Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1

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1 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis für 3,30. Petra hat 3 Lakritzen, 6 Schokoriegel und 10 Kaugummis für 6,70. Hugo hat 1 Lakritzen, 5 Schokoriegel und 2 Kaugummis für 4,50. Frage Wie viel kostet je eine Lakritze, ein Schokoriegel bzw. ein Kaugummi? Das Problem muss nun mathematisch formuliert werden. Hierfür führen wir für die unbekannten Preise die Variable xi ein und formulieren damit aus den Aussagen Gleichungen. Es sei x1 der Preis für eine Lakritze, x2 der Preis für einen Schokoriegel und x3 der Preis für einen Kaugummi. Die drei Aussagen ergeben somit die drei Gleichungen 4x1 + 2x2 + 5x3 = 3,30 (1) 3x1 + 6x2 + 10x3 = 6,70 (2) 1x1 + 5x2 + 2x3 = 4,50 (3) Diese drei Gleichungen fassen wir als Gleichungssystem auf. Jede der Gleichungen ist linear. d.h. Die Unbekannten xi treten nur in der 1. Potenz auf und es gibt keine Produkte der Art xi xj. Es liegt ein lineares Gleichungssystem vor. Als des Gleichungssystems werden die Wertepaare für x1, x2, x3 bezeichnet, für die alle Gleichungen erfüllt sind. Wir werden dieses Gleichungssystem gleich lösen. Zunächst noch eine Festlegung Definition Der folgende Satz von m Gleichungen mit n Unbekannten heißt lineares Gleichungssystem vom Typ (m,n) a11x1 + a12x2 + + a1nxn = c1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = c2 am1x1 + am2x2 + + amnxn = cm Die Zahlen aik heißen Koeffizienten, die Ausdrücke ci bilden die sogenannte Rechte Seite des LGS. Sind alle ci = 0, so heißt das LGS homogen, sonst inhomogen. zuletzt geändert

2 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite Gaußsches Eliminationsverfahren Das Gauß-Verfahren ist das Standardverfahren zur von LGS n. Die des LGS ändert sich nicht, wenn man jede einzelne Gleichung für sich mit einem konstanten Faktor (außer der Null) multipliziert. Dies liegt daran, dass sich der Wahrheitsgehalt der einzelnen Gleichungen durch diese Operation nicht ändert. Die des LGS wird durch äquivalente Termumformungen nicht verändert. Das gleiche gilt, wenn zu einer Gleichung des LGS eine andere Gleichung des LGS oder ein Vielfaches einer Gleichung hinzuaddiert wird. Diese Aussage wird verständlich, wenn man bedenkt, dass eine Gleichung wahr bleibt, solange auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche addiert wird. Dies ist bei der beschriebenen Rechenoperation der Fall. Zur Auffindung der des LGS ist daher auch diese Rechenoperation zulässig. Ziel dieser Rechenoperationen ist es, so viele Unbekannte zu eliminieren, bis in einer der Gleichungen nur noch eine Unbekannte steht. Nach dieser Unbekannten kann dann aufgelöst werden. Ihr Wert kann nun in die nächste Gleichung eingesetzt werden usw. Im Idealfall erhält man so alle Unbekannten. Für das Verfahren ist es vorteilhaft, die Summanden in jeder Gleichung nach ansteigenden Indizes der Unbekannten zu ordnen. Man verwendet beim Rechnen meist die verkürzte Schreibweise, in der nur noch die Koeffizienten notiert werden. Kurzbeschreibung Erlaubte Rechenschritte 1. Gleichungen mit konstantem Faktor multiplizieren 2. Das Vielfache einer Gleichung zu einer anderen Gleichung addieren Ziel Nullen erzeugen Verkürzte Schreibweise statt 3x1 + 7x2-9x3 = 22 schreibt man Weiter mit Beispielen zuletzt geändert

