoren x K n stets als Spaltenvektoren geschrieben; Zeilenvektoren repräsentieren Linearformen auf K n. Aus Platzgründen schreibt man meist Spaltenvektoren in der Form x = (x 1,x 2,...,x n ),

4 174 V. Topologische Grundlagen der Analysis wobei allgemeiner die Transposition von Matrizen bezeichnet. c) Die Identifikation linearer Abbildungen T L(K n,k m ) mit Matrizen M(T) M(m,n) gemäß (12) oder (13) beruht auf der Verwendung der Standardbasen aus Einheitsvektoren in K n und K m ; bei Verwendung anderer Basen ist T durch andere Matrizen zu beschreiben Matrizen-Normen. a) Für einen normierten Raum F und T L(K n,f) gilt 1,F) = n Te j. (14) Im Fall F = K m ist T(e j ) nach (12) die j-te Spalte der Matrix A = (a kj ) = M(T); wegen (14) ist daher 1,l m 1 ) = A SS := n die Spaltensummen-Norm der Matrix A. b) Analog dazu ist,l m ) = A ZS := m die Zeilensummen-Norm der Matrix A = (a kj ) = M(T). c) Bezüglich der Euklidischen Norm auf K n berechnen wir m a kj (15) n a kj (16) Tx 2 2 = n x j Te j 2 2 = n m x j a kj e k 2 2 = m n a kj x j e k 2 2 = m n a kj x j 2 m {( n a kj 2 )( n x j 2 )} m n a kj 2 x 2 2, also 2,l m 2 ) A HS := ( m n a kj 2 ) 1 / 2. (17) Die Zahl A HS heißt Hilbert-Schmidt-Norm von A bzw. T. d) Eine andere Abschätzung ergibt sich so: Tx 2 2 = m n a kj x j 2 m {( n a kj )( n a kj x j 2 )} m n A ZS a kj x j 2 n m = A ZS a kj x j 2 A ZS A SS x 2 2, also 2,l m 2 ) A ZS A SS. (18) e) Umgekehrt gilt natürlich k,j a kj 2,l m 2 ).

5 36 Stetige lineare Abbildungen Input-Output-Analyse nach V. Leontieff. a) Eine Volkswirtschaft besitze die Industrien X 1,...,X n, die gewisse Outputs erzeugen. Um einen Output im Wert von 1 Euro zu erzeugen, benötigt Industrie X j Inputs der Industrien X i im Wert von s ij Euro, i = 1,...,n. Dabei ist vernünftigerweise 0 s ij, i,j = 1,...,n und n s ij < 1, j = 1,...,n, (19) i=1 anzunehmen. Produziert nun jede Industrie X i einen Output im Wert von x i Euro, so stehen für Konsumenten nur noch die Outputs x i n s ij x j zur Verfügung. Das Problem besteht darin, genau soviel zu produzieren, daß eine gegebene Nachfrage d = (d 1,...,d n ) befriedigt werden kann. b) Dazu schreibt man x = (x 1,...,x n ) für den Produktionsvektor und führt die Matrix S := (s ij ) M R (n) ein. Zu lösen ist dann die Gleichung x Sx = d oder (I S)x = d. c) Nun folgt aus (19) sofort S SS < 1 für die Spaltensummen-Norm aus (15). Nach Satz 35.6 existiert also (I S) 1 und kann iterativ berechnet werden. Aufgrund von (I S) 1 = S k sind alle Matrixelemente von (I S) 1 nichtnegativ.