1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse

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2 8 1. Mahemaische Grundlagen und Grundkennnisse Aufgabe 7: Gegeben sind: K = 1; = 18; p = 1 (p.a.). Berechnen Sie die Zinsen z Lösung: z = 1 = 5 36 Man beache, dass die kaufmännische Zinsformel als 3/36-Tagemehode genauer 3E/36-Mehode oder deusche Mehode verwende wird. Das bedeue, das Jahr wird in 12 gleich lange Monae zu je 3 Tagen unereil. Jeder Mona zähl genau 3 Zinsage und jedes Jahr umfass 36 Zinsage. Fäll ein Zinsermin auf den 31. Tag eines Monas, dann wird das Ereignis auf den 3. Tag des Monas geleg. Bei der Berechnung der Zinsen für einen Fälligkeiszeipunk ungleich 31. des Monas wird angenommen, dass der Mona 3 Tage besiz, auch wenn der Mona der Februar is. Zum Beispiel werden vom bis zum Zinsage veranschlag. Bei einem am 28.Februar endenden Geschäf umfass der Februar allerdings nur 28 Tage. Dies gil unabhängig vom Sarermin. Daneben exisier im inernaionalen Gebrauch die 3/36 -Mehode, bei der zur deuschen Mehode folgender Unerschied beseh: ende ein Geschäf an einem 31. und ha es nich am 3./31. eines Monas begonnen, dann wird das Geschäf im Schlussmona mi 31 Zinsagen gerechne. Ende das Geschäf am 28.2., dann bleib es bei 28 Zinsagen (lezer Mona wird also kalenderagegenau gerechne). In der Bankpraxis exisieren weiere Varianen: Hervorzuheben sind: Eurozinsmehode (acual/36-mehode, französische Mehode): die Zinsage werden kalendergenau gezähl, das Jahr umfass 36 Tage acual/365(fixed)-mehode: das Jahr umfass bei kalendergenauer Zählung der Zinsage 365 Tage. acual/acual-mehode (= acual/365-mehode; englische Mehode): wie acual/365(fixed); bei Schaljahren aber 366 Zinsage. Falls ein Zinszeiraum sowohl Tage im Schaljahr als auch Tage außerhalb des Schaljahres besiz, dann wird der Zins zeiraumabhängig nach Schaljahraneil und Nich- Schaljahraneil berechne: Zins = Kapial Nominalzinssaz (Anzahl der Tage im Schaljahr/366 + Anzahl der Tage außerhalb des Schaljahres/365). Beim sogenannen amlichen Rechnen (z.b. bei zivilrechlichen Auseinandersezungen) wird die acual/365-mehode verwende. Beispiel 3: Herr X zahl bei einer Bank am 28. Juli 2 8,- ein, am 13. Sepember 3 6,-, am 29. Sepember 1 2,- und am 18. November 3,-. Die Beräge werden jeweils vom zweien Tag nach der Einzahlung ab mi 3% verzins. Wie hoch is das Guhaben des Herrn X am 31. Dezember? Lösung: Um das durch Zinsen bis zum angewachsene Kapial zu besimmen, kann man den jeweils auf dem Kono sehenden Berag für so viele Tage verzinsen, wie er sich nich durch Einzahlung oder Auszahlung bzw.

3 1.6 Einfache Zinsen 9 Guschrif oder Lasschrif änder. Geschieh dies, so wird ab diesem Zeipunk mi dem nunmehr am Kono ausgewiesenen Berag in gleicher Weise verfahren, usw. Zinsen werden vom Tage der Wersellung des Kapials ab berechne. Dieser Termin, den man abgekürz auch mi Wer bezeichne, is auf Konoauszügen und dergleichen ses angegeben. Der Buchungsag is hingegen für die Zinsberechnung bedeuungslos. Wer Kapial Tage (bis zur Änderung) , , , , 4 Für den Zinsaneil z des Endkapials gemäß (7) erhäl man: z = 28, , , , 3 = ,4; Guhaben: 1 685,4. Aufgabe 8: Ein Kapial von 2, is bei einem Zinsfuß von i = 8% auf ein Jahr und 38 Tage ausgeliehen. Wie hoch sind die einfachen Zinsen am Ende der Laufzei? Lösung: 1 768,89. Aufgabe 9: Ein am eines Kalenderjahres ausgeliehenes Kapial is bei einem Zinssaz von i = 9 % bis 5.1. des nächsen Kalenderjahres ausgeliehen und erbring in dieser Zei 6, einfache Zinsen. Welches Kapial wurde ausgeliehen? Das Endkapial K 324/36 is um 6, größer als das Anfangskapial K ; 324 K + 6 = K +, 9 K K = 7 47, Aufgabe 1: Ein Kapial von 2, wird für 17 Tage ausgeliehen und erbring in dieser Zei 85, einfache Zinsen. Mi welchem Zinssaz wird das Kapial verzins? Lösung: i = 9 %.

