e) Beim klassischen Signifikanztest muß die Verteilung der Prüfgröße unter der Nullhypothese

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1 9 Hypothesentests 1 Kapitel 9: Hypothesentests A: Übungsaufgaben: [ 1 ] Bei Entscheidungen über das Ablehnen oder Nichtablehnen von Hypothesen kann es zu Irrtümern kommen. Mit α bezeichnet man dabei die Wahrscheinlichkeit, die Hypothese abzulehnen, obwohl sie richtig ist. Mit β bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit, die Hypothese nicht abzulehnen, obwohl sie falsch ist. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) α und β sind Irrtumswahrscheinlichkeiten. b) Beim klassischen Signifikanztest gilt stets α β 0.1. c) Beim klassischen Signifikanztest kann man die Wahrscheinlichkeit α klein halten. d) Die Idee des klassischen Signifikanztests läßt die Wahrscheinlichkeit β unberücksichtigt. e) Beim klassischen Signifikanztest muß die Verteilung der Prüfgröße unter der Nullhypothese bekannt sein. [ 2 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an! Fällt die Prüfgröße bei einem Signifikanztest in den Ablehnungsbereich, so ist die Nullhypothese a) mit verändertem Signifikanzniveau erneut zu prüfen. b) immer richtig. c) immer falsch. d) durch das Stichprobenergebnis beim Signifikanzniveau α widerlegt. e) durch das Stichprobenergebnis bei einem Signifikanzniveau größer α widerlegt.

2 9 Hypothesentests 2 [ 3 ] In einer Universitätsstadt will ein Kinobesitzer die Behauptung absichern lassen, dass sein Publikum zu mehr als 80 % aus Studenten besteht. 200 Kinobesucher werden zufällig ausgewählt und befragt. Es waren 180 Studenten darunter. Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = 0.1 durch. b) Berechnen Sie die Prüfgröße Z. Z = c) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich. A = d) Geben Sie den R Befehl an, mit dem Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen können, dass unter H 0 ein Wert Z angenommen wird. R Befehl =

3 9 Hypothesentests 3 [ 4 ] Die mittlere Brenndauer der in einer Fabrik gefertigten Radioröhren betrug 2000 Stunden. Nach einer Änderung des Produktionsverfahrens wird eine Probeserie vom Umfang n = 128 angefertigt und geprüft. Für diese Stichprobe wurde ein Mittelwert von 2100 Stunden und eine Varianz S 2 von 50 Stunden 2 errechnet. Bei einem Signifikanzniveau α soll die Vermutung abgesichert werden, dass sich die mittlere Brenndauer erhöht habe. Als Ablehnungsbereich für T wurde approximativ durch die Standardnormalverteilung A = [1.6; ) ermittelt. b) Wie groß war das Signifikanzniveau α? α = c) Berechnen Sie die Prüfgröße T. T = d) Ermitteln Sie den P Wert mit Hilfe der approximativen Normalverteilung und geben Sie den entsprechenden R Befehl an. P Wert R Befehl = [ 5 ] Der Starspieler eines Basketballvereins behauptet, in weniger als 36% aller Wurfversuche daneben zu werfen, was ihm der Trainer nicht glaubt. Aufgrund der Ergebnisse in einem Bundesligaspiel, in dem er bei 36 Wurfversuchen 9 mal nicht traf, will der Spieler seine Behauptung untermauern. (Die Wurfversuche sind als unabhängige Versuche zu betrachten.) Führen Sie den entsprechenden Test bei einem α = 0.05 durch. Z = A =

4 9 Hypothesentests 4 [ 6 ] Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 25 gezogen. Für den Stichprobenmittelwert x ergibt sich ein Wert von 58.6 und für die Stichprobenvarianz S 2 = 6. Es wird vermutet, daß der Mittelwert der Grundgesamtheit kleiner als 60 ist. Diese Vermutung soll bei einem Signifikanzniveau α bestätigt werden. Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durch. b) Berechnen Sie die Prüfgröße T. T = c) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich A. A = d) Geben Sie den R Befehl an, um den P Wert zu ermitteln. R Befehl = e) Schätzen Sie den P Wert mit Hilfe der Tabelle auf Seite 277 im Skript nach oben hin ab. P Wert f) Wird der Test bei α = 0.01 bzw. α = 0.05 verworfen? (Ja/Nein) α = 0.01 : α = 0.05 :

