Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra & Analytischen Geometrie

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1 Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/ Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.1

2 Inhalte Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie 0 Organisatorisches 1 Ziele und Inhalte 2 Algebraisieren des Anschauungsraums 3 Modellieren und Angewandte Mathematik 4 Skalarprodukt Längen und Winkel messen 5 Kegelschnitte Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.2

3 Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Kapitel 3: Modellieren und Angewandte Mathematik Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.3

4 Warum Modellieren und Angewandte Mathematik? Zielrichtungen Die Frage nach dem Warum? wird von Anfang an thematisiert. Begriffe, Verfahren und Strukturen an konkreten Beispielen erarbeiten als Grundlage von Problemlösungen in vielfältigen Anwendungsbereichen einsetzen Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.4

5 Beispiel: Marktforschung Fernsehzeitschriften Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag beauftragt, das Kaufverhalten der Kunden von Fernsehzeitschriften zu untersuchen. Ziel: Argumente für Marketingentscheidungen liefern. Modellannahmen Es gibt zwei Zeitschriften Gong (G) und Hörzu (H). Die Gesamtzahl der Kunden bleibt konstant. Der Marktmechanismus ändert sich nicht. Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.5

6 Beispiel: Marktforschung Daten über Umfragen Zeitschrift Gong (G) hat Kunden Zeitschrift Hörzu (H) hat Kunden pro Woche wechseln 20% der Gong-Kunden zu Hörzu (H) pro Woche wechseln 5% der Hörzu-Kunden zu Gong (G) Übergangstabelle von G von H nach G 0,8 0,05 nach H 0,2 0,95 Wie entwickeln sich die Kundenzahlen? Kaufen irgendwann alle die Zeitschrift Hörzu (H)? Oszillieren die Kundenzahlen? Stellt sich ein Gleichgewicht ein? Übergangsgraph 0,2 0,8 G H 0,95 0,05 Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.6

7 Baumdiagramm G 0,2 0, H 0,8 0,95 0,05 G ,8 0,2 G H ,8 0,2 0,05 0,95 G H G 200 H ,6 H ,05 0,95 G H ,8 0,2 0,05 0,95 G H 300 G H Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.7

8 Entwicklung der Käuferzahlen Nach einer Woche Nach zwei Wochen Nach zwei Wochen: Leser G: = Leser H: = Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.8

9 Entwicklung der Käuferzahlen Aufgabe Untersuchen Sie die Entwicklung der der Käuferzahlen über einen Zeitraum von 10 Wochen. 100 Wochen. Ein Tabellenkalkulationsprogramm kann helfen = B5 * (1 - $B$1) + C5 * $B$2 Herunterziehen = B5 * $B$1 + C5 * (1 - $B$2) Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.9

10 Anzahl der Käufer Entwicklung der Käuferzahlen Gong (G) Hörzu (H) Woche Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.10

11 Anzahl der Käufer Entwicklung der Käuferzahlen Gong (G) Hörzu (H) Woche Erkenntnis Die Käuferzahlen von Gong sinken und die von Hörzu steigen. Fragen Halten diese Tendenzen an? Hat Gong irgendwann keine Käufer mehr? Was passiert, wenn Gong zu Beginn mehr bzw. noch weniger Kunden hat? Vorgehensweise Vorhersagen machen und festhalten lassen. Testen! (Schieberegler!) Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.11

12 Schematisierung Käuferzahlen nach einer Woche G 1 : 0, , H 1 : 0, , Käuferzahlen nach einer Woche G 1 : 0, , H 1 : 0, , Übergangstabelle von G von H nach G 0,8 0,05 nach H 0,2 0,95 Tabelle der Ausgangswerte G H Übergangsmatrix 0,8 0,05 0,2 0,95 Vektor der Ausgangswerte Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.12

13 Schematisierung Berechnung der Käuferzahl nach einer Woche G 1 : 0, , H 1 : 0, , ,8 0,05 0,2 0, Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.13

14 Schematisierung Berechnung der Käuferzahl nach einer Woche G 1 : 0, , H 1 : 0, , ,8 0,05 0,2 0, = 0, , Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.14

