2. Fraktale Geometrie

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Dieter Kruse
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1 2. Fraktale Geometrie Komplexe Systeme ohne charakteristische Längenskala z.b. Risse in festen Materialien, Küstenlinien, Flussläufe und anderes.. Skaleninvariante Systeme Gebrochene Dimensionen Fraktale Historie Albrecht Dürer 15. Jahrhundert Carl Friedrich Gauss 18. Jahrhundert Georg Cantor, Helge v. Koch, Waclaw Sierpinski, 19./20. Jahrh. Gaston Julia, Felix Hausdorff Benoit Mandelbrot 20. Jahrhundert Konzept der Dimension in regulären Systemen Systeme mit konstanter Dichte (z.b. lange Drähte, große dünne Platten, große gefüllte Würfel) Änderung der Masse M mit der linearen Größe des Systems L M(L) Kleiner Teil des Systems der linearen Größe b L (b<1) M(L) = b d M(L) Lösung M(L) = A L d Drähte: d=1 Platte: d=2 Würfel: d=3

2 M(L/2) = 1/2 M(L) d = 1 eindimensional M(L/2) = 1/4 M(L) d = 2 zweidimensional M(L/2) = 1/8 M(L) d = 3 dreidimensional

3 Die Koch Kurve Länge L(n) nach n Iterationen Deterministische Fraktale n = 0 L = L 0 n = 1 L 1 = 1/3 L 0 L = 4/3 L 0 n = 2 L 2 = 1/3 L 1 = 1/9 L 0 L = 16/9 L 0

4 n = 3 L 3 = 1/3 L 2 = 1/9 L 1 = 1/27 L 0 L = 64/27 L 0 Bei jeder Iteration n: Verringerung der linearen Maßeinheit um einen Faktor b = 1/3 Verringerung der Segmentlänge um einen Faktor 1/4 Vergrößerung der Länge L um einen Faktor 4/3 M (1/3L) = 1/4 M (L)

5 Fraktale Dimension Vergleich der Gleichungen: Verallgemeinerung: M(1/3L) = 1/4 M(L) M(bL) = b d M(L) M(bL) = b df M(L) = Al df 1/4 = (1/3) d d = log 4/log 3 d = 1,262 gebrochene Dimension ( frangere : lateinisch brechen ) d f : fraktale Dimension des fraktalen Objekts oder Fraktals Das Fraktal besitzt ein zentrales Objekt, das bei jeder Iteration in verkleinerter Form wiederkehrt Selbstähnlichkeit oder Skaleninvarianz n L Geschlossene Kurve: Unendliche Länge bei endlicher Fläche n endlich: Grenzen in L: L min = L 0 ; L max

6 Weitere Beispiele für deterministische Fraktale Sierpinski Gasket Objekt: Gleichseitiges Dreieck Teilung in vier gleichgroße Dreiecke Entfernen des mittleren Dreiecks d f = log3/ log2 =1.585 Sierpinski Carpet Objekt: Quadrate Teilung in n 2 Quadrate Entfernen von k Quadraten M 1 n L = 1 n 2 k M (L) d f = log(n 2 k) / logn n = 5 k = 9 d f = log16 / log5 =1.723

7 Sierpinski Sponge Objekt: Würfel n=1 Teilung in 3x3x3 = 27 kleinere Würfel Entfernen des zentrierten Würfels und seiner 6 nächsten Nachbarn Reduzierung des Volumens bei jeder Iteration um den Faktor 20/27 d f = log20 / log3 = 2.727

8 Dürer Pentagon Jedes Pentagon wird bei jeder Iteration in sechs kleinere Pentagons und fünf gleichschenklige Dreiecke aufgeteilt, wobei die Dreiecke entfernt werden. Die Längen der größeren Seite zur kleineren Seite der Dreiecke verhalten sich wie der goldene Schnitt (proportio divina, golden ratio). n=0 n=1 n=2 g = 1 / (2 cos 72 ) = (1 + 5) / 2 Reduzierung der Seiten des Pentagons bei jeder Iteration um 1+g M ( L 1 + g ) = 1 6 M (L) Fraktale Dimension des Dürer Pentagons: d f = log 6 / log(1 + g) = 1,863

