Mathematik 1, Teil B. Inhalt:

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1 FH Emden-Leer Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre 2.) Matrizen, Determinanten 3.) Vektoren, Rechenregeln 4.) Komplexe Zahlen 5.) Lineare Gleichungssysteme 6.) Vektoren, Anwendungen in der Geometrie 1. Grundbegriffe der Mengenlehre

2 5. Lineare Gleichungssysteme 5.e Einführung Geradengleichungen in der Ebene Beispiel: gegeben seien zwei Gleichungen Gl.1: y = x Gl.2: y = - ½ x +6 Bilden von Linearkombinationen: erlaubt sind a) Multipizieren von keiner, von einer oder von beiden Gleichungen mit einem (jew. eigenen) Faktor b) Addieren oder Subtrahieren der (veränderten) Gleichungen 1. Linearkombination - ohne Faktor Gl.3 aus Gl.1 - Gl.2 0 = 1,5x - 6 also: x = 4 2. Linearkombination Gl.2a aus Gl.2*2: 2y = -x+12 Gl.4 aus Gl.1+Gl.2a 3y = 12 also: y = 4 3. Linearkombination Gl.5 aus Gl.2a-Gl.1 y = -2x+12 Ergebnis: Alle Geraden aus Linearkombinationen schneiden sich im selben Punkt wie die originalen Geraden, sie haben alle ein und den selben Punkt gemeinsam. Zum Vergleich: eine Gerade die keine Linearkombination von Gl.1 und 2 ist: Gl.6: y = x+1 Ergebnis: Mit allen anderen Geraden gibt es einen neuen Schnittpunkt. Aber es gibt keinen gemeinsamen Punkt mehr mit allen anderen Geraden. 5-2

3 Standardform eines Linearen Gleichungssystems Neue Bezeichnung der Variablen: x 1 statt x und x 2 statt y Gl.1: x 2 = x 1 Gl.2: x 2 = - ½ x Umordnen, so dass die Variablen links und die Konstanten rechts vom Gleichheitszeichen stehen: Gl.1: -x 1 + x 2 = 0 Gl.2: ½ x 1 + x 2 = 6 Diese Form ist die gewöhnliche Form eines Linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen (den Unbekannten) und zwei Gleichungen. Zusammenhang mit den Schnittpunkten der Geraden a) Zwei Geraden haben im Allgemeinen einen und nur einen Schnittpunkt (es gibt eine Ausnahme: wenn die Geraden...) Für das Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten heißt das: es hat eine einzige ganz bestimmte Lösung für die Unbekannten. b) Alle Linearkombinationen der beiden originalen Geraden haben den selben Schnittpunkt. Für das Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten heißt das: es kann durch eine Linearkombination ergänzt werden, so dass ein System mit 2 Unbekannten und 3 Gleichungen oder 4 Gleichungen oder mehr Gleichungen entsteht. Dieses hat immer noch die selbe Lösung für die beiden Unbekannten. c) Eine neue unabhängige Gerade hat keinen gemeinsamen Punkt mit den originalen Geraden. Für das Gleichungssystem heißt das: es gibt ein System mit 2 Unbekannten und 3 Gleichungen ohne eine Lösung für die Unbekannten. Achtung: Ein Gleichungssystem hat nur dann eine Lösung, wenn damit alle Gleichungen des Systems erfüllt sind! 5-3

4 Anwendungsbeispiel: Kräfte auf ein stehendes Auto Gegeben: die Gewichtskraft G = 10000N die Abstände 2m und 1,5m zum Schwerpunkt Es gilt: die Summe der Kräfte ist null. Gleichung 1: F 1 + F 2 = G Es gilt: die Summe der Drehmomente ist null. Gleichung 2: F 1 2m - F 2 1,5m = 0 Drehmomente bezogen auf den Schwerpunkt Lösungsweg für F 1 und F 2 : Gl.1*1,5m ergibt Gl.1a F 1 1,5m + F 2 1,5m = G 1,5m Gl.1a+Gl.2 ergibt Gl.3 F 1 3,5m = G 1,5m => F 1 = 10000N 1,5/3,5 F 1 = 4286N Einsetzen in Gl.1 ergibt 4286N + F 2 = 10000N => F 2 = 5714N 5-4