15 Schematisierung Berechnung der Käuferzahl nach einer Woche G 1 : 0, , H 1 : 0, , ,8 0,05 0,2 0, = 0, , Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.15

16 Schematisierung Berechnung der Käuferzahl nach einer Woche G 1 : 0, , H 1 : 0, , ,8 0,05 0,2 0, = 0, , , , Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.16

17 Schematisierung Berechnung der Käuferzahl nach einer Woche G 1 : 0, , = H 1 : 0, , = ,8 0,05 0,2 0, , , = 0, , = Ursprünglicher Kundenvektor Übergangsmatrix Kundenvektor nach einer Woche Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.17

18 Schematisierung Definition Ein rechteckiges Zahlenschema mit n Zeilen und m Spalten heißt (n m)-matrix. a 11 a 1m a n1 a nm Bemerkung Eine (n 1)-Matrix heißt auch Spaltenvektor. a 1 a n Eine (1 m)-matrix heißt auch Zeilenvektor. a 1 a m Matrizen werden mit einem Großbuchstaben abgekürzt, Vektoren mit Kleinbuchstaben und einem Pfeil darüber. A = a 11 a 1m a n1 a nm Matrix A a 1 Ԧa = a n Vektor Ԧa Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.18

19 Schematisierung Im Beispiel Ursprünglicher Kundenvektor: k 0 = Übergangsmatrix: A = 0,8 0,05 0,2 0,95 Kundenvektor nach einer Woche: k 1 = A k 0 = zwei Wochen: k 2 = A k 1 = 0,8 0,05 0,2 0, = ,8 0,05 0,2 0,95 k 1 nach n Wochen: k n = A k n 1 Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.19

20 Schematisierung Definition Das Produkt einer (2 2)-Matrix mit einer (2 1)-Matrix (Spaltenvektor) wird definiert durch: A k = a 11 a 12 k a 21 a 1 a 11 k 1 + a 12 k 2 22 k 2 a 21 k 1 + a 22 k 2 Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.20

21 Eingabe von Matrizen Eingabe von A 1,2,3, 4, 5, 6, 7.1,8.2,9.3, 3,2,1 liefert nach Auswahl von und ggf. drücken der Taste Return : Eingabe von b 1, 2, 3 Exkurs: Matrizenrechnung mit GeoGebra liefert nach Auswahl von und ggf. drücken der Taste Return : Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.21

22 Exkurs: Matrizenrechnung mit GeoGebra Matrizen multiplizieren Eingabe von A 9,3,8,2, 5,1,8,1 B 4,2, 5,7, 3,3 B A liefert nach Auswahl von und ggf. drücken der Taste Return das Produkt B A der Matrizen. Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.22

23 Exkurs: Matrizenrechnung mit GeoGebra Zeilenbezüge Statische Bezüge: Änderungen der Referenzzeile haben keine Auswirkungen # kopiert die vorherige Ausgabe #3 kopiert die Ausgabe von Zeile 3 Dynamische Bezüge: Änderungen der Referenzzeile werden übernommen $ fügt die vorherige Ausgabe ein $3 fügt die Ausgabe von Zeile 3 ein Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.23

24 Entwicklung der Käuferzahl Berechnung der Käuferzahl mit GeoGebra Eingabe des ursprünglichen Kundenvektors k 0 = Eingabe der Übergangsmatrix 0,8 0,05 A = 0,2 0,95 Berechnen des Kundenvektors nach einer Woche k 1 = A k 0 Berechnen des Kundenvektors nach zwei Wochen k 2 = A k 1 Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.24

25 Entwicklung der Käuferzahl Berechnung der Käuferzahl mit GeoGebra Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.25

26 Exkurs: Matrizenrechnung mit Maxima Eingabe von Matrizen Eingabe von A: matrix 1,2,3, 4, 5, 6, 7.1,8.2,9.3, 3,2,1 ; liefert nach drücken der Tasten Shift Return Eingabe von b: matrix 1, 2, 3 ; liefert nach drücken der Tasten Shift Return Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.26

