Spezielle stetige Verteilungen

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1 Spezielle stetige Verteilungen schon bekannt: Die Exponentialverteilung mit Parameter k R, k > 0 hat die Dichte f (x) = ke kx für x 0 und die Verteilungsfunktion F (x) = 1 e kx für x 0. Eigenschaften Für eine exponentailverteilte Zufallsvariable X gilt EX = 1 k V (X ) = 1 k 2 P(X > t + s X > t) = P(X > s) für alle s, t > 0, d. h. die Exponentialverteillung ist gedächtnislos verteilungen2.pdf, Seite 1

2 Dichte und Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung für verschiedene Parameterwerte k. verteilungen2.pdf, Seite 2

3 Anwendung Die Exponentialverteilung ist das stetige Gegenstück der geometrischen Verteilung. Sie modelliert die Wartezeit auf ein zufällig eintretendes Ereignis, wenn diese Wartezeit nicht davon abhängt, wie lange man bereits gewartet hat. Beispiele sind Lebensdauer eines Bauteils, das keinem Verschleiÿ unterliegt Wartezeit bis zum nächsten Anruf/auf den nächsten Kunden In einem PoissonProzess ist die Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Ereignissen exponentialverteilt. verteilungen2.pdf, Seite 3

4 Verallgemeinerung: Die WeibullVerteilung beschreibt die Lebensdauer von Bauteilen mit altersabhängiger Ausfallrate. Sie hat die Dichte mit den Parametern α, β > 0. f (x) = αβx β 1 e αxβ für x > 0 Die Verteilungsfunktion ist F (x) = 1 e αxβ für x 0. Mit β = 1 ergibt sich gerade die Exponetialverteilung mit dem Parameter α, für β > 1 nimmt die Ausfallrate mit zunehmendem Alter zu. verteilungen2.pdf, Seite 4

5 Normalverteilung Eine Zufallsvariable X mit Dichte f (x) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2 für x R heiÿt normalverteilt mit Parametern µ R und σ > 0, Notation X N(µ, σ 2 ). Eine StandardNormalverteilung liegt vor, wenn µ = 0 und σ = σ 2 = 1, also X die Dichte ϕ(x) = 1 2π e 1 x 2 2 hat. Eigenschaften der Dichte f (x) hat ein globales Maximum bei x = µ, ist streng monoton wachsend für x < µ und streng monoton fallend für x > µ. Die Dichte ist symmetrisch um µ, d. h. f (µ + x) = f (µ x) und sie hat zwei Wendepunkte bei x = µ ± σ. verteilungen2.pdf, Seite 5

6 Dichte der Normalverteilung verteilungen2.pdf, Seite 6

7 Eigenschaften normalverteilter Zufallsvariablen EX = µ und V (X ) = σ 2, falls X N(µ, σ 2 ), d. h. die Parameter µ und σ einer normalverteilten Zufallsvariable sind gerade Erwartungswert und Standardabweichung. Dabei wird in der Notation üblicherweise die Varianz σ 2 angegeben, d. h. X N(0; 4) bedeutet z. B. dass X normalverteilt ist mit Erwartungswert 0 und Varianz σ 2 = 4. Die Standarsabweichung ist somit σ = 2. Die lineare Transformation einer normalverteilten Zufallsvariable ergibt wieder eine normalverteilte Zufallsvariable: Ist X N(µ, σ 2 ) und a, b R mit a 0, so ist ax + b normalverteilt mit Erwartungswert aµ + b und Varianz a 2 σ 2, d. h. ax + b N(aµ + b, (aσ) 2 ). verteilungen2.pdf, Seite 7

8 Weitere Eigenschaften Ist X normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2, so ist die standardisierte Zufallsvariable Z = X µ σ standardnormalverteilt. Ist umgekehrt Z standardnormalverteilt, so ist X = σ Z + µ N(µ, σ 2 ). Die Summe von zwei (oder mehr) unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt: Sind X und Y unabhängig mit X N(µ, σ 2 ) und Y N(ν, τ 2 ), so ist auch X + Y normalverteilt mit X + Y N(µ + ν, σ 2 + τ 2 ). verteilungen2.pdf, Seite 8

