9.1 Eine Gleichung mit einer Unbekannten exakt lösen x Beispiel 1: Die Gleichung x 2 = 4 lösen. solve( x / (x 2) = 4, x ); 8 3

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1 MAPLE_Mini_09_V1-0.doc Gleichungen 9.1 Eine Gleichung mit einer Unbekannten exakt lösen x Beispiel 1: Die Gleichung x 2 = 4 lösen. solve( x / (x 2) = 4, x ); 8 3 Beispiel 2: Lösen Sie die Gleichung x 2 1 x + 1 gl := (x^2 1) / (x + 1) = 1; Die Lösung der Variablen lsg zuweisen. lsg := solve( gl, x ); lsg := 1 Die Lösung in die Gleichung einsetzen. x := lsg; x := 1 = 1; setzen Sie die Lösung ein. Beide Seiten der Gleichung gl mit x = 1 auswerten. gl; 1 = 1 # Die Gleichung stimmt. Beispiel 3: Eine Gleichung mit Formvariablen lösen Bemerkung: Sie können wiederum mit der Palette arbeiten, insbesondere mit der Common Symbol -Palette, um die nachfolgenden Winkelbezeichnungen usw. einzugeben. Lösen Sie die Gleichung A. sin( t + ) = b nach t auf. gl := A * sin( omega * t + delta) = b; gl := A sin( t + ) = b lsg := solve( gl, t ); lsg = arcsin( b A ) Die Lösung in die Gleichung einsetzen. Wir verwenden den Substitute-Befehl. subs( t = lsg, gl ); simplify(%); b = b # richtig Aufgabe 1: Wiederholen Sie die Überprüfung der ersten Beispiele mit dem Befehl subs.

2 MAPLE_Mini_09_V1-0.doc 9-2 Beispiel 4: Folgende Gleichung hat zwei Lösungen. Beide werden eingesetzt. Lösen Sie die Gleichung x2 5x + 6 = 0. gl := x^2 5*x + 6 = 0; gl := x2 5x + 6 = 0 lsg := solve( gl, x ); lsg := 2, 3 Maple hat zwei Lösungen gefunden. Der Variablen lsg ist die Folge der Zahlen 2, 3 zugewiesen. Die einzelnen Zahlen lauten lsg[1] und lsg[2]. Wir setzen die Lösungen nacheinander in die Gleichung ein. subs( x = lsg[ 1 ], gl ); 0 = 0 subs( x = lsg[ 2 ], gl ); 0 = 0 # Die Lösungen stimmen Aufgabe 2: Komplizierte Lösungen anzeigen. Bestimmen Sie : a) Die allgemeine Lösung der Gleichung x3 + 5ax2 + x = 1. Sie bekommen einen komplizierten Ausdruck b) Die Lösung für a = 1 Setzen Sie a := 1 und lösen Sie die Gleichung noch ein Mal. Das Resultat ist immer noch kompliziert. Mit evalf(%) können Sie das Resultat numerisch bestimmen. Aufgabe 3: Lösen Sie die Gleichung x 7 2x 6 4x 5 + x 3 + x 2 + 6x + 4 = 0. Zur Abwechslung mit einer Funktion f := x x^7 2*x^6 4*x^5 + x^3 + x^2 + 6*x + 4 lsg := solve(f(x)=0, x); lsg := wilder Ausdruck mit RootOf(_Z 7 Interpretation: RootOf heisst, Wurzel (Nullstelle) von... Die reellen numerischen Lösungen erhält man mit lsg := fsolve(f(x) = 0, x); lsg := , , Beispiel 5: Lösen Sie die Gleichung e x + sin( x ) = 0. gl := exp(x) + sin( x) = 0 ; gl := ex + sin( x ) = 0 lsg := solve(gl, x); lsg :=RootOf(_Z ln( sin(_z))) Maple hat keine Lösung gefunden (die Lösungen sind irrationale Zahlen). Wenn keine exakten Lösungen gefunden werden, sucht man numerische Lösungen mit dem oben angegebenen Befehl fsolve... (siehe auch Kap. 9.3).