5 9 Hypothesentests 5 [ 7 ] Bei der Befragung von 400 zufällig ausgesuchten Kinobesuchern wurde festgestellt, dass 90% der Befragten Kriminalfilme allen anderen Filmen vorziehen. Es soll die Hypothese geprüft werden, dass diese Aussage für 80% aller Kinobesucher zutrifft. Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durch. b) Berechnen Sie die Prüfgröße Z. Z = c) Ermitteln Sie den P Wert mit Hilfe der Tabelle im Skript und geben Sie den entsprechenden R Befehl an. P Wert = R Befehl = [ 8 ] Die Fertigungsvorbereitung eines Betriebes weiß erfahrungsgemäß, dass ein bestimmter Produktionsprozess mit einem Ausschussanteil von 10 % läuft. Nach einer Änderung des Produktionsverfahrens will man mit Hilfe einer Zufallstichprobe vom Umfang n = 900 aus zunächst produzierten Einheiten feststellen, ob überhaupt eine qualitative Veränderung positiver oder negativer Art des Produktionsprozesses eingetreten ist. 36 der 900 untersuchten Einheiten stellten sich als Ausschuss heraus. Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifkanzniveau von α = 0.05 durch. Z = A = P Wert =

6 9 Hypothesentests 6 [ 9 ] Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit wurde eine Stichprobe der Größe n = 400 gezogen. Es sei x = und S = 1.36 gegeben. Es soll die Nullhypothese H 0 : µ = 13 überprüft werden. Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durch. (Hinweis: Da die Stichprobengröße n sehr groß ist, verwenden Sie bei der Berechnung des t Quantils die Approximation durch die Normalverteilung.) Z = A = Geben Sie den R Befehl an, um den P Wert zu ermitteln. R Befehl = [ 10 ] Ein Abfüllautomat liefert Kaffeepakete, deren Füllgewicht erfahrungsgemäß eine Standardabweichung von σ = 3g aufweist. Es soll die Hypothese überprüft werden, dass das durchschnittliche Füllgewicht eines Paketes höchstens 500 g beträgt. Aus einer Zufallsstichprobe (n = 100), die der laufenden Produktion entnommen wurde, erhielt man einen Mittelwert von x = g. Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = durch. b) Berechnen Sie die Prüfgröße Z. Z = c) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich. A = d) Ermitteln Sie den P Wert und geben Sie den entsprechenden R Befehl an. P Wert = R Befehl =

7 9 Hypothesentests 7 [ 11 ] Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern µ und σ 2. Aufgrund einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 10 ergibt sich ein Stichprobenmittelwert x = 6 und eine Stichprobenvarianz von S 2 = 3.6. Es soll die Hypothese H 0 : µ 6.5 getestet werden. Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = durch. b) Berechnen Sie die Prüfgröße T. T = c) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich. A = d) Ermitteln Sie den P Wert mit Hilfe der approximativen Normalverteilung und geben Sie den R Befehl an, um den exakten P Wert zu bestimmen. P Wert R Befehl =