9 Verteilungsfunktion Für die Verteilungsfunktion F (x) = x f (t) dt einer N(µ, σ 2 )verteilten Zufallsvariable X lässt sich kein geschlossener Ausdruck angeben. X lässt sich durch Verschiebung und Streckung/Stauchung (Standardisierung) auf eine StandardNormalverteilung zurückführen: Ist X N(µ, σ 2 ), so gilt mit Z = X µ für die σ Verteilungsfunktion F von X : F (x) = P(X x) = P ( X µ σ wobei x µ σ Φ(z) = 1 2π z ) = P ( Z x µ σ e t2 2 die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. dt ) ( = Φ x µ ) σ, verteilungen2.pdf, Seite 9

10 Berechnung der Normalverteilung Allgemeiner gilt dann für eine N(µ, σ 2 )verteilte Zufallsvariable X P(a X b) = Φ ( b µ σ ) ( Φ a µ ) σ Ist nur eine untere Grenze gegeben, so erhält man P(X > a) = 1 P(X a) = 1 Φ ( ) a µ σ Die Werte von Φ(x) sind oft in Tabellen angegeben. Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung gilt Φ( x) = 1 Φ(x). Daher beschränken sich die Tabellen in der Regel auf Werte für x > 0. verteilungen2.pdf, Seite 10

11 Beispiel 1 Sei X N ( 1, 1 4), also σ2 = 1 4 σ = 1 2 Dann ist die standardisierte Zufallsvariable Z = 2(X 1) standardnormalverteilt und ( X) hat die Verteilungsfunktion x 1 F (x) = P(X x) = Φ = Φ ( ) 2(x 1). Z. B. gilt 1/2 ( ) ( ) P(1 X 1, 2) = Φ Φ 1,2 1 0, ,5 = Φ(0, 4) Φ(0) 0, , 5 = 0, 1554 = 15, 54% ( ) P(X > 0, 5) = 1 P(X 0, 5) = 1 Φ = 1 Φ( 1) = Φ(1) 0, 8413 = 84, 13% ( ) ( ) P(0 < X < 0, 6) = Φ Φ 0,6 1 0,5 = Φ( 0, 8) Φ( 2) = 1 Φ(0, 8) 0 1 0,5 0,5 1 0,5 ( 1 Φ(2) = Φ(2) Φ(0, 8) 0, , 7881 = 18, 91%. ) verteilungen2.pdf, Seite 11

12 Beispiel 2 mit µ = 3, σ 2 = 4 Gesucht sei ein möglichst kleines c > 0, so dass eine N(3; 4)verteilte Zufallsvariable X mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit zwischen 3 c und 3 + c liegt, also P(3 c X 3 + c) 0, 95 ) ( Φ 3 c 3 0, 95 Φ ( 3+c 3 σ = Φ(c/2) σ ( ) 1 Φ(c/2) Φ(c/2) 1 (1 + 0, 95) = 0, ) = Φ(c/2) Φ( c/2) = 2 Φ(c/2) 1 Da Φ streng monoton wachsend und stetig ist, erfüllt das kleinstmögliche c mit dieser Eigenschaft die Gleichung Φ(c/2) = 0, 975 Aus der Tablle entnimmt man Φ(1, 96) 0, 975, also ist die Bedingung erfüllt, wenn c/2 1, 96 c 3, 92. verteilungen2.pdf, Seite 12

13 Verteilung von X N (3; 4) Die N (3; 4)verteilte Zufallsvariable X nimmt somit mit 95prozentiger Wahrscheinlichkeit einen Wert zwischen 3 3, 92 = 0, 92 und 3 + 3, 92 = 6, 92 an. Umgekehrt ist P(X < 0, 92) = P(X > 6, 92) 2, 5% P( X 3 > 3, 92) 5% verteilungen2.pdf, Seite 13

