Daniel Borchmann. Sommerakademie Görlitz September 2007

Transkript

1 Einführung in Semidenite Programmierung Daniel Borchmann Sommerakademie Görlitz September 2007

2 1 Einleitung Lineare Optimierung Semidenite Optimierung 2 MAX-CUT MAX-BISECTION MAX-2SAT

3 Einleitung Optimierungsaufgaben Gegeben sei eine Zielfunktion f : R n R. Dann betrachten wir maximiere f (x) so dass f i (x) = b i für i {1,..., m} h i (x) 0 für i {1,..., l} mit den Nebenbedingungen gegeben durch die Funktionen f i, h i : R R. Wir denieren Z := {x f i (x) = b i für alle i {1,..., m} die Menge der zulässigen Lösungen. und h i (x) 0 für alle i {1,..., l}}

4 Einleitung Problem: Eziente Lösung solcher Aufgaben ist im allgemeinen schwierig bis hin zu praktisch unmöglich. Idee: Relaxation (Vereinfachung) des Problems, um obere Schranken für den optimalen Wert zu erhalten oder Näherungslösungen zu berechnen meist durch Vergröÿerung von Z.

5 Einleitung Problem: Eziente Lösung solcher Aufgaben ist im allgemeinen schwierig bis hin zu praktisch unmöglich. Idee: Relaxation (Vereinfachung) des Problems, um obere Schranken für den optimalen Wert zu erhalten oder Näherungslösungen zu berechnen meist durch Vergröÿerung von Z.

6 Einleitung Lineare Optimierung Lineare Optimierung 1. Versuch: Wir betrachten die Standardform 1 einer linearen Optimierungsaufgabe maximiere c x so dass x R n, Ax = b, x 0 (LP) Probleme dieser Form treten häug auf, bekannte Lösungsmethoden sind Simplexverfahren Innere-Punkt Methoden... 1 hier mit Gleichungsnebenbedingungen

7 Einleitung Lineare Optimierung Lineare Optimierung 1. Versuch: Wir betrachten die Standardform 1 einer linearen Optimierungsaufgabe maximiere c x so dass x R n, Ax = b, x 0 (LP) Probleme dieser Form treten häug auf, bekannte Lösungsmethoden sind Simplexverfahren Innere-Punkt Methoden... 1 hier mit Gleichungsnebenbedingungen

8 Einleitung Lineare Optimierung Lineare Optimierung 1. Versuch: Wir betrachten die Standardform 1 einer linearen Optimierungsaufgabe maximiere c x so dass x R n, Ax = b, x 0 (LP) Probleme dieser Form treten häug auf, bekannte Lösungsmethoden sind Simplexverfahren Innere-Punkt Methoden... 1 hier mit Gleichungsnebenbedingungen

9 Einleitung Lineare Optimierung Relaxation bestimmter Probleme führen unter anderem auf lineare Optimierungsaufgaben, so zum Beispiel MAX-CUT, die Berechnung eines maximalen Schnittes in einem gewichteten Graphen, MAX-BISECTION, eine Variante von MAX-CUT mit gleichmächtigen Knotenmengen, MAX-2SAT, die Berechnung einer optimalen Belegung einer Klausel in CNF mit jeweils genau zwei Variablen. Diese Relaxationen liefern aber zu wenig Informationen! Verallgemeinerung der Linearen Optimierung auf Semidenite Optimierung (Semidenite Programming, SDP)

10 Einleitung Lineare Optimierung Relaxation bestimmter Probleme führen unter anderem auf lineare Optimierungsaufgaben, so zum Beispiel MAX-CUT, die Berechnung eines maximalen Schnittes in einem gewichteten Graphen, MAX-BISECTION, eine Variante von MAX-CUT mit gleichmächtigen Knotenmengen, MAX-2SAT, die Berechnung einer optimalen Belegung einer Klausel in CNF mit jeweils genau zwei Variablen. Diese Relaxationen liefern aber zu wenig Informationen! Verallgemeinerung der Linearen Optimierung auf Semidenite Optimierung (Semidenite Programming, SDP)

11 Einleitung Lineare Optimierung Relaxation bestimmter Probleme führen unter anderem auf lineare Optimierungsaufgaben, so zum Beispiel MAX-CUT, die Berechnung eines maximalen Schnittes in einem gewichteten Graphen, MAX-BISECTION, eine Variante von MAX-CUT mit gleichmächtigen Knotenmengen, MAX-2SAT, die Berechnung einer optimalen Belegung einer Klausel in CNF mit jeweils genau zwei Variablen. Diese Relaxationen liefern aber zu wenig Informationen! Verallgemeinerung der Linearen Optimierung auf Semidenite Optimierung (Semidenite Programming, SDP)