8 9 Hypothesentests 8 [ 12 ] Ein bekannter bayerischer Fußballklub ist im letzten Jahr vor allem durch spektakuläre Eigentore und unerwartete Niederlagen aufgefallen und in eine sportliche Krise geraten. Nachdem in höchster Not bereits Ex-Nationaltorhüter Tony Shoemaker verpflichtet wurde, will der neue Trainer, Sir Let-it-be, auch den erfahrenen Altinternationalen Francis Basinbuilder reaktivieren. Zwar hat Francis Basinbuilder schon seit einigen Jahren kein Punktspiel mehr bestritten, doch behauptet er, er würde aus 11 m Entfernung noch immer bei mehr als 50 % aller Schussversuche das leere Tor treffen. Daraufhin trifft Ol Man Highness, der pfiffige Manager des Vereins, die Entscheidung, Basinbuilder solle seine Behauptung zunächst in einem Probetraining untermauern. Basinbuilder erwischt beim Probetraining einen guten Tag und trifft in 56 von 100 Schussversuchen das leere Tor. Kann er damit seine Behauptung bei einem Signifikanzniveau von 5 % statistisch absichern? Führen Sie den entsprechenden Test durch. b) Berechnen Sie die Prüfgröße Z. Z = c) Bestimmen Sie den standardisierten Ablehnungsbereich. A = d) Bestimmen Sie den nicht standardisierten Ablehnungsbereich. A =

9 9 Hypothesentests 9 [ 13 ] Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit wird eine zufällige Stichprobe vom Umfang n = 24 gezogen. Für den Stichprobenmittelwert x ergibt sich ein Wert von 989. Als Schätzer für die Varianz von x erhält man S 2 = 600. Zu prüfen sei die Hypothese, dass der Mittelwert µ der Grundgesamtheit gleich 1000 ist. Führen Sie den entsprechenden Test zum Signifikanzniveau von α = 0.01 durch. T = A = Benutzen Sie die folgenden R Ausgabe, um den P Wert zu bestimmen. > round(pt(seq(-3,-2,0.1),23),digits=4) [1] [11] P Wert =

10 9 Hypothesentests 10 [ 14 ] Im Rahmen des Qualitätsmanagements spielt die Varianz als Qualitätsmaß eine bedeutende Rolle. Eine Fertigungsanlage für Prozessoren fertigte bisher Prozessoren mit einer Leiterbahnbreite von 18 Mikrometern und einer Varianz von Nach einer Rationalisierung des Produktionsverfahrens wurde im Rahmen einer Qualtitätskontrolle eine Stichprobe vom Umfang n = 10 gezogen. Dabei ergab sich eine geschätzte Varianz von S 2 = Sie möchten statistisch absichern, dass sich die Varianz durch die Rationalisierungsmaßnahmen verringert hat. Überlegen Sie sich zunächst, wie Sie Hypothese und Alternative für diesen Fall formulieren. Denken Sie daran, dass im Rahmen des Qualitätsmanagements die Varianz möglichst klein sein sollte. 1) Formulieren Sie die Nullhypothese: 2) Berechnen Sie die Prüfgröße PG für die Varianz. PG= 3) Welche Verteilung besitzt die Prüfgröße? Geben Sie deren Parameter an. Verteilung = Parameter = 4) Fällt die Prüfgröße bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 in den Ablehnungsbereich A? Welche Folgerungen lassen sich hieraus für die Nullhypothese ableiten (verwerfen / nicht verwerfen)? PG in A (Ja/Nein)= Folgerung: 5) Benutzen Sie folgende R Ausdrucke, um den P Wert zu bestimmen. > round(pchisq(1:6,10),digits=4) [1] > round(pchisq(1:6,9),digits=4) [1] P Wert = 6) Wie groß wäre die Irrtumswahrscheinlichkeit, wenn Sie die H 0 ablehnen würden? Irrtumswahrscheinlichkeit =

11 9 Hypothesentests 11 [ 15 ] Die Belegschaft eines großen Industriebetriebes vermutet, dass die tariflich vereinbarte Arbeitszeit von 37.5 (Maßeinheit ist im folgenden immer Stunden/Woche) im Durchschnitt überschritten wird. Die Gewerkschaft befragt 225 zufällig ausgewählte Belegschaftsmitglieder nach ihrer tatsächlichen Arbeitszeit der letzten Woche. Es ergeben sich ein Stichprobenmittelwert x von 37.7 und eine Stichprobenstandardabweichung S von 1.2. Kann die Vermutung der Belegschaft bei einem Signifikanzniveau von 10% statistisch abgesichert werden? Führen Sie den entsprechenden Test durch. b) Berechnen Sie die Prüfgröße T. T = c) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich A mit Hilfe der approximativen Normalverteilung. A = d) Ermitteln Sie den P Wert mit Hilfe der approximativen Normalverteilung und geben Sie den entsprechenden R Befehl an. P Wert R Befehl =

