Tutorial: Vergleich von Anteilen

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1 Tutorial: Vergleich von Anteilen Die Sicherung des Pensionssystems ist in vielen Ländern ein heikles Thema. Noch stärker als der Streit, wer wann welche Pension beziehen können soll, tobt ein Streit, welche Maßnahmen ergriffen werden sollen oder müssen, um in Zukunft das Pensionssystem finanzierbar zu halten. Eine Umfrage (n = 322) über die Zustimmung zu Maßnahmen der Regierung, mit der zukünftige Pensionen gesichert werden sollen, wird durchgeführt. Eine Unterscheidung der Befragten in Sympathisanten der Regierung bzw. der Opposition bei der Auszählung brechte folgendes Ergebnis.

2 Sympathisant Zustimmung Regierung Opposition Pro Contra Ist die Zustimmung bei Sympathisanten der Regierung anders als bei Sympathisanten der Opposition?

3 Zur Beantwortung dieser Frage wurde ein Chi-Quadrat-Test mit folgendem Ergebnis gerechnet: Pearsons Chi-squared test data: pension X-squared = 3.07, df = 1, p-value =

4 Welche der folgenden Aussagen über diesen Test sind richtig, welche falsch? 1. Mit einem Chi-Quadrat-Test können nicht die Anteile von zwei Gruppen verglichen werden. 2. Die Nullhypothese lautet: Der Anteil der Befürwortern der Regierung ist gleich wie bei den Sympathisanten der Opposition. 3. Der p-wert liegt über 5%, also kann man von signifikanten Unterschieden in der Zustimmung zwischen den beiden Gruppen sprechen.

5 1. Mit einem Chi-Quadrat-Test können nicht die Anteile von zwei Gruppen verglichen werden. Falsch. Mit einem Chi-Quadrat-Test können die Anteilswerte in zwei Gruppen verglichen werden. 2. Die Nullhypothese lautet: Der Anteil der Befürwortern der Regierung ist gleich wie bei den Sympathisanten der Opposition. Richtig. In der Nullhypothese des Chi-Quadrat-Homogenitätstests lautet, dass sich die Verteilung einer kategorialen Variable (hier Zustimmung) in den einzelnen Gruppen nicht unterscheidet. 3. Der p-wert liegt über 5%, also kann man von signifikanten Unterschieden in der Zustimmung zwischen den beiden Gruppen sprechen.

6 Falsch. Ist der p-wert eines Tests so wie in diesem Fall größer als das Signifikanzniveau (5%), so wird die Nullhypothese beibehalten.

7 Es liegen kategoriale Daten vor. Bei 322 Befragten (Beobachtungseinheiten) wurden jeweils zwei kategoriale Variable beobachtet. Die eine (Zustimmung) gibt an, ob die befragte Person mit den getroffenen Maßnahmen einverstanden ist oder nicht. Die andere Variable gibt an, ob die befragte Person Sympathisant einer Regierungspartei oder der Opposition ist. Die einfache Auszählung dieser Daten führt zu einer (2x2)-Kontingenztabelle, zu Beginn des Beispiels werden diese Ergebnisse präsentiert. Es soll überprüft werden, ob sich der Anteil der Befürworter in Gruppe der Regierungssympathisanten vom Anteil der Befürworter in Gruppe der Oppositionssympathisanten unterscheidet. Dazu kann der Chi-Quadrat-Homogenitätstest eingesetzt werden. Die Nullhypothese lautet: Die Verteilung der Variablen Zustimmung ist gleich in beiden Gruppen. Die Alternativhypothese ist deren Verneinung.

8 Der Test basiert auf dem Vergleich der beobachteten Häufigkeiten (das sind die Werte aus der Kontingenztabelle) mit erwarteten Häufigkeiten, wenn die Nullhypothese gilt. Auf die Berechnung der erwarteten Häufigkeiten sowie der Teststatistik soll hier nicht explizit eingegangen werden, sie erfolgt wie bei jedem Homogenitätstest. Für die Teststatistik gilt, dass kleine Werte (nahe 0) eher für, große Werte gegen die Nullhypothese sprechen. Der Wert der Teststatistik (X-squared = 3.07) findet sich im Output wieder. Die Verteilung der Teststatistik ist zumindest asymptotisch bekannt, es ist eine χ 2 - Verteilung. Die Freiheitsgrade bestimmt man, indem man von jedem Faktor die Anzahl der Kategorien um 1 vermindert und mit einander multipliziert; hier also df = (2 1) (2 1) = 1 (im Output df=1). Man kann daher (zumindest asymptotisch) berechnen, wie wahrscheinlich Werte im Intervall [3.07, ) sind; das ist gerade der p-wert (p-value) für diesen Test, er ist im ebenfalls im Output zu finden und beträgt

9 Ist der p-wert kleiner als das gewählte Signifikanzniveau, wird die Nullhypothese verworfen, ansonsten beibehalten.