9 Das Dürer Pentagon nach fünf Iterationen. Das Dürer Pentagon ist in blauer Farbe und sein externer Perimeter in roter Farbe dargestellt. (M. Meyer)

10 Davids - Stern Reguläre Sechsecke Bei jeder Iteration Aufteilung eines Sechsecks in sechs kleinere Sechsecke n=0 n=1 n=2 Fraktale Dimension: d f log 6 / log 3

11 Mandelbrot Fraktal Wichtig bei der Diskussion des Perkolationsclusters Elemente: Linien, Schleifen, offene Enden Generation Nach jeder Generation wird ein Längensegment der Länge a durch 8 Segmente der Länge a/3 ersetzt Fraktale Dimension: d f = log8 / log 3 = 1,893 Perkolation in 2 Dimensionen: d f = 91 / 46 = 1,896 Gerüst Enden des Mandelbrot Fraktals: Singuläre Verbindungen: rote Verbindungen Fraktale Dimension des Gerüsts: d b = log 6 / log 3 = 1,63 Fraktale Dimension der singulären Verbindungen: d rot = log2 / log 3 = 0,63

12 Cantor Satz Nicht verbundene Fraktale ( fractal dust ) Ein Einheitsintervall wird in drei Teile aufgeteilt, wobei das mittlere Teil entfernt wird. usf. n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 M 1 3 L = 1 2 M (L) Fraktale Dimension: d f = log2 / log 3 = <1 Wichtig bei der Behandlung chaotischer Systeme.

13 Selbstähnlichkeit eines natürlichen Fraktals Elektrolytisch abgeschiedenes Kupfer

14 Sandbox Methode Bestimmung der fraktalen Dimensionen Wahl eines Aufpunktes des fraktalen Objekts Zeichnen von n Kreisen mit den Radien R 1 < R 2 <...< R n (R n kleiner als Abmessung des fraktalen Objekts) Abzählen der Punkte (Pixel) M1 (R i ) innerhalb jedes Kreises i Wiederholen dieser Prozedur für anders gewählte Aufpunkte (insgesamt m Aufpunkte) Wiederholen dieser Prozedur für anders gewählte Punkte M j (R i ), j=2, 3,...,m innerhalb jedes Kreises Mittlere Zahl der Punkte M(R i ) innerhalb jedes Kreises durch Mittelwertbildung M R i = 1 m m j =1 M R j i Auftragen M(R i ) als Funktion von R i in einem doppellogarithmischen Diagramm Die Steigung der Kurve gibt dann die fraktale Dimension.

15 Box Counting Methode Erstellung eines Gitternetzes über das fraktale Objekt mit N 2 Quadraten Bestimmung der Zahl der Quadrate S(N 1 ), die notwendig ist, um das fraktale Objekt vollständig zu überdecken. Verfeinerung der Netzgröße mit Sandbox Method N 12 < N 22 <N 32 <...<N m 2 Berechnung der Zahl der Quadrate S(N 1 )...S(N m ), die notwendig sind, um das fraktale Objekt zu überdecken. S(N) N -d d f f Die fraktale Dimension d f ergibt sich aus der Steigung der Geraden, wenn man S(N) als Funktion von 1/N doppellogarithmisch aufträgt. Box Counting Method

16 Triadische Flocke Quadratische Flocke n=0 n=1 n=2

17 Gleichmäßig strukturierter Gang Messung der fraktalen Dimension eines natürlichen Fraktals Digitalisierung des Randes Wahl der Schrittlänge (n=22) Bestimmung der Seitenlänge (z.b. Satz des Pythagoras) : Auflösung F D : Feret - Durchmesser (maximaler Durchmesser) Normierung der Polyglon Abschätzung auf F D Konstruktion des Richardson - Plots

18 Richardson - Plot Normierter abgeschätzter Umfang

19 Richardson Plot für Triadische und Quadratische Flocke Bestimmung der fraktalen Dimension für deterministische Fraktale mit dem Verfahren des strukturierten Gangs 10 4 Berechneter Umfang Analytische Bestimmung der fraktalen Dimension: Quadratische Flocke: d f = 1.50 Triadische Flocke: d f = Umfang, normiert auf die Seitenlänge in der Ausgangssituation

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