4 1 1. Mahemaische Grundlagen und Grundkennnisse 1.7 Nominal- und Effekivverzinsung Zwischen Nominal- und Effekivverzinsung beseh in vielen Fällen ein großer Unerschied, der sich wie folg darsell (Beispiel Krediverrag): Die Nominalverzinsung bezieh sich immer auf den Nominalberag wird i.d.r. als p.a.-saz angegeben lieg dem Zins- und Tilgungsplan ( eches Kredikono ) zugrunde. Die jeweils lau ( echem ) Kredikono besehende Resschuld wird vom Kredinehmer geschulde. Die Effekivverzinsung bezieh sich auf den asächlich ausgezahlen Krediberag gib (prinzipiell) die asächliche Belasung des Kredinehmers an kann durch das sogenanne Vergleichskono ( effekives Kredikono ) nachgewiesen werden. Das eche Kredikono beruh somi auf einer Saffeldarsellung auf Basis des Nominalberags und der Nominalzinsen, während beim Vergleichskono der effekive Krediberag und der Effekivzinssaz zugrunde geleg werden. Beispiel 4: Ein Kunde nimm ein endfälliges Darlehen auf (keine Tilgung während der Laufzei); Laufzei 3 Jahre; Nominalzinssaz 6 % p.a. (nachschüssige jährliche Zahlung). a) Der Kunde erhäl das Darlehen zu 1 % ausbezahl: Nominal-gleich Effekivverzinsung (= 6 %). b) Die Bank zieh vom Darlehensberag 2 % Bearbeiungsgebühren ab und zahl nur 98 % aus. Der Kredinehmer muss jedoch 1 % verzinsen und ilgen. Die Nominalverzinsung beräg unveränder 6 %, während die Effekivverzinsung auf 6,759 % anseig. Man beache, dass sich lezere nich durch die Fausformel Nominalzinssaz zuzüglich Bearbeiungsgebühr in % geeil durch die Laufzei ergib. Die Berechnung wird unen noch deaillier beschrieben. An dieser Selle soll die Gegenübersellung im Nominal- und Effekivkono genügen.

5 1.8 Wechseldiskonierung 11 (Hinweis zu der Tabelle: bezeichne heue, 1 ensprich 1 Jahr nach usw.) Nominalkono Nominalzinssaz 6, % Daum Zinsen Rae Tilgung Reskapial 1, 1 6, 6, 1, 2 6, 6, 1, 3 6, 16, 1, Summe 18, 118, 1, Vergleichskono (Effekivkono) Effekivzinssaz 6,759 % Daum Effekivzinsen Rae effekive Tilgung effekives Reskapial 98, ,57 6, 623, , ,72 6, 665, , ,71 16, ,29 Summe 2, 118, 98, 1.8 Wechseldiskonierung Der Wechsel is eine unbedinge Zahlungsanweisung des Aussellers (Gläubigers) an den Bezogenen (Schuldner), eine besimme Geldsumme zu zahlen (Ar. 1 Wechselgesez). Der Wechselinhaber kann den Wechsel bis zum Verfallsag behalen und dann dem Bezogenen zur Zahlung vorlegen, sofor einem Drien zur Begleichung einer eigenen Schuld übergeben oder sich sofor den Gegenwer des Wechsels durch Diskonierung bei einer Bank auszahlen lassen. Da der Wechsel ers in der Zukunf fällig is, sell die Bank den Barwer des Wechsels fes und zahl diesen gegen Übergabe des Wechsels aus. Bei der Barwerfessellung unerscheide man zwischen kaufmännischer Diskonierung und amlicher Diskonierung.

6 12 1. Mahemaische Grundlagen und Grundkennnisse Beispiel 5: Ein Wechsel über 3, wird 9 Tage vor seiner Fälligkei zur Diskonierung eingereich. Eine Bank nimm den Wechsel an, verlang aber 5 % des nominellen Wechselberages von 3, als Diskon. Dieses Verfahren heiß kaufmännische Diskonierung (Banken zählen im Wechselgeschäf die Tage nach der Eurozinsmehode). Hierbei wird der Barwer K dadurch fesgesell, dass man vom nominellen Endwer K nom des Wechsels 5 % an Zinsen für 9 Tage abzieh. Man ha also ( = Zinsage): K = K nom K nom i= K nom (1 i) (9) K = 3 1, 5 = Hinweis: Man beache, dass die Effekivverzinsung 5,16 % beräg (wegen =, 516); auf die Berechnungsmehode wird in Kapiel 6 eingegangen) Dieses Verfahren, dessen sich die Banken bedienen, seh im Widerspruch zur finanzmahemaisch richigen Mehode, wie sie durch Formel (7) fesgeleg wird. Durch sie ergib sich der nominelle Endwer K n des Wechsels dadurch, dass zum Barwer K des Wechsels 8% des Barweres an Zinsen hinzugefüg werden. Man nenn dieses Verfahren amliche Diskonierung. Aus Knom = K (1 + i) ergib sich: 36 K nom K = 1 + i 36 (1) 3 K = = 29629, 63 3 ( 1+, 5) 12 Hinweis: Die Effekivverzinsung beräg jez 5,95 %. 1.9 Inerpolaionsverfahren In der Finanzmahemaik reen of Gleichungen auf, die in geschlossener Form nich lösbar sind, bei denen man also auf Näherungslösungen angewiesen is. Näherungslösungen können durch Inerpolaion gefunden werden. Beispiel 6: 5 Für die Gleichung 1 q + 6 q = 15 is eine Näherungslösung zu ermieln. Es soll also für die zugeordnee Funkion f(q) = 1 q q 15 eine Nullselle berechne werden. Of wird man durch Sachkennnis des zugrunde liegenden finanzmahemaischen Problems bereis eine Vorgabe haben, in welchem Bereich die gesuche Lösung