12 Einleitung Lineare Optimierung Relaxation bestimmter Probleme führen unter anderem auf lineare Optimierungsaufgaben, so zum Beispiel MAX-CUT, die Berechnung eines maximalen Schnittes in einem gewichteten Graphen, MAX-BISECTION, eine Variante von MAX-CUT mit gleichmächtigen Knotenmengen, MAX-2SAT, die Berechnung einer optimalen Belegung einer Klausel in CNF mit jeweils genau zwei Variablen. Diese Relaxationen liefern aber zu wenig Informationen! Verallgemeinerung der Linearen Optimierung auf Semidenite Optimierung (Semidenite Programming, SDP)

13 Einleitung Lineare Optimierung Relaxation bestimmter Probleme führen unter anderem auf lineare Optimierungsaufgaben, so zum Beispiel MAX-CUT, die Berechnung eines maximalen Schnittes in einem gewichteten Graphen, MAX-BISECTION, eine Variante von MAX-CUT mit gleichmächtigen Knotenmengen, MAX-2SAT, die Berechnung einer optimalen Belegung einer Klausel in CNF mit jeweils genau zwei Variablen. Diese Relaxationen liefern aber zu wenig Informationen! Verallgemeinerung der Linearen Optimierung auf Semidenite Optimierung (Semidenite Programming, SDP)

14 Einleitung Semidenite Optimierung Denition Eine Matrix X R n n heiÿt positiv semidenit, wenn für alle x R n stets x T Xx 0 gilt. Theorem Sei X R n n symmetrisch. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) X ist positiv semidenit b) X hat keine negativen Eigenwerte c) Für jedes y R n gilt y T Xy 0 d) Es existiert eine Matrix C R n n mit X = CC T.

15 Einleitung Semidenite Optimierung Denition Eine Matrix X R n n heiÿt positiv semidenit, wenn für alle x R n stets x T Xx 0 gilt. Theorem Sei X R n n symmetrisch. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) X ist positiv semidenit b) X hat keine negativen Eigenwerte c) Für jedes y R n gilt y T Xy 0 d) Es existiert eine Matrix C R n n mit X = CC T.

16 Einleitung Semidenite Optimierung Semidenite Programmierung 2. Versuch: Statt der Optimierungsaufgabe (LP) betrachten wir nun maximiere tr(wx ) so dass tr(a j X ) = b j für j {1,..., m}, X 0 (SDP) mit symmetrischen Matrizen W, A j, X und tr(x ) = n i=1 X ii der Spur von X.

17 Einleitung Semidenite Optimierung Semidenite Programmierung 2. Versuch: Statt der Optimierungsaufgabe (LP) betrachten wir nun maximiere tr(wx ) so dass tr(a j X ) = b j für j {1,..., m}, X 0 (SDP) mit symmetrischen Matrizen W, A j, X und tr(x ) = n i=1 X ii der Spur von X.

18 Einleitung Semidenite Optimierung Vorteile Lösung von (SDP) ist immernoch praktisch schnell (z.b. mit Inneren-Punkt Methoden): Semidenite Optimierungsaufgaben sind innerhalb einer vorgegeben Fehlertoleranz ε > 0 polynomiell in n und log 1 ε lösbar Relaxationen zu Problemen der Form (SDP) liefern im allgemeinen bessere Schranken als lineare Relaxationen Approximationsalgorithmen auf Basis von (SDP) liefern meist bessere Ergebnisse

19 Einleitung Semidenite Optimierung Vorteile Lösung von (SDP) ist immernoch praktisch schnell (z.b. mit Inneren-Punkt Methoden): Semidenite Optimierungsaufgaben sind innerhalb einer vorgegeben Fehlertoleranz ε > 0 polynomiell in n und log 1 ε lösbar Relaxationen zu Problemen der Form (SDP) liefern im allgemeinen bessere Schranken als lineare Relaxationen Approximationsalgorithmen auf Basis von (SDP) liefern meist bessere Ergebnisse

20 Einleitung Semidenite Optimierung Vorteile Lösung von (SDP) ist immernoch praktisch schnell (z.b. mit Inneren-Punkt Methoden): Semidenite Optimierungsaufgaben sind innerhalb einer vorgegeben Fehlertoleranz ε > 0 polynomiell in n und log 1 ε lösbar Relaxationen zu Problemen der Form (SDP) liefern im allgemeinen bessere Schranken als lineare Relaxationen Approximationsalgorithmen auf Basis von (SDP) liefern meist bessere Ergebnisse

