Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 11. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

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1 Seite von Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 0 Mathematik, Leistungskurs. Aufgabenart Lineare Algebra/Geometrie ohne Alternative. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 0. Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Gleichungssysteme für n >, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Lineare Abhängigkeit von Vektoren, Parameterformen von Geraden- und Ebenengleichungen Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalität, Winkel und Länge von Vektoren Normalenformen von Ebenengleichungen, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Abstandsprobleme (Abstand Punkt Ebene). Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab.

2 Seite von 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6. Modelllösungen Modelllösung a) () Da es sich um eine gerade Pyramide mit zur x-y-ebene parallelen Grundfläche handelt, stimmen die x- und y-koordinaten der Pyramidenspitze S mit denen des Mittelpunkts M (4,5 4,5 ) ihrer quadratischen Grundfläche ABCD überein. Zur z-koordinate von M ist die Höhe der Pyramide zu addieren, so dass sich S (4,5 4,5 ) ergibt. () AB m wie vorausgesetzt. AS BS 0,5 0,5 m,5m [,m]. [Das Dreieck ABS ist gleichschenklig.] 3 3 (3) Das Volumen der Pyramide beträgt V Ghm m Ihre Oberfläche besteht aus der m großen Grundfläche und der Mantelfläche. Die Mantelfläche besteht aus vier [kongruenten] Dreiecken mit der Grundseitenlänge m und der Höhe somit h 0,5 m,5m. Der Inhalt jeder Dreiecksfläche beträgt,5m A. Der Oberflächeninhalt der Pyramide ist O m 4,5m 3,4m. Modelllösung b) Das Dreieck ABS liegt in der Ebene 500,5 EABS : x 4 s t 0,5. 0 Für n 0 E ABS. 0 gilt n 0 0 0,5 und n 0,5 0. Daher ist n Normalenvektor der Ebene 0 Die Grundfläche ABCD ist parallel zur x-y-ebene, deren Normalenvektor z. B. n 0 ist.

3 Seite 3 von Da der Winkel zwischen den Vektoren n und n n n arccos arccos 63, 4 [ 90 ] n n beträgt, ist die [in der Ebene E ABS 5 liegende] Seitenfläche ABS der Pyramide um ca. 63,4 gegen ihre Grundfläche ABCD geneigt. Modelllösung c) () Die Lichtquelle befindet sich im Punkt L 4,5 9. Offenbar wird nur die Pyramidenfläche BCS von den Lichtstrahlen getroffen. Daher sind die Schnittpunkte B, C und S der Geraden LB, LC und LS mit der x-z-ebene ( y 0 ) die Eckpunkte des Schattendreiecks BCS : 4,50,5 LB : x 9 t4 0 schneidet für 9 4 t die x-z-ebene in 5,65 0 B. 4,50,5 LC : x 9 u4 0 schneidet für 9 4 u die x-z-ebene in 3,375 0 C. 4,5 0 LS : x 9 v4,5 schneidet für v die x-z-ebene in 4,5 0 3 S. Das Dreieck BCS ist wegen gleichschenklig. BS,5 m CS Es hat die Grundseitenlänge BC,5m und die Höhe m. Sein Flächeninhalt beträgt daher,5 m. () Die Lichtquelle befindet sich nun im Punkt L (5 9 ). Auch bei dieser Position der Lichtquelle wird offenbar nur die Pyramidenfläche BCS von den Lichtstrahlen getroffen. Der Schatten der Pyramide ist ebenfalls ein Dreieck. Dieses ist jedoch nicht gleichschenklig wie das Schattendreieck BCS aus ().

4 Seite 4 von Modelllösung d) () Der gesuchte Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten ist insbesondere Schnittpunkt der Mittelsenkrechten m AB und m AS. [M ist hier ein anderer Punkt als der Mittelpunkt der Pyramidengrundfläche aus der Lösung von a).] m AB verläuft durch den Mittelpunkt M AB 5 4,5 der Strecke AB. Ein beliebiger Richtungsvektor v von m AB ist senkrecht sowohl zum Vektor 0 AB 0 als auch zum Normalenvektor n 0 der Ebene E ABS (siehe Teilaufgabe b)). Dies ist z. B. für v 0 der Fall. Es gilt 5 mab : x 4,5 s 0. m verläuft durch den Mittelpunkt 4,75 4,5,5 AS Ein beliebiger Richtungsvektor w von M der Strecke AS. AS m AS ist senkrecht sowohl zum Vektor 0,5 AS 0,5 als auch zum Normalenvektor n 0 wie oben. Dies ist z. B. für w 5 der Fall. Es gilt 4,75 mas : x 4,5 t 5.,5 5 4,75 xm 4,5 sm 0 4,5 tm 5,5 ergibt tm 0,05 und sm 0,. Der gesuchte Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist M 4,8 4,5,4.