3 MAPLE_Mini_09_V1-0.doc Eine Gleichung mit einer Unbekannten numerisch lösen Beispiel 6: Löse tan(sin(x)) 1 = 0 für x [0; 2 ] numerisch. Wir definieren eine Funktion, denn wir wollen auch zeichnen. f := x tan( sin(x) ) 1; Eine numerische Lösung erhalten wir wie wir vorhin schon gesehen haben mit fsolve (f = floating = Fliesskomma) fsolve( f(x) = 0, x); Maple gibt eine Lösung an. Wir skizzieren f(x) = tan(sin(x)) 1 plot(f(x), x= 0..2*Pi); An der Grafik sehen wir, dass in der Nähe von x 2.2 eine weitere Lösung existiert. Wir geben bei fsolve ein Intervall an. fsolve( f = 0, x, ); Zusammenfassung und Bemerkungen: 1) Der solve-befehl liefert - falls möglich - die exakten Lösungen der Gleichung. Je nach Gleichungstyp werden auch komplexe Lösungen gefunden. Diese erkennt man durch das Auftreten der imaginären Einheit I. Wenn das Lösen der Gleichung nur innerhalb der reellen Zahlen erfolgen soll, dann wird mit dem vorherigen Aufruf von with(realdomain) die Rechnung auf die reellen Zahlen beschränkt. 2) Mit dem solve-befehl kann man auch Ungleichungen lösen (ev. zuerst auch ploten, um eine Übersicht zu erhalten). 3) Falls eine exakte Lösung nicht explizit angegeben wird, besteht die Möglichkeit durch evalf(%) anschliessend das Ergebnis numerisch auszuwerten. Alternativ zu solve in Kombination mit evalf kann der fsolve-befehl verwendet werden, um numerisch eine Lösung zu bestimmen. 4) Sind die Nullstellen eines Polynoms n-ten Grades gesucht, so berechnet fsolve mit der Option complex [fsolve(gl, x, complex)] alle Nullstellen (reelle und komplexe) näherungsweise. 5) Enthält die Gleichung nicht polynomiale Terme, so ist nicht sichergestellt, dass alle Lösungen gefunden werden. In diesem Fall bleibt einem nichts anderes übrig als die Funktion zu plotten und in den Regionen, wo sich Lösungen befinden, gezielt zu suchen. Dazu verwendet man die Angabe zur Einschränkung des Lösungsintervalls [fsolve(gl, x, x=a..b].

4 MAPLE_Mini_09_V1-0.doc Eine Gleichung mit mehreren Unbekannten exakt lösen Eine Gleichung mit mehreren Unbekannten hat meist unendlich viele Lösungen. Beispiel 7: Gegeben sei die Gleichung y + ln(x 3) = 0 mit den Unbekannten x und y. Welche Zahlenpaare (x; y) erfüllen die Gleichung? Für x wählen wir eine beliebige Zahl im Definitionsbereich, d.h. x 3. Die Gleichung ist mit diesem x erfüllt, wenn wir y = ln(x 3) setzen. Die Lösungsmenge der Gleichung ist L = { (x; y) mit x 3; y = ln(x 3)} Wir lösen nun die Gleichung mit Maple: y + ln(x 3) = 0. gl := y + ln(x 3) = 0 ; solve( gl, {x, y } ); { x = x, y = ln(x 3) } Die Antwort ist folgendermassen zu interpretieren: Sie dürfen x beliebig wählen. Dann erfüllt das Zahlenpaar (x, y) = (x, ln(x 3) ) die Gleichung. Wichtig: MAPLE hat nicht ganz recht: Die angegebene Lösung ist nur richtig für x im Definitionsbereich der Gleichung, d.h. für alle x > 3.

5 MAPLE_Mini_09_V1-0.doc Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme können sowohl mit dem Kommando solve (genaue Lösung oder mit fsolve (numerische Lösung) gelöst werden. Es gibt zudem noch den Befehl isolve, mit ihm werden nur ganzzahlige Lösungen gefunden. Ein lineares Gleichungssystem: m Gleichungen und n Unbekannte x 1, x 2,...x n. a 11 x 1 + a 21 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine Lösung, oder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Beispiel 8: Lineares Gleichungssystem mit genau einer Lösung 5x + y = 2 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems x 2y = 7. Die Gleichungen und die Variablen können wir als Mengen definieren. Die Namen gln und var dürfen sie beliebig wählen. gln := { 5*x + y = 2, x 2*y = 7 }; var := { x, y }; Das Gleichungssystem lösen solve( gln, var ); { x = 1, y = 3 } Beispiel 9: Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen x + 2y = 1 Gesucht ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems 2x + 4y = 2. restart; # x und y dürfen nicht belegt sein Die Gleichungen und Variablen definieren. gln := { x + 2*y = 1, 2*x + 4*y = 2 }; var := { x, y }; Das Gleichungssystem lösen solve( gln, var ); { x = 2y + 1, y = y }