21 Einleitung Semidenite Optimierung Abbildung: Vergleich von LP und SDP bei MAX-SAT, aus [GHL06]

22 MAX-CUT Beispiel: MAX-CUT Gegeben sei ein nichtnegativ gewichteter Graph G = (V, E) mit Knotenmenge V und Kantenmenge E, E 1. Ohne Einschränkung sei G vollständig 2. Es bezeichne weiterhin w ij das Gewicht der Kante (i, j) E. Es sei das Gewicht w das Schnittes (S, V \ S) gegeben durch w(s, V \ S) := w ij. i S,j / S 2 nicht vorhanden Kanten bekommen das Gewicht 0

23 MAX-CUT Beispiel: MAX-CUT Gegeben sei ein nichtnegativ gewichteter Graph G = (V, E) mit Knotenmenge V und Kantenmenge E, E 1. Ohne Einschränkung sei G vollständig 2. Es bezeichne weiterhin w ij das Gewicht der Kante (i, j) E. Es sei das Gewicht w das Schnittes (S, V \ S) gegeben durch w(s, V \ S) := w ij. i S,j / S 2 nicht vorhanden Kanten bekommen das Gewicht 0

24 MAX-CUT Dann ist das Problem MAX-CUT gegeben durch maximiere w(s, V \ S) so dass S V Theorem MAX-CUT N PC.

25 MAX-CUT Dann ist das Problem MAX-CUT gegeben durch maximiere w(s, V \ S) so dass S V Theorem MAX-CUT N PC.

26 MAX-CUT MAX-CUT als SDP Idee: Assoziere mit einem Knoten i V eine Variable y i { 1, 1}, so dass i S y i = 1 gilt. Dann ist mit S = {y i y i = 1} das Gewicht eines Schnittes gegeben durch w(s, V \ S) = 1 w ij (1 y i y j ). 2 i<j

27 MAX-CUT MAX-CUT als SDP Idee: Assoziere mit einem Knoten i V eine Variable y i { 1, 1}, so dass i S y i = 1 gilt. Dann ist mit S = {y i y i = 1} das Gewicht eines Schnittes gegeben durch w(s, V \ S) = 1 w ij (1 y i y j ). 2 i<j

28 MAX-CUT Dann ergibt sich MAX-CUT zu maximiere so dass 1 w ij (1 y i y j ) 2 i<j y i { 1, 1} für alle i V (MAX-CUT)

29 MAX-CUT Beobachtung: Die Variablen y i y j treten als Produkt auf, d.h die Matrix Y = (y i y j ) V i,j=1 ist positiv semidenit mit Y ii = 1. Dies ergibt: SDP (MAX-CUT) maximiere so dass 1 w ij (1 Y ij ) 2 i<j Y ii = 1 für alle i V Y 0 (MAX-CUT-SDP)

30 MAX-CUT Beobachtung: Die Variablen y i y j treten als Produkt auf, d.h die Matrix Y = (y i y j ) V i,j=1 ist positiv semidenit mit Y ii = 1. Dies ergibt: SDP (MAX-CUT) maximiere so dass 1 w ij (1 Y ij ) 2 i<j Y ii = 1 für alle i V Y 0 (MAX-CUT-SDP)

31 MAX-CUT Approximation von MAX-CUT Bemerkung Mit Hilfe von (MAX-CUT-SDP) wurden signikante Verbesserungen in der Berechnung von Näherungslösungen von MAX-CUT erzielt: Der erwartete Wert bei der Lösung von MAX-CUT ist mindestens Optimalwert. (1.1382; siehe z.b. [GW95]) Idee dazu: Fasse Variablen y i in (MAX-CUT) als eindimensionale Vektoren mit euklidischer Norm 1 auf. Mögliche Relaxation ist dann: Statt eindimensional auch mehrdimensional zulassen.

32 MAX-CUT Approximation von MAX-CUT Bemerkung Mit Hilfe von (MAX-CUT-SDP) wurden signikante Verbesserungen in der Berechnung von Näherungslösungen von MAX-CUT erzielt: Der erwartete Wert bei der Lösung von MAX-CUT ist mindestens Optimalwert. (1.1382; siehe z.b. [GW95]) Idee dazu: Fasse Variablen y i in (MAX-CUT) als eindimensionale Vektoren mit euklidischer Norm 1 auf. Mögliche Relaxation ist dann: Statt eindimensional auch mehrdimensional zulassen.

33 MAX-CUT Approximation von MAX-CUT Bemerkung Mit Hilfe von (MAX-CUT-SDP) wurden signikante Verbesserungen in der Berechnung von Näherungslösungen von MAX-CUT erzielt: Der erwartete Wert bei der Lösung von MAX-CUT ist mindestens Optimalwert. (1.1382; siehe z.b. [GW95]) Idee dazu: Fasse Variablen y i in (MAX-CUT) als eindimensionale Vektoren mit euklidischer Norm 1 auf. Mögliche Relaxation ist dann: Statt eindimensional auch mehrdimensional zulassen.