14 Quantile Der Wert x 1, 96, für den Φ(x) = 0, 975 gilt, ist das 97, 5%Quantil z 0,975 der StandardNormalverteilung. Die wichtigsten Quantile sind in Tabellen aufgeführt. Das pquantil z p ist der (eindeutig bestimmte) Wert, für den gilt P(Z z p ) = p für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z. Aus Symmetriegründen gilt z 1 p = z p sowie (für p > 0, 5 z p > 0) P( Z z p ) = P(Z z p ) + P(Z z p ) = 2 (1 p). verteilungen2.pdf, Seite 14

15 Anschauliche Bedeutung eines Quantils z p verteilungen2.pdf, Seite 15

16 Spezielle Werte der Normalverteilung Die Wahrscheinlichkeit, dass eine N(µ, σ 2 )verteilte Zufallsvariable einen Wert... gröÿer als µ + σ annimmt, liegt bei 1 Φ(1) 15, 9% gröÿer als µ + 2σ annimmt, liegt bei 1 Φ(2) 2, 3% gröÿer als µ + 3σ annimmt, liegt bei 1 Φ(3) 0, 13% zwischen µ σ und µ + σ annimmt, liegt bei Φ(1) Φ( 1) = 2Φ(1) 1 68, 3% zwischen µ 2σ und µ + 2σ annimmt, liegt bei Φ(2) Φ( 2) = 2Φ(2) 1 95, 5% zwischen µ 3σ und µ + 3σ annimmt, liegt bei Φ(3) Φ( 3) = 2Φ(3) 1 99, 7% verteilungen2.pdf, Seite 16

17 Standardnormalverteilung verteilungen2.pdf, Seite 17

18 Zentraler Grenzwertsatz Voraussetzungen Betrachtet wird die Summe unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen X 1, X 2, X 3,..., die gegeben ist durch n S n = X k = X X n k=1 Die X k dürfen eine beliebige Verteilung haben, vorausgesetzt wird, dass der Erwartungswert EX k = µ und die Varianz V (X k ) = σ 2 existieren. Dann hat S n den Erwartungswert ES n = n µ, die Varianz V (S n ) = n σ 2 und die Standardabweichung n σ. Es folgt, dass Z n = S n ES n V (Sn ) = S n nµ n σ die für jedes n eine standardisierte Zufallsvariable ist, d. h. für alle n 1 gilt EZ n = 0 und V (Z n ) = 1 für alle n 1. verteilungen2.pdf, Seite 18

19 Zentraler Grenzwertsatz Die Folge (Z n ) n 1 konvergiert in Verteilung gegen die StandardNormalverteilung, d. h. für alle x R gilt lim P(Z n x) = lim F n (x) = Φ(x), n n wenn F n die Verteilungsfunktion von Z n und Φ die der Standardnormalverteilung ist. Folglich gilt für hinreichend groÿe n und b R mit x = b nµ n σ ( Sn nµ P(S n b) = P b nµ ) = P(Z n x) n σ n σ ( ) b nµ Φ(x) = Φ n σ Allgemeiner gilt für a, b R mit a < b ( ) ( ) b nµ a nµ P(a S n b) Φ Φ n σ n σ Dabei kann auch durch < ersetzt werden. verteilungen2.pdf, Seite 19

20 Zentraler Grenzwertsatz Beispiel 1 Verteilung der Augensumme S 10 bei 10maligem Würfeln Mit der Augenzahl X k des kten Würfels ist µ = EX k = 7 = 3, 5 und 2 σ 2 = V (X k ) = 35 σ = 35 1, verteilungen2.pdf, Seite 20

21 Fortsetzung Beispiel 1 Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme kleiner als 30 ist, gilt (mit 10 µ = 35 und σ 10 = ) 12 ( ) P(S 10 < 30) Φ 10 35/12 = Φ( 0, 926) = 1 Φ(0, 926) 1 [0, 4 Φ(0, 92) + 0, 6 Φ(0, 93)] 1 0, , 7% Dabei wurde Φ(0, 926) = Φ(0, 4 0, , 6 0, 93) mit den Tabellenwerten für Φ(0, 92) und Φ(0, 93) linear interpoliert: Aus 0, 926 = 0, , 6 (0, 93 0, 92) = 0, 4 0, , 6 0, 93 erhält man Φ(0, 926) 0, 4 Φ(0, 92) + 0, 6 Φ(0, 93) 0, 4 0, , 6 0, , 8228 verteilungen2.pdf, Seite 21