27 Exkurs: Matrizenrechnung mit Maxima Achtung Befehlszeilen werden mit einem ; abgeschlossen. Um Befehle Auszuführen muss immer die Tastenkombination Shift + Return gedrückt werden. Maxima merkt sich Wertbelegungen auch nach dem Löschen der entsprechenden Eingaben (z.b. A:matrix( )). Um alle Werte zu löschen gibt man kill(all); ein oder wählt den Menübefehl Maxima Speicher löschen. Matrizen multiplizieren Eingabe von A: matrix 9,3,8,2, 5,1,8,1 ; B: matrix 4,2, 5,7, 3,3 ; B. A; liefert das Produkt der Matrizen B A. Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.27

28 Entwicklung der Käuferzahl Maxima Berechnung der Käuferzahl mit Maxima Eingabe des ursprünglichen Kundenvektors Eingabe der Übergangsmatrix Initialisieren des Kundenvektors Berechnen des neuen Kundenvektors Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.28

29 Entwicklung der Käuferzahl Maxima Berechnung der Käuferzahl mit Maxima Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.29

30 Entwicklung der Käuferzahl Iterative Berechnung Die Käuferzahlen nach zwei Wochen wurden so berechnet: k 2 = A k 1 = A A k 0 Will man die Käuferzahl nicht iterativ sondern direkt berechnen, dann müsste das so funktionieren: k 2 = A k 1 = A A k 0 = A 2 k 0 Dazu muss eine Multiplikation von Matrizen definiert werden. Dann könnte man auch k n direkt berechnen: k n = A n k 0 Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.30

31 Berechnung der Käuferzahl Berechnung von k 2 k 1 = A k 0 = a 11 a 12 a 21 a 22 0 = a 11 k a 12 k 2 k 2 a 21 k a 22 k 2 k 1 0 k 2 = A A k 0 = A k 1 = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 k a 12 k 2 0 a 21 k a 22 k 2 0 = a 11a 11 k a 11 a 12 k a 12 a 21 k a 12 a 22 k 2 0 a 21 a 11 k a 21 a 12 k a 22 a 21 k a 22 a 22 k 2 0 = a 11a 11 + a 12 a 21 k (a 11 a 12 + a 12 a 22 ) k 2 0 a 21 a 11 + a 22 a 21 k (a 21 a 12 + a 22 a 22 ) k 2 0 = a 11a 11 + a 12 a 21 a 11 a 12 + a 12 a 22 a 21 a 11 + a 22 a 21 a 21 a 12 + a 22 a 22 k 1 0 k 2 0 = A A =: A² = k 0 Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.31

32 Matrizenmultiplikation Definition Die Multiplikation von einer 2 2 -Matrix mit sich selbst ist definiert durch: a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 11 + a 12 a 21 a 11 a 12 + a 12 a 22 a 21 a 11 + a 22 a 21 a 21 a 12 + a 22 a 22 Bemerkung Vorgehensweise bei der Matrizenmultiplikation: a 11 a 12 a 21 a a 11 a 12 a 21 a a 11a 11 + a 12 a 21 a 11 a 12 + a 12 a a 21 a 11 + a 22 a 21 a 21 a 12 + a 22 a 22 Diese Vorgehensweise lässt sich verallgemeinern Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.32

33 Entwicklung der Käuferzahl Prognose ist nun ohne Iteration möglich k 30 = A 30 k 0 k 40 = A 40 k 0 k 10 = A 10 k 0 k 100 = A 100 k 0 k 20 = A 20 k 0 Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.33

34 Entwicklung der Käuferzahl Maxima Prognose nun ohne Iteration möglich k 10 = A 10 k 0 k 20 = A 20 k 0 Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.34

35 Entwicklung der Käuferzahl Maxima Prognose nun ohne Iteration möglich k 30 = A 30 k 0 k 40 = A 40 k 0 k 50 = A 50 k 0 k 60 = A 60 k 0 Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.35

36 Entwicklung der Käuferzahl Maxima Prognose nun ohne Iteration möglich k 100 = A 100 k 0 k 150 = A 150 k 0 k 1000 = A 1000 k 0 k = A k 0 Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.36