3 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite sverhalten Wir fanden Genau eine für inhomogene LGS ergeben sich unendlich viele keine en unendlich viele und für homogene LGS ergeben sich nur die triviale Triviale nennt man die, in der sämtliche Koeffizienten Null sind. Sie existiert für homogene LGS immer. Ich werde im Folgenden mit den Begriffen der Vektorrechnung argumentieren. Die Koeffizienten-Zeilen können als Vektoren aufgefasst werden. Das Umformen der Gleichungen durch die 2. Rechenoperation entspricht dann dem Bilden von Linearkombinationen der Vektoren. Zu Beispiel 2 Die Linearkombination der Vektoren erzeugte einen Nullvektor. (Durch die Umformungen entsteht eine Koeffizientenzeile mit Nullen). d.h. nur zwei Koeffizientenzeilen sind linear unabhängig. Zu Beispiel 1 Hier sind alle drei Koeffizientenzeilen linear unabhängig. (Es gelingt nicht eine Koeffizientenzeile mit Nullen zu erzeugen.) Sind sämtliche Koeffizientenzeilen linear unabhängig so gibt es genau eine. (Bsp. 1) Dies gilt für jede rechte Seite, die nicht überall Null ist. Ist die Rechte Seite überall Null (homogenes LGS) so gibt es nur die triviale. (Bsp. 4) Die Lösbarkeit des LGS hängt neben der Frage ob es linear abhängige Koeffizientenzeilen gibt, von der Rechten Seite des LGS ab. Sind nicht alle Koeffizientenzeilen linear unabhängig, (d.h. mindestens eine Zeile lässt sich nullen, d.h. sie lässt sich als Linearkombination der übrigen Zeilen darstellen,) und passt die rechte Seite, so gibt es unendlich viele en. (Bsp 2) Passt sie nicht, so gibt es einen Widerspruch und das LGS besitzt keine. (Bsp. 3) Ist die Rechte Seite überall Null (homogenes LGS) so gibt es ebenfalls unendlich viele en. (Bsp. 5) Auf der nächsten Seite sind diese Aussagen in einer Grafik zusammengefasst. zuletzt geändert

4 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 4 sverhalten Linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten und r linear unabhängigen Koeffizientenzeilen (Die Anzahl der Gleichungen spielt keine Rolle) System widerspruchsfrei System mit Widerspruch (nur bei inhomogenen LGS möglich) Keine (Bsp. 3) r = n r < n genau eine unendlich viele en mit n-r Parametern (gilt für homogene und inhomogene LGS) (Bsp. 2 und 5) LGS homogen LGS inhomogen nur die triviale (Bsp. 4) genau eine nichttriviale (Bsp. 1) zuletzt geändert

5 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 5 4. Matrizen und Determinanten 4.1 Matrizen Definition Unter einer Matrix oder Matrize versteht man ein Zahlenschema aus m mal n Zahlen. Schreibweise a a a a 11 a21 A = ai 1 am1 12 a ai a 22 2 m2 1k 1n a2k a2 aik a amk a k-te Spalte n in mn i tezeile Die reellen Zahlen aik mit i = 1, 2,.,m, k = 1, 2,.,n heißen Elemente der Matrix A. Ist m = n, so heißt A eine n-reihige quadratische Matrix. Die Elemente ai1, ai2,,ain bilden die i-te Zeile, die Elemente a1k, a2k,.,amk bilden die k-te Spalte. Anmerkung 1) i heißt Zeilenindex, k heißt Spaltenindex des Elementes aik. 2) Eine (m, n)-matrix heißt auch Matrix vom Typ (m, n). Schreibweise A = A(m, n) = (aik)(m, n) 3) Matrizen vom gleichen Typ heißen gleichartig. 4) Eine Matrix vom Typ (1, n) heißt Zeilenmatrix oder Zeilenvektor. Eine Matrix vom Typ (m, 1) heißt Spaltenmatrix oder Spaltenvektor. 5) Für quadratische Matrizen Die Elemente a11, a22, a33,..ann bilden die Hauptdiagonale. Die Elemente an1, a(n-1)2, a(n-2)3,...,a1n bilden die Nebendiagonale. 6) (aik) ist eine Matrix, aik ist eine reelle Zahl! Definition Gleichheit A = (aik) und B = (bik) seien gleichartige Matrizen. A und B heißen gleich, wenn aik = bik für alle i, k gilt. Schreibweise A = B. zuletzt geändert