22 Beispiel 2 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme bei 100 mal Würfeln zwischen 320 und 360 liegt, erhält man durch ( ) ( ) , ,5 P(320 S ) Φ Φ ( = Φ ) ( Φ / /12 ) = Φ(0, 343) Φ( 1, 029) = Φ(0, 343) 1 + Φ(1, 029) = 0, , 848 = 0, 482 = 48, 2% verteilungen2.pdf, Seite 22

23 Beispiel 3 Wie oft muss man würfeln, damit die Augensumme S n mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit um maximal 1% vom Erwartungswert n µ = 3, 5n abweicht? P ( S n nµ n µ ) ( ( ) 100 = P n µ Sn ( ) ) n µ) 100 ( ) ( ) ( 0,01nµ Φ 0,01nµ n σ Φ n σ = 2Φ 0,035 n ) 1 35/12 Damit dieser Ausdruck 0, 99 ist, muss mit dem 99, 5%Quantil z 0,995 = 2, 5758 der Standardnormalverteilung gelten Φ ( 0,035 35/12 n n ) 0, 995 0,035 35/12 n z 0,995 ( ) 35/12 z 0,995 n ,5758 0, , , 01 Also muss man mindestens mal würfeln. verteilungen2.pdf, Seite 23

24 Zentraler Grenzwertsatz Bemerkungen Der zentrale Grenzwertsatz gilt für beliebige Verteilungen von X k, so lange Erwartungswert und Varianz endlich sind. Auch bei diskreten Zufallsvariablen X k nähert sich die Verteilung von X X n für n einer stetigen Normalverteilung an. Die Approximation von S n durch eine Normalverteilung ist im allgemeinen besser, wenn die Verteilung der X k symmetrisch ist, d. h. wenn X k und µ X k die selbe Verteilung haben. Sind die X k diskret verteilt, so erhält man eine bessere Approximation durch eine Stetigkeitskorrektur (siehe Beispiel zur Binomialverteilung). Es gibt Varianten des zentralen Grenzwertsatzes, die unter schwächeren Voraussetzungen als unabhängig und identisch verteilt gelten. verteilungen2.pdf, Seite 24

25 Vergleich zentraler Grenwertsatz Gesetz der groÿen Zahlen Beide Sätze haben die gleichen Voraussetzungen: unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen X 1, X 2,... mit Erwartungswert EX k = µ R uns Varianz V (X k ) = σ 2 <. Mit S n = X X n und X n = 1 n S n betrachtet das Gesetz der groÿen Zahlen die Folge S n nµ n = X n µ, deren Verteilung sich zu einem Punkt zusammenzieht. Dagegen macht der zentrale Grenzwertsatz Aussagen über die Folge S n nµ = ( ) n X n µ, n die sich einer Normalverteilung mit Varianz σ 2 annähert. verteilungen2.pdf, Seite 25

26 Zentraler Grenzwertsatz für Binomialverteilung Ist X b(n, p), so ist X die Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen, die jeweils die Werte 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 p und 1 mit Wahrscheinlichkeit p annehmen. Nach dem zentralen Grenzwertsatz nähert sich die Verteilung von X EX = X np V (X ) np(1 p) für n der StandardNormalverteilung an. Folglich gilt für groÿe n (Faustregel np(1 p) 9 n 9 p(1 p) ) ( a np P(a X b) = P np(1 p) X np np(1 p) ( ) ( ) b np a np Φ Φ np(1 p) np(1 p) ) b np np(1 p) verteilungen2.pdf, Seite 26

27 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung verteilungen2.pdf, Seite 27

28 Steigkeitskorrektur Da die Binomialverteilung nur ganzzahlige Werte annimmt, gilt z. B. P(5 X 10) = P(4, 5 X 10, 5) = P(4 < X < 11), d. h. man kann verschiedene Werte für a und b wählen, um das gleiche Zufallsereignis zu beschreiben. Allgemeiner: Um P(α X β) mit α, β Z zu bestimmen, können a und b beliebig mit α 1 < a α und β b < β + 1 gewählt werden. Die beste Näherung mit dem zentralen Grenzwertsatz erhält man, wenn man die Werte in der Mitte a = α 1 und b = β + 1 wählt, also 2 2 ( β P(α X β) Φ np ) ( α 1 Φ np ) 2. np(1 p) np(1 p) verteilungen2.pdf, Seite 28