6 MAPLE_Mini_09_V1-0.doc 9-6 Interpretation: Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, die Lösungsmenge lautet {(x; y) x = 2y + 1; y = y mit y IR } Beispiel 10: Das folgende lineare Gleichungssystem besitzt keine Lösung x + 2y = 1 Gesucht ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems 2x + 4y = 3. restart; Die Gleichungen und Variablen definieren. gln := { x1 + 2*x2 = 1, 2*x1 + 4*x2 = 3 }; var := { x1, x2 }; solve( gln, var); MAPLE zeigt keine Reaktion. Unbefriedigend! Aufgabe 4: Ändern Sie das Beispiel 10 so ab, dass das Gleichungssystem genau eine, resp. unendlich viele Lösungen hat. Ausblick in die Matrizenrechnung: Wir werden mit Hilfe der Matrizenrechnung sehen, dass es noch weitere Befehle gibt, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Dazu muss aber zuerst ein Package geladen werden: Laden wir das veraltete Package mit with(linalg), dann heisst der Befehl linsolve. Laden wir das neuere Package mit with(linearalgebra), dann heisst der Befehl LinearSolve. Die Details besprechen im Rahmen der Matrizenrechnung

7 MAPLE_Mini_09_V1-0.doc Nichtlineare Gleichungssysteme exakt lösen Beispiel 11: Lösen Sie das nichtlineare Gleichungssystem Die Menge der Gleichungen und der Variablen definieren gln := {x y = 1, x^2 + y^2 = 5}; var := {x, y }; x y = 1 x 2 + y 2 = 5 Das Gleichungssystem lösen; die Lösungen der Variablen lsg zuweisen lsg := solve( gln, var ); lsg := {x =, y = 2}, {x = 2, y = 1} Es gibt zwei Lösungen. Diese sind folgendermassen ansprechbar. lsg [1] = {x =, y = 2} und lsg [2] = {x = 2, y = 1}. 9.7 Nichtlineare Gleichungssysteme grafisch und numerisch lösen Beispiel 11: Lösen Sie das Gleichungssystem Die Gleichungen definieren gl1 := x y = 1; gl2 := x^2 + y^2 = 5; Das Gleichungssystem analytisch lösen x y = 1 x 2 + y 2 = 5 var := {x, y }; fsolve( {gl1, gl2}, var ); {x =, y = 2} {x = 2, y = 1} Wir wollen die Graphen obiger implizit gegebener Funktionen des Gleichungssystems zeichnen. Beachten Sie wie man mehrere Graphen in einer Zeichnung darstellen kann. Idee: Die Graphen werden in p1, resp. p2 gespeichert und mit display gezeichnet. with( plots) p1 := implicitplot( gl1, x = 3..3, y= 3..3): p2 := implicitplot( gl2, x = 3..3, y= 3..3): display( [ p1, p2 ] ); Näherungslösungen: {x = 2, y = 1}, {x =, y = 2}.

8 MAPLE_Mini_09_V1-0.doc Ungleichungen lösen Beispiel 12: Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung x4 + x + 1 x 2 + x Wir definieren die Ungleichung ugl := ( x^4 + x + 1) / (x^2 + x + 1) <= 1; Die Ungleichung lösen solve( ugl, x ); RealRange( 1, 1), d.h. L = [ 1; 1 ] Beispiel 13: Lösen Sie die Ungleichung 2x 1 x solve( (2*x 1) / (-x + 2) < 3,x ); RealRange (, Open( 7 5 ) ), RealRange (Open( 2 ), ) Damit ist die Lösung der Ungleichung die Menge L = (, 7 5 ) (2, ) Die Angabe Open bedeutet, dass die Intervallgrenze offen ist.

9 MAPLE_Mini_09_V1-0.doc 9-9 Aufgaben Testat-(Haus-)aufgaben Das Lösen der folgenden Aufgaben gehört zu den Testatbedingungen. (901) Lösen Sie die Gleichungen a) e 2x = 3, b) e x = 4e x + 1 analytisch und numerisch. (902) Lösen Sie die Gleichung x 8 + x = 2. Setzen Sie die Lösung ein. (903) Lösen Sie die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0. (904) Lösen Sie die Gleichung sin(x) = cos(x). Haben Sie alle Lösungen bekommen? (905) Bestimmen Sie die alle negativen Lösungen der Gleichung sin(x) = x/2. (906) Suchen Sie alle Lösungen der Gleichung 23x x4 10x2 + 17x = 0 im Intervall [ 1; 0]. (907) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem 3x + 4y = 12 4x 3y = 10. (908) Bestimmen Sie die Lösungsmenge 2x2 y2 = x4 + y4 = 2 (909) Lösen Sie x + ay = 2 x y = 0 (a ist ein Parameter). (910) Bestimmen Sie die Schnittpunkte zwischen dem Kreis mit der Gleichung (x 2)2 + (y 3)2 = 16 und der Geraden 3x 2y = 3.