5 5.1 Definition des Linearen Gleichungssystems Ein System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten x 1, x 2,... x n in der Form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c 2 M M M M a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = c m heißt Lineares Gleichungssysstem. Alle Unbekannten x 1, x 2,... x n treten nur unmittelbar und mit dem Exponenten 1 auf ( siehe Geradengleichung ). Kurzform in Matrizendarstellung: A x = c a 11 a a 1n mit a A = 21 a a 2n : M M M Koeffizientenmatrix a m1 a m2... a mn x1 c1 x 2 c x =, c = 2 : Spaltenvektoren M x M m c m Für c = 0 heißt das System homogen, für c 0 heißt es inhomogen. Die Anzahl der Gleichungen ist häufig gleich der Anzahl der Unbekannten, sie kann aber auch kleiner oder größer sein. 5-5

6 5.2 Lösungsverfahren nach Gauß Gaußscher Algorithmus Mit Hilfe einer der Gleichungen wird eine Unbekannte aus den restlichen Gleichungen entfernt. Es entsteht ein (Unter-)System mit m-1 Gleichungen und n-1 Unbekannten. Dieser Schritt wird mit den jeweils restlichen Gleichungen ( Untersystem ) so oft wiederholt, bis ein sog. gestaffeltes Gleichungssystem entstanden ist. das Gleichungssystem nach dem 1. Schritt in vereinfachter Darstellung: a 11 a a 1n c 1 Der Exponent gibt an, daß der zugehörige Wert 0 a a 2n c 2 nicht mehr der ursprüngliche ist, der Gaußschritt M M M wurde einmal angewendet. 0 a m2... a mn c m Für die Kombinationen der Gleichungen, um Nullen in der ersten Spalte zu erzeugen, gelten die Rechenregeln für Determinanten. Im Unterschied zu Determinanten ist hier die Multiplikation von Zeilen mit irgendwelchen Faktoren ohne Bedeutung, da die Aussage der Zeile ( Gleichung ) nicht verändert wird. das gestaffelte Gleichungssystem nach maximal r Gauß-Schritten: a 11 a 12 a a 1,r+1... a 1n c 1 0 a 22 a a 2,r+1... a 2n c a (2) a (2) 3,r+1... a (2) 3n c (2) 3 M M M M M M (r-1) a r,r a (r-1) (r-1) r,r+1... a rn c r (r-1) Zeile Nr. r (r) c r+1 M M M M M M M c (r) m Lösungsverhalten 1. Fall ) Das System ist unlösbar, wenn eine der Zahlen c r+1 (r),... c m (r) ungleich null ist. 2. Fall ) Das System ist lösbar, wenn gilt: c r+1 (r) = c r+2 (r) =... = c m (r) = 0. 2a) r = n : Die Lösung ist eindeutig. 2b) r < n : Die Lösung ist unbestimmt, n-r Unbekannte sind als Parameter frei wählbar, die übrigen Unbekannten sind von ihnen abhängig. Homogene Gleichungssysteme haben mindestens immer die triviale Lösung x 1 = x 2 =... = x n =