12 9 Hypothesentests 12 [ 16 ] Mit dem Datensatz daten wurde in R ein t-test durchgeführt: t.test(daten,alternative='two.sided',mu=0) One Sample t-test data: daten t = , df = 99, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an. a) Es wurde die Hypothese µ = 0 gegen die Alternative H 1 : µ 0 getestet. b) Wäre die Alternative H 1 : µ > 0, so würde man die Hypothese H 0 : µ 0 bei α = 0.1 verwerfen. c) Der Stichprobenumfang war n = 100. d) Der Befehl pt(1.4938, 99) bewirkt die (auf vier Stellen gerundete) Ausgabe e) Auch die H 0 : µ = 0.3 kann bei α = 0.05 nicht verworfen werden. [ 17 ] Welche der folgenden Aussagen sind im Zusammenhang mit dem klassischen Signifikanztest WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Eine Nullhypothese, die beim 5% Signifikanzniveau verworfen wird, wird auch beim 10% Signifikanzniveau verworfen. b) Das Signifikanzniveau ist die maximale Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese irrtümlicherweise zu verwerfen, obwohl sie richtig ist. c) Wenn man die Nullhypothese nicht verwerfen kann, heißt das, daß sie richtig ist. d) Die Prüfgröße liegt nur dann im Ablehnungsbereich, wenn die Nullhypothese falsch ist. e) Wenn die Nullhypothese richtig ist, kann die Prüfgröße nicht im Ablehnungsbereich liegen.

13 9 Hypothesentests 13 B: Klausuraufgaben: [ 18 ] IV07S2 Der Hypothesentest über den Erwartungswert µ einer Population bei unbekannter Varianz ergab bei einer Stichprobengröße von n = 16 eine Prüfgröße von PG = Es wurde die Nullhypothese µ = µ 0 gegen ihr Komplement getestet. Benutzen Sie folgende R-Bildschirmausgabe, um den P-Wert zu bestimmen. (Die Zahlen der zweiten Ausgabe sind auf drei Nachkommastellen gerundet.) PG pt(pg,15) Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Nullhypothese wird für große und für kleine Werte von PG abgelehnt. b) Der P-Wert ist c) Der P-Wert ist d) Unter der Nullhypothese gilt P(PG 1.55) = e) Die Nullhypothese wird nur für kleine P-Werte abgelehnt.

14 9 Hypothesentests 14 C: Lösungen: 1) a, c, d, e 2) d, e 3) H 0 : π 0.8 ; ; [1.28, ) ; pnorm(3.536) 4) H 0 : µ 2000 ; ; 160 ; 0 ; 1-pnorm(160) 5) ; (-,-1.645] 6) H 0 : µ 60 ; ; [-,-1.71) ; pt(-2.858,24) ; 0 ; Ja ; Ja 7) H 0 : π = 0.8 ; 5 ; 0 ; 2*(1-pnorm(5)) 8) -6 ; (-,-1.96];[1.96, ) ; 0 9) 4 ; (-,-1.96];[1.96, ) ; 2*(1-pnorm(4)) 10) H 0 : µ 500 ; 2 ; [1.96, ) ; ; 1-pnorm(2) 11) H 0 : µ 6.5 ; ; (-,-2.26] ; ; pt(-0.833,9) 12) H 0 : π 0.5 ; 1.2 ; [1.645, ) ; [58.225,100] 13) -2.2 ; (-,-2.81];[2.81, ) ; ) H 0 : σ ; 5 ; χ 2 Verteilung ; 9 ; Nein ; nicht verwerfen ; ; ) H 0 : µ 37.5 ; 2.5 ; [1.28, ) ; ; 1-pnorm(2.5) 16) a, b, c, e 17) a, b 18) a, d, e