29 Beispiel 1 Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, beim 45 maligen Würfeln mehr als 4 und weniger als 11 Sechsen zu erhalten? Die Zahl X der Sechsen ist binomialverteilt mit mit n = 45 und p = 1. Mit np = 7, 5 und 6 np (1 p) = 75 = 25 = 5 = 2, 5 erhält man P(4 < X < 11) = P(5 X 10) = P(4, 5 X 10, 5) ( ) ( ) Φ Φ = Φ(1, 2) Φ( 1, 2) 10,5 7,5 2,5 4,5 7,5 2,5 = 2 Φ(1, 2) 1 = 2 0, , 0 %. Bemerkung: Die exakte Wahrscheinlichkeit liegt bei 77, 25 %. Obwohl die Faustregel nicht erfüllt ist (np(1 p) = 6, 25 < 9) liefert die Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur schon eine gute Näherung. verteilungen2.pdf, Seite 29

30 Beispiel 2 Die Wahrscheinlichkeit, beim 1000maligen Würfeln zwischen 160 und 170 Sechsen zu werfen, erhält man durch P(160 X 170) = P(159, 5 X 170, 5) ( ) ( ) Φ Φ 35, 6%. 170, /36 Bemerkung 159, /36 Ohne die Stetigkeitskorrektur ist das Ergebnis ( ) ( ) Φ Φ , 6%. 5000/ /36 Die mit der Binomialverteilung berechnete exakte Wahrscheinlichkeit liegt bei b 1000; 1 6 (160) + b 1000; 1 (161) b 1000; 1 (170) 35, 7%. 6 6 verteilungen2.pdf, Seite 30

31 Bemerkung Ist eine Wahrscheinlichkeit der Form P(a < X < b) gefragt, so werden bei der Stetigkeitskorrektur die Grenzen nach innen verschoben. Im letzten Beispiel wäre P(160 < X < 170) = P(160, 5 X 169, 5) ( ) ( ) Φ Φ 169, /36 160, /36 Φ(0, 240) Φ( 0, 523) 29, 5%. Allgemein gilt also für Zufallsvariablen mit ganzzahligen Werten und α, β Z: Bei einer unteren Grenze der Form α X wird a durch α 1 2 und bei α < X durch α + 1 ersetzt. Die obere Grenze wird bei 2 X β durch β + 1 und bei X < β durch β 1 ersetzt. 2 2 verteilungen2.pdf, Seite 31

32 Beispiel 3 Eine Fluggesellschaft weiÿ aus Erfahrung, dass von den Kunden, die einen Flug gebucht haben, im Durchschnitt 95% tatsächlich erscheinen. Ein Flugzeug hat 300 Plätze. Wie viele Tickets kann die Fluggesellschaft maximal verkaufen, damit mit 95%iger Wahrscheinlichkeit alle Passagiere, die erscheinen, einen Platz bekommen? Dabei wir für die Zahl X der erschienenen Passagiere eine Binomialverteilung mit p = 0, 95 angenommen. Ist n die Zahl der verkauften Tickets, so muss gelten P(X 300) 0, 95, wobei X b(n; 0, 95). verteilungen2.pdf, Seite 32

33 Rechnung im Beispiel Für welche n gilt für eine b(n; 0, 95)verteilte Zufallsvariable X, dass P(X 300) 0, 95? Die Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur liefert mit dem 95%Quantil z 0,95 = 1, 6449 der Standardnormalverteilung ( ) 300,5 0,95n 0, 95 P(X 300) Φ n 0,95 0,05 z 0,95 300,5 0,95n n 0,95 0,05 300, 5 0, 95n 1, 6449 n 0, 95 0, 05 0, 3585 n Mit x = n und g(x) = 0, 95x 2 + 0, 3585x 300, 5 muss dann gelten g(x) 0 x 2 + 0, 3774x 316, x 17, 60 n = x 2 309, 76 Somit können bis zu 309 Tickets verkauft werden. verteilungen2.pdf, Seite 33