6 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 6 Definition Transponierte Matrix A = (aik) sei eine (m, n) Matrix. Unter der Transponierten Matrix von A versteht man die (n, m) Matrix, B = (bik) mit bik = aki für alle i, k. Schreibweise B = A T. Anmerkung 1) Zeilen und Spalten werden vertauscht. Ist A quadratisch, so erhält man A T durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen. 2) Für jede Matrix gilt (A T ) T = A. Definitionen A = (aik) sei eine n-reihige, quadratische Matrix. A heißt a) symmetrisch, wenn aik = aki für alle i, k ist. b) schiefsymmetrisch, oder antisymmetrisch, wenn aik = -aki für alle i, k ist. c) obere (untere) Dreiecksmatrix, wenn aik = 0 für alle i > k (i < k) ist. d) Diagonalmatrix, wenn aik = 0 für all i k ist. Anmerkung 1) Ist A symmetrisch, so gilt A = A T. 2) Ist A schiefsymmetrisch, so muss wegen aii = -aii aii = 0 für alle i gelten. d.h. die Hauptdiagonale ist Null. zuletzt geändert

7 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 7 Definition Addition A = (aik) und B = (bik) seien gleichartige Matrizen. Unter der Summe von A und B versteht man die (m, n) Matrix S = (sik) mit sik = aik + bik für alle i, k. Schreibweise S = A + B. Rechengesetze Sie unterscheiden sich nicht von den Gesetzen der Addition mit reellen Zahlen. 1) Die ist eindeutig und eine Matrix gleichen Typs. 2) A + B = B + A Kommutativgesetz 3) (A + B) + C = A + (B + C) Assoziativgesetz 4) Es existiert genau eine Matrix N, Existenz und Eindeutigkeit so dass A + N = A für alle A gilt. des Neutralen Elementes. 5) Zu jeder Matrix A existiert genau eine Existenz und Eindeutigkeit Matrix D mit A + D = N. des Inversen Elementes Schreibweise D = -A. Anmerkung 1) N ist die Nullmatrix. Sämtlichen Elemente von N sind Null. 2) Differenz B + (- A) = B - A Definition Produkt mit einer reellen Zahl A = (aik) sei eine (m, n)-matrix und λ R. Dann ist das Produkt λ A die (m, n)-matrix C = (cik) mit cik = λ aik für alle i, k. Schreibweise λ A = λa = Aλ. Anmerkung Jedes Element wird mit λ multipliziert. (-1) A = -A zuletzt geändert

8 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 8 Rechengesetze Es gelten die bekannten Grundgesetze der Multiplikation mit einer reellen Zahl. Daraus folgen die weiteren Gesetze A und B seien gleichartige Matrizen und λ, µ R. Dann gilt 1) λ(µa) = (λµ)a Assoziativgesetz 2) (λ + µ)a = λa + µa Distributivgesetz 3) λ(a + B) = λa + λb Distributivgesetz Definition Produkt von Matrizen A = (aik) sei eine (m, l)-matrix und B = (bjk) eine (l, n)-matrix. Unter dem Produkt der Matrizen A und B versteht man die (m, n)-matrix l i = 1,2,...m P = ( p ik ) mit p ik = a ijb jk für j= 1 j = 1,2,...n Schreibweise P = A B = AB. Anmerkungen 1) Das Produkt AB ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist. 2) Ist A vom Typ (m, n) und B vom Typ (n, m), so existiert AB und BA Aber AB BA weil AB vom Typ (m, m) und BA vom Typ (n, n) ist. 3) p ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k a il b lk für alle i = 1, 2...,m und k = 1, 2,,n bedeutet Multipliziere die Elemente der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B paarweise und summiere die Produkte. zuletzt geändert

9 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 9 sverhalten Linearer Gleichungssysteme A x = c (Mit n Unbekannten) Rg ( A) = Rg( Ac) = r Rg( A) Rg( Ac) Keine r = n r < n genau eine unendlich viele en mit n-r Parametern (gilt für homogene und inhomogene LGS) c = 0 c 0 nur die triviale genau eine nichttriviale zuletzt geändert