37 Entwicklung der Käuferzahl Stabiler Kundenvektor Es gibt offensichtlich nach einer bestimmten Anzahl von Wochen einen stabilen Kundenvektor k s = Obwohl weiterhin in jeder Woche Käufer die Fernsehzeitschrift wechseln, bleiben die Kundenzahlen der beiden Zeitschriften konstant. Man sagt, es stellt sich ein dynamisches Gleichgewicht ein. Für diesen stabilen Kundenvektor k s muss gelten: A k s = k s Aus dieser Gleichung sollte man k s auch direkt berechnen können. Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.37

38 Entwicklung der Käuferzahl Berechnung von k s Aus A k s = k s ergibt sich mit k s = x y 0,8 0,05 die Matrixgleichung 0,2 0,95 x y = x y. Als lineares Gleichungssystem geschrieben folgt: 0,8 x + 0,05 y = x 0,2 x + 0,95 y = y Zusammenfassen gleichartiger Terme liefert: 0,2 x + 0,05 y = 0 0,2 x 0,05 y = 0 Dieses Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar. 0,2 x 0,05 y = 0 Es gilt aber zusätzlich: x + y = Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.38

39 Entwicklung der Käuferzahl Berechnung von k s Dieses Gleichungssystem 0,2 x 0,05 y = 0 ist eindeutig lösbar. x + y = Aus der ersten Gleichung ergibt sich: x = 0,25 y Einsetzen in die zweite Gleichung liefert: 1,25 y = Es ergibt sich y = und x = als eindeutige Lösung. Stabiler Kundenvektor: k s = Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.39

40 Entwicklung der Käuferzahl Berechnung von k s Mit einem Computeralgebrasystem wie in GeoGebra kann das Gleichungssystem 0,2 x 0,05 y = 0 auch direkt gelöst werden: x + y = Eingabe von Löse 0.2 x 0.05 y = 0, x + y = 50000, x, y liefert nach Auswahl von und ggf. drücken der Taste Return {{x = 10000, y = 40000}} Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.40

41 Entwicklung der Käuferzahl Maxima Berechnung von k s Mit einem Computeralgebrasystem (CAS) wie Maxima kann das Gleichungssystem 0,2 x 0,05 y = 0 auch direkt gelöst werden: x + y = Eingabe von solve 0.2 x 0.05 y = 0, x + y = 50000, x, y ; liefert nach drücken der Tasten Shift + Return Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.41

42 Entwicklung der Käuferzahl Ergebnis Die Kundenverteilung stabilisiert sich so, dass trotz der dynamischen Entwicklung die Zeitschrift Hörzu dauerhaft und die Zeitschrift Gong durchgängig Käufer hat. Der stabile Kundenvektor lässt sich mit Hilfe der Gleichung A k s = k s und der konstanten Kundensumme berechnen. Insbesondere ist das lineare Gleichungssystem nicht von einer speziellen Anfangsverteilung der Kunden abhängig. Folglich ist auch der stabile Kundenvektor k s unabhängig von der Anfangsverteilung der Kunden! Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.42

43 Entwicklung der Übergangsmatrix Entwicklung der Übergangsmatrix Wie verändert sich bei diesem Prozess die Übergangsmatrix? Untersuchen Sie das mit Hilfe des CAS in GeoGebra. Ergebnis Offensichtlich ergibt sich eine Grenzmatrix A G : A G lim A n n 0,8 0,05 0,2 0,2 = lim = n n 0,2 0,95 0,8 0,8 Wird die Grenzmatrix A G auf den Ausgangskundenvektor k 0 angewandt, dann ergibt sich direkt der stabile Kundenvektor k s : A G k 0 = k s Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.43

44 Entwicklung der Übergangsmatrix Ergebnisse (Fortsetzung) Grenzmatrix A G und stabiler Kundenvektor k s sind unabhängig von der Anfangsverteilung. Statt Kunden kann man auch 100% bzw. 1 nutzen. Der Anfangsvektor lässt sich dann als 1 0 oder 0 1 schreiben. Multiplikation mit der Grenzmatrix A G = bzw. zweite Spalte dieser Matrix: a b c d 1 0 = a c = k s bzw. Daraus folgt: a c = b d = k s In den Spalten der Grenzmatrix A G steht jeweils der stabile Kundenvektor k s. a b c d liefert die erste a b c d 0 1 = b d = k s Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.44

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