34 Approximation der PoissonVerteilung Eine Poissonverteilte Zufallsvariable X mit Parameter λ > 0 entspricht aufgrund der Summationseigenschaft einer Summe von n unabhängigen Poissonverteilten Zufallsvariablen mit Parameter λ/n. Daher kann für hinreichend groÿe λ (Faustregel λ 9) die PoissonVerteilung durch die Normalverteilung mit Erwartungswert µ = λ und Varianz σ 2 = λ approximiert werden. Mit Stetigkeitskorrektur erhält man dann für ganzzahlige α, β P(α X β) Φ ebenso P(X β) Φ ( β+ 1 λ 2 ( ) β+ 1 λ 2 λ λ ) Φ ( α 1 λ 2 λ ), und P(X α) 1 Φ ( α 1 λ 2 λ ). Bei < statt werden auch hier jeweils die Grenzen entsprechend nach innen verschoben. verteilungen2.pdf, Seite 34

35 Beispiel Ist X Poissonverteilt mit Parameter λ = 16, so ist P(X > 16) = λ k k=17 k! e λ = 1 16 λ k k=0 k! e λ 43, 4%. Mit der Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur erhält man ( ) ( ) 16, P(X > 16) 1 Φ = 1 Φ 45, 0% 4 8 Weiter ist z. B. ( ) ( ) 17, , 5 16 P(13 X 17) Φ 4 4 = Φ(3/8) Φ( 7/8) = Φ(3/8) 1 + Φ(7/8) 37, 1% verteilungen2.pdf, Seite 35

36 Die ChiQuadratVerteilung (χ 2 Verteilung) mit m Freiheitsgraden ist die Verteilung von X = m Zk 2 = Z Z Zm, 2 k=1 wenn Z 1,..., Z m unabhängig und standardnormalverteilt sind. Notation: X χ 2 (m) Additionseigenschaft Aus der Denition folgt: Sind X χ 2 (m) und Y χ 2 (n) unabhängig, so ist X + Y χ 2 (m + n). verteilungen2.pdf, Seite 36

37 Dichte der χ 2 Verteilung verteilungen2.pdf, Seite 37

38 Eigenschaften Ist X χ 2 (m), so ist EX = m und V (X ) = 2m. Dies folgt aus der Additionseigenschaft mit EZ 2 = 1 und V (Z 2 ) = E(Z 4 ) (E(Z 2 )) 2 = 3 1 = 2 für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z. X χ 2 (m) hat die Dichte f (x) = 1 2 m/2 Γ ( m 2 ) x m 2 1 e x/2 für x > 0, wobei die Werte Γ ( m 2 ) der Gammafunktion mit einer Rekursionsformel berechnet werden können. Die Verteilungsfunktion der χ 2 (m)verteilung lässt sich (zumindest für ungerade m) nicht durch einen geschlossenen Ausdruck angeben. verteilungen2.pdf, Seite 38

39 Die Gammafunktion (Teschl/Teschl S ) ist deniert durch das uneigentliche Integral Γ(y) = 0 t y 1 e t dt, welches für alle y > 0 existiert. Mit partieller Integration erhält man die Rekursionsformel Γ(y + 1) = y Γ(y). Mit Γ(1) = 1 folgt Γ(n + 1) = n! für n N (Beweis durch vollständige Induktion!) Weiter ist Γ ( 1 2) = π, womit mit der Rekursionsformel weitere Werte der Gammafunktion bestimmt werden können: Γ ( 3 2 ) = 1 2 π, Γ ( 5 2 ) = 3 4 π, Γ ( 7 2 ) = 15 8 π,... verteilungen2.pdf, Seite 39

