Teil V. Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie

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1 Teil V Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie

2 Zwei Sorten von Grammatiken Kontextsensitive Grammatik (CSG) (Σ, V, P, S), Regeln der Form αaβ αγβ α, β (Σ V ), A V, γ (Σ V ) +. Wenn S nie auf einer rechten Seite einer Regel vorkommt, erlauben wir auch S ε. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 1 / 11

3 Zwei Sorten von Grammatiken Kontextsensitive Grammatik (CSG) (Σ, V, P, S), Regeln der Form αaβ αγβ kontextsensitive Sprache: wird von CSG erzeugt. α, β (Σ V ), A V, γ (Σ V ) +. Wenn S nie auf einer rechten Seite einer Regel vorkommt, erlauben wir auch S ε. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 1 / 11

4 Zwei Sorten von Grammatiken Kontextsensitive Grammatik (CSG) (Σ, V, P, S), Regeln der Form αaβ αγβ α, β (Σ V ), A V, γ (Σ V ) +. kontextsensitive Sprache: wird von CSG erzeugt. CSL: Klasse der kontextsensitiven Sprachen. Wenn S nie auf einer rechten Seite einer Regel vorkommt, erlauben wir auch S ε. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 1 / 11

5 Zwei Sorten von Grammatiken Kontextsensitive Grammatik (CSG) (Σ, V, P, S), Regeln der Form αaβ αγβ α, β (Σ V ), A V, γ (Σ V ) +. Monotone Grammatik (Σ, V, P, S), Regeln der Form α β kontextsensitive Sprache: wird von CSG erzeugt. CSL: Klasse der kontextsensitiven Sprachen. Wenn S nie auf einer rechten Seite einer Regel vorkommt, erlauben wir auch S ε. mit α, β (Σ V ), α β. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 1 / 11

6 Äquivalenz der Grammatiktypen Von monotoner Grammatik zu CSG 1 Stelle sicher, dass Regeln die folgende Form haben: 1 α β, mit α, β V +, oder 2 A a, mit A V, a Σ. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 2 / 11

7 Äquivalenz der Grammatiktypen Von monotoner Grammatik zu CSG 1 Stelle sicher, dass Regeln die folgende Form haben: 1 α β, mit α, β V +, oder 2 A a, mit A V, a Σ. 2 Zerlege Regeln α β mit α 2. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 2 / 11

8 Äquivalenz der Grammatiktypen Von monotoner Grammatik zu CSG 1 Stelle sicher, dass Regeln die folgende Form haben: 1 α β, mit α, β V +, oder 2 A a, mit A V, a Σ. 2 Zerlege Regeln α β mit α 2. Diese haben die Form A 1 A m B 1 B n mit m, n N >0, 2 m n Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 2 / 11

9 Zerlegen von Regeln Zu zerlegende Regel A 1 A m B 1 B n mit m, n N >0, 2 m n. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 3 / 11

10 Zerlegen von Regeln Zu zerlegende Regel A 1 A m B 1 B n mit m, n N >0, 2 m n. A 1 A 2 A m X 1 A 2 A m, Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 3 / 11

11 Zerlegen von Regeln Zu zerlegende Regel A 1 A m B 1 B n mit m, n N >0, 2 m n. A 1 A 2 A m X 1 A 2 A m, X 1 A 2 A m X 1 X 2 A 3 A m, Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 3 / 11

12 Zerlegen von Regeln Zu zerlegende Regel A 1 A m B 1 B n mit m, n N >0, 2 m n. A 1 A 2 A m X 1 A 2 A m, X 1 A 2 A m X 1 X 2 A 3 A m,. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 3 / 11

13 Zerlegen von Regeln Zu zerlegende Regel A 1 A m B 1 B n mit m, n N >0, 2 m n. A 1 A 2 A m X 1 A 2 A m, X 1 A 2 A m X 1 X 2 A 3 A m,. X 1 X 2 X m 1 A m X 1 X 2 X m B m+1 B n, Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 3 / 11

14 Zerlegen von Regeln Zu zerlegende Regel A 1 A m B 1 B n mit m, n N >0, 2 m n. A 1 A 2 A m X 1 A 2 A m, X 1 A 2 A m X 1 X 2 A 3 A m,. X 1 X 2 X m 1 A m X 1 X 2 X m B m+1 B n, X 1 X 2 X m B m+1 B n B 1 X 2 X m B m+1 B n, Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 3 / 11

15 Zerlegen von Regeln Zu zerlegende Regel A 1 A m B 1 B n mit m, n N >0, 2 m n. A 1 A 2 A m X 1 A 2 A m, X 1 A 2 A m X 1 X 2 A 3 A m,. X 1 X 2 X m 1 A m X 1 X 2 X m B m+1 B n, X 1 X 2 X m B m+1 B n B 1 X 2 X m B m+1 B n,. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 3 / 11