5 Seite 5 von 4,8 () Der Laserstrahl verläuft entlang der Geraden l : x 4,5 r 0 parallel zur, 4 x-z-ebene. Offenbar befindet sich die gesuchte Position P der Laser-Lichtquelle an der vorderen Hallenwand (vgl. Abbildung). Daher gilt für die x-koordinate von P: xp ,8 Aus xp yp 4,5 r 0 ergibt sich r, und zp 3,5. [Für xp 0 ergäbe z P, 4 sich r,4 und z und somit eine Position P unterhalb der Halle.] P P (9 4,5 3,5) ist die gesuchte Position der Laser-Lichtquelle an der Wand der Halle. [Andere Argumentationen sind möglich.] Modelllösung e) Der Laserstrahl verläuft entlang der Geraden 98 QR : x 7 r 4. [Da seine Ausbreitung 33 auf die Halle, d. h. auf die Strecke QR beschränkt ist, gilt 0 r.] 50,5 Die Punkte der Ebene EBCS : x 5 s 0 t0,5 gehören genau dann zur Seiten- 0 fläche BCS der Pyramide, wenn gilt: s 0, t 0 und s t. [Bei anderer Wahl der Richtungsvektoren sind die Bedingungen für die Parameter entsprechend anzupassen.] Die Bedingung für den Schnittpunkt T der Geraden QR mit der Ebene E BCS ist 9850,5 48rT st 0,5tT 0 7 rt 4 5 st 0 tt 0,5 4rT 0,5tT rT tt Daraus ergibt sich r, s und t. Da s 0, t 0 und s t erfüllt ist [und die Laser-Lichtquelle oberhalb der Pyramide positioniert ist], trifft der zweite Laserstrahl die Seitenfläche BCS der Pyramide.

6 Seite 6 von 6. Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) () zeigt, dass die Pyramidenspitze die Koordinaten S (4,5 4,5 ) hat. 3 () berechnet die Seitenlängen des Dreiecks ABS. 3 3 (3) bestimmt das Volumen und den Oberflächeninhalt der Pyramide. 5 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe b) ermittelt, unter welchem Winkel die Seitenfläche ABS der Pyramide gegen ihre Grundfläche ABCD geneigt ist. Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 7 Teilaufgabe c) () ermittelt die Koordinaten der Eckpunkte des Schattendreiecks. 6 () zeigt, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt. 3 () berechnet seinen Flächeninhalt. 4 () beschreibt die Form des neuen Pyramidenschattens im Vergleich zum Schatten aus b) (). Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet.

7 Seite 7 von Teilaufgabe d) () bestimmt rechnerisch die Koordinaten von M. 8 () ermittelt die Koordinaten der Position der Laser-Lichtquelle an der Wand der Halle. 5 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe e) zeigt, dass der zweite Laserstrahl die Seitenfläche BCS der Pyramide trifft. 7 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet.

8 Seite 8 von 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) () zeigt, dass die 3 () berechnet die Seitenlängen 3 3 (3) bestimmt das Volumen 5 sachlich richtige Alternativen: () Summe Teilaufgabe a) EK ZK DK Teilaufgabe b) ermittelt, unter welchem 7 sachlich richtige Alternativen: (7) Summe Teilaufgabe b) 7 EK ZK DK EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur

9 Seite 9 von Teilaufgabe c) () ermittelt die Koordinaten 6 () zeigt, dass es 3 () berechnet seinen Flächeninhalt. 4 () beschreibt die Form sachlich richtige Alternativen: () Summe Teilaufgabe c) EK ZK DK Teilaufgabe d) () bestimmt rechnerisch die 8 () ermittelt die Koordinaten 5 sachlich richtige Alternativen: (3) Summe Teilaufgabe d) 3 EK ZK DK Teilaufgabe e) zeigt, dass der 7 sachlich richtige Alternativen: (7) Summe Teilaufgabe e) 7 EK ZK DK Summe insgesamt 50

10 Seite 0 von Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der dritten bearbeiteten Aufgabe 50 der gesamten Prüfungsleistung 50 aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß 3 Abs. APO-GOSt EK ZK DK Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: Die Klausur wird abschließend mit der Note: ( Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum

11 Seite von Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den en ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus 7 0 gut 9 3 gut minus 0 05 befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend ausreichend minus mangelhaft plus mangelhaft mangelhaft minus ungenügend 0 9 0