40 Beispiel Die χ 2 (3)Verteilung hat die Dichte f 3 (x) = 1 2 3/2 Γ( 3 2) x e x/2 = 1 2π x e x/2 für x > 0, für m = 6 erhält man f 6 (x) = Γ(3) x 2 e x/2 = 1 16 x 2 e x/2 Anwendungen der χ 2 Verteilung Die χ 2 Verteilung tritt in statistischen Testverfahren auf. Dabei spielen die Quantile χ 2 m;p für P(X < χ 2 m;p) = p für eine χ 2 (m)verteilte Zufallsvariable X eine Rolle. Diese Quantile sind oft in Tabellen aufgeführt. Ist F die Verteilungsfunktion von X, so gilt F (χ 2 m;p) = p χ 2 m;p = F 1 (p). verteilungen2.pdf, Seite 40

41 Beispiel: 80%Quantil der χ 2 (4)Verteilung verteilungen2.pdf, Seite 41

42 Grundlage für das Auftreten der χ 2 Verteilung als Testverteilung in der Statistik ist der Satz Sind Z 1,..., Z n N(µ, σ) unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen, so ist n ( ) 2 ( ) 2 ( Zk Z Z1 Z Zn Z = ) 2 k=1 σ σ σ mit Z = 1 n (Z Z n ) eine χ 2 verteilte Zufallsvariable mit m = n 1 (nicht n) Freiheitsgraden. verteilungen2.pdf, Seite 42

43 Die studentsche t-verteilung mit m Freiheitsgraden ist die Verteilung von T = Z X /m, wenn Z und X unabhängige Zufallsvariablen sind mit Z N(0; 1) und X χ 2 (m), Notation T t(m). Sie hat die Dichte Γ ( ) m+1 2 f (x) = (1 + x 2 mπ Γ(m/2) m ) m+1 2 für x R. verteilungen2.pdf, Seite 43

44 Spezielle Dichten f m der t(m)verteilung f 1 (x) = Γ(1) π Γ( 1 f 2 (x) = Γ( 3 2) 2π Γ(1) f 5 (x) = 2) (1 + x 2 ) 1 = 1 1 π 1+x 2 ( ) 3/2 1 + x 2 2 = 1 Γ(3) 5π Γ( 5 2) f 6 (x) = Γ( 7 2) 6π Γ(3) ( ( 1 + x x 2 6 (2+x 2 ) 3/2 ) 3 = 8 ( ) 3 5 π 1+ x ) 7/2 = 15 ( x 2 6 ) 7 verteilungen2.pdf, Seite 44

45 Dichte der tverteilung verteilungen2.pdf, Seite 45

46 Eigenschaften Die Dichte der tverteilung ist symmetrisch um 0 und breiter als die Normalverteilung. Für m nähert sie sich der Standardnormalverteilung an und kann für groÿe m (Faustregel m 30) durch diese approximiert werden. Der Erwartungswert der t(1)verteilung existiert nicht. Ist X t(m) mit m 2, so ist ET = 0. Die Varianz der tverteilung mit einem oder zwei Freiheitsgraden ist unendlich. Für T t(m) mit m 3 ist V (T ) = m. m 2 Für m = 1 entspricht die tverteilung der CauchyVerteilung. Sind Z 1 und Z 2 unabhängig und standardnormalverteilt, so ist der Quotient Z 1 /Z 2 Cauchyverteilt. verteilungen2.pdf, Seite 46

47 Die F Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) ist eine weitere in der Statistik wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat zwei ganzzahlige Parameter n, m 1 und die Dichte ) f (x) = m m 2 n n 2 Γ ( m 2 + n 2 Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) x m 2 1 (mx + n) (m+n)/2 für x > 0. Die F Verteilung ergibt sich als Verteilung eines Quotienten ( 1 m X ) / ( 1 n Y ), wenn X und Y unabhängig und χ 2 verteilt sind mit m bzw. n Freiheitsgraden. verteilungen2.pdf, Seite 47

48 Dichten der F Verteilung verteilungen2.pdf, Seite 48

49 Erwartungswert und Varianz Für eine F verteilte Zufallsvariable mit Parametern m und n gilt: Ist n = 1 oder n = 2, so existiert der Erwartungswert nicht. Im Fall n 3 ist EX = unabhängig von m. n n 2 Die Varianz ist unendlich, falls n 4. Für n 5 ist V (X ) = 2n2 (m + n 2) m(n 2) 2 (n 4). verteilungen2.pdf, Seite 49