7 5.2.3 Beispiele x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 3 3x 1 + 4x 2 + x 3 = 4 Im folgenden werden die Rechenzeichen und die Variablen weggelassen, um Schreibarbeit zu sparen. Jede Zeile entspricht einer Gleichung. 1. Schritt: Zeile - 2*1.Zeile Zeile - 3*1.Zeile 2. Schritt: Zeile - 2*2.Zeile Weitere Umformungen sind nicht nötig, es ist eine Gleichung mit einer Unbekannten entstanden, eine Gleichung mit zwei Unbekannten und die erste Gleichung ist unverändert mit drei Unbekannten. An diesem Beispiel zeigt sich schon eine Eigenschaft des Gauß-Verfahrens: Je weiter es fortschreitet, umso geringer wird der Aufwand, weil immer mehr Zeilen unverändert bleiben. Lösungsverhalten: Die Zeile Nr. 3 hat mit a 33 (2) = -4 (mindestens) einen Koeffizienten ungleich null, r = 3. Eine Zeile r+1 = 4, in der alle Koeffizienten gleich null sind, gibt es nicht. Das System ist daher lösbar. Die Zahl der Unbekannten ist n = 3, es gilt also r = n. Das System hat daher eine bestimmte Lösung. aus Gl.(3): -4x 3 = 0 folgt x 3 = 0 aus Gl.(2): -x 2-2x 3 = -1 folgt -x 2-0 = -1, x 2 = 1 aus Gl.: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2 folgt x = 2, x 1 = 0 5-7

8 (2) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 3 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Im folgenden werden die Rechenzeichen und die Variablen weggelassen, um Schreibarbeit zu sparen. Jede Zeile entspricht einer Gleichung. 1. Schritt: Zeile - 2*1.Zeile Zeile - 1.Zeile 2. Schritt: Zeile - 2.Zeile Weitere Umformungen sind nicht sinnvoll, eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ist nicht zu erreichen. Es ist eine Gleichung mit Koeffizienten, die alle null sind, entstanden, außerdem eine Gleichung mit zwei Unbekannten und die erste Gleichung ist unverändert mit drei Unbekannten. Lösungsverhalten: Die Zeile Nr. 2 enthält Koeffizienten ungleich null, r = 2. Die Zeile Nr. 3, in der alle Koeffizienten gleich null sind, enthält keinen Widerspruch, das System ist daher lösbar. Die Zeile Nr. 2 hat mit a 22 = -1 und a 23 = -2 zwei Koeffizienten ungleich null und es gilt: r < n. Das System hat daher eine unbestimmte Lösung ( n-r = 1 => 1fach unbestimmte L.): z.b. kann x 3 als freier Parameter gewählt werden. Aus den Gln. 1 und 2 können x 1 und x 2 als Funktion von x 3 bestimmt werden. aus Gl.(2): -x 2-2x 3 = -1 folgt x 2 = 1-2x 3 aus Gl.: x ( 1-2x 3 ) + 3x 3 = 2 folgt x 1 = x 3 5-8

9 (3) x 1-2x 2 = -2 -x 1 + 3x 2 = 5 2x 1-4x 2 = -3 Im folgenden werden die Rechenzeichen und die Variablen weggelassen, um Schreibarbeit zu sparen. Jede Zeile entspricht einer Gleichung. 1. Schritt: Zeile + 1.Zeile Zeile - 2*1.Zeile Eine weitere Umformung ist nicht sinnvoll. Die dritte Zeile enthält nur Koeffizienten, die null sind, r = 2. Weil die Konstante c 3 = 1 nicht null ist, ist dies ein Widerspruch, d.h. das System ist nicht lösbar! Anmerkung: Ein Gleichungssystem gilt immer als Ganzes. Alle Gleichungen müssen erfüllt sein. Z.B. darf man bei einem System mit drei Gleichungen nicht eine Lösung für nur zwei Gleichungen bestimmen, indem man die dritte Gleichung gar nicht berücksichtigt. (4) -x 1 + 2x 2 = 1 2x 1-3x 2 = 0 x 1-3x 2 = -3 Im folgenden werden die Rechenzeichen und die Variablen weggelassen, um Schreibarbeit zu sparen. Jede Zeile entspricht einer Gleichung. 1. Schritt: Zeile + 2*1.Zeile Zeile + 1.Zeile 2. Schritt: Zeile + 2.Zeile Die Zeile Nr. 2 enthält noch einen Koeffizienten, der ungleich null ist, r = 2. Die dritte Zeile enthält keinen Widerspruch, das System ist lösbar. Es gilt r = n, es gibt eine bestimmte Lösung. aus Gl.(2) x 2 = 2 aus Gl. -x = 1 folgt x 1 = 3 5-9