16 Zerlegen von Regeln Zu zerlegende Regel A 1 A m B 1 B n mit m, n N >0, 2 m n. A 1 A 2 A m X 1 A 2 A m, X 1 A 2 A m X 1 X 2 A 3 A m,. X 1 X 2 X m 1 A m X 1 X 2 X m B m+1 B n, X 1 X 2 X m B m+1 B n B 1 X 2 X m B m+1 B n,. B 1 B m 1 X m B m+1 B n B 1 B n, Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 3 / 11

17 Beispiel 1 G := (Σ, V, P, S), Σ := {a, b, c}, V := {S, A, B, C}, P := {S SABC, S ABC} { XY Y X X, Y {A, B, C} } {A a, B b, C c}. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 4 / 11

18 Beispiel 2 G := (Σ, V, P, S), Σ := {a, b, c}, V := {S, B} P := {S asbc, S abc, cb Bc, bb bb}. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 5 / 11

19 Beispiel 3 Sei Σ ein Alphabet. G := (Σ, V, P, S), V := {S} {L a, R a, X a a Σ}, P := {S asx a a Σ} {S L a R a a Σ} {R a X b X b R a a, b Σ} {R a a a Σ} {L a X b L a R b a, b Σ} {L a a a Σ}. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 6 / 11

20 Zwei Beobachtungen zu CSL Satz CFL CSL Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 7 / 11

21 Zwei Beobachtungen zu CSL Satz CFL CSL Satz Das Wortproblem für monotone Grammatiken ist entscheidbar. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 7 / 11

22 Ein Maschinenmodell für CSL Eingabeband w Kontrolle Arbeitsband Linear beschränkte Turingmaschine (LBA) Eingabeband (nur Lesen, beide Richtungen) nichtdeterministische endliche Kontrolle, Arbeitsband (Lesen und Schreiben, beide Richtungen) Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 8 / 11

23 LBAs und CSL Satz Eine Sprache L ist genau dann kontextsensitiv, wenn Sie von einem LBA akzeptiert wird. Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 9 / 11

24 LBAs und CSL Satz Eine Sprache L ist genau dann kontextsensitiv, wenn Sie von einem LBA akzeptiert wird. Idee simuliere monotone Grammatik in LBA möglich, da nur Satzformen beschränkter Länge betrachtet werden müssen Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 9 / 11

25 LBAs und CSL Satz Eine Sprache L ist genau dann kontextsensitiv, wenn Sie von einem LBA akzeptiert wird. Idee simuliere monotone Grammatik in LBA möglich, da nur Satzformen beschränkter Länge betrachtet werden müssen Idee simuliere LBA in monotoner Grammatik Satzform entspricht Arbeitsband Jenseits von CFL Kontextsensitive Sprachen 9 / 11

26 Allgemeine Grammatiken Phrasenstrukturgrammatik (PSG) G := (Σ, V, P, S) Regeln α β mit α, β (Σ V ) Jenseits von CFL Die Chomsky-Hierarchie 10 / 11

27 Allgemeine Grammatiken Phrasenstrukturgrammatik (PSG) G := (Σ, V, P, S) Regeln α β mit α, β (Σ V ) Satz Sei Σ, L Σ. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1 Es existiert eine Phrasenstrukturgrammatik G mit L(G) = L. 2 Es existiert eine Turingmaschine M mit L(M) = L. 3 Die Sprache L ist rekursiv aufzählbar. Jenseits von CFL Die Chomsky-Hierarchie 10 / 11

28 Allgemeine Grammatiken Phrasenstrukturgrammatik (PSG) G := (Σ, V, P, S) Regeln α β mit α, β (Σ V ) RE: Klasse der rekursiv aufzählbaren Sprachen. Satz Sei Σ, L Σ. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1 Es existiert eine Phrasenstrukturgrammatik G mit L(G) = L. 2 Es existiert eine Turingmaschine M mit L(M) = L. 3 Die Sprache L ist rekursiv aufzählbar. Jenseits von CFL Die Chomsky-Hierarchie 10 / 11

29 Die Chomksky-Hierarchie Satz REG CFL CSL RE Jenseits von CFL Die Chomsky-Hierarchie 11 / 11

30 Die Chomksky-Hierarchie Satz REG CFL CSL RE Grammatik Automatenmodell Sprachklasse Typ 0 Turingmaschine RE PSG Typ 1 LBA CSL CSG Typ 2 PDA CFL CFG Typ 3 endlicher Automat REG reg. G. Jenseits von CFL Die Chomsky-Hierarchie 11 / 11