34 MAX-CUT maximiere so dass 1 w ij (1 v T i v j ) 2 i<j v i S n 1 für alle i V (APPROX) Setze dann Y = Gram({v 1,..., v V }) = (v T i v j ) V i,j=1 womit (APPROX) wieder auf (MAX-CUT-SDP) führt.

35 MAX-CUT maximiere so dass 1 w ij (1 v T i v j ) 2 i<j v i S n 1 für alle i V (APPROX) Setze dann Y = Gram({v 1,..., v V }) = (v T i v j ) V i,j=1 womit (APPROX) wieder auf (MAX-CUT-SDP) führt.

36 MAX-CUT Dies führt dann zu Algorithmus (Approximationsalgorithmus für MAX-CUT, [GW95]) 1) Löse (APPROX) als SDP mit Lösung {v 1,..., v V }, 2) wähle zufällig einen Vektor r S n 1, 3) und setze S = {i v T i r 0}. Bemerkung Für den Erwartungswert E w E w α 1 2 i<j des Schnittes gilt w ij (1 v T i v j ) = α OPT unter den genannten Nebenbedingungen mit 2 θ α = min 0<θ π π 1 cos θ >

37 MAX-CUT Dies führt dann zu Algorithmus (Approximationsalgorithmus für MAX-CUT, [GW95]) 1) Löse (APPROX) als SDP mit Lösung {v 1,..., v V }, 2) wähle zufällig einen Vektor r S n 1, 3) und setze S = {i v T i r 0}. Bemerkung Für den Erwartungswert E w E w α 1 2 i<j des Schnittes gilt w ij (1 v T i v j ) = α OPT unter den genannten Nebenbedingungen mit 2 θ α = min 0<θ π π 1 cos θ >

38 MAX-CUT Berechnung der garantierten erwarteten Güte Lemma Es gilt E w = 1 π i<j w ij arccos(v T i v j ) Beweis E w = i<j w ij Pr[v i und v j werden durch r getrennt] = i<j w ij Pr[sgn(v T i r) sgn(v T j r)] Bild = w ij 1 π arccos(v T i v j ) i<j

39 MAX-CUT Berechnung der garantierten erwarteten Güte Lemma Es gilt E w = 1 π i<j w ij arccos(v T i v j ) Beweis E w = i<j w ij Pr[v i und v j werden durch r getrennt] = i<j w ij Pr[sgn(v T i r) sgn(v T j r)] Bild = w ij 1 π arccos(v T i v j ) i<j

40 MAX-CUT Berechnung der garantierten erwarteten Güte Lemma Es gilt E w = 1 π i<j w ij arccos(v T i v j ) Beweis E w = i<j w ij Pr[v i und v j werden durch r getrennt] = i<j w ij Pr[sgn(v T i r) sgn(v T j r)] Bild = w ij 1 π arccos(v T i v j ) i<j

41 MAX-CUT Berechnung der garantierten erwarteten Güte Lemma Es gilt E w = 1 π i<j w ij arccos(v T i v j ) Beweis E w = i<j w ij Pr[v i und v j werden durch r getrennt] = i<j w ij Pr[sgn(v T i r) sgn(v T j r)] Bild = w ij 1 π arccos(v T i v j ) i<j

42 MAX-CUT Lemma Es ist für 1 y 1 mit 1 π arccos(y) α 1 (1 y) 2 2 θ α = min 0<θ π π 1 cos θ > Beweis. 1 π arccos(y) 1 (1 y) min 1 y<1 2 1 π arccos(y) cos θ y 2 1 (1 y) = min 0<θ π π 2 θ 1 cos θ

43 MAX-CUT Lemma Es ist für 1 y 1 mit 1 π arccos(y) α 1 (1 y) 2 2 θ α = min 0<θ π π 1 cos θ > Beweis. 1 π arccos(y) 1 (1 y) min 1 y<1 2 1 π arccos(y) cos θ y 2 1 (1 y) = min 0<θ π π 2 θ 1 cos θ

44 MAX-CUT Lemma Es ist für 1 y 1 mit 1 π arccos(y) α 1 (1 y) 2 2 θ α = min 0<θ π π 1 cos θ > Beweis. 1 π arccos(y) 1 (1 y) min 1 y<1 2 1 π arccos(y) cos θ y 2 1 (1 y) = min 0<θ π π 2 θ 1 cos θ

45 MAX-CUT Zusammen gilt nun E w = 1 π i<j α 1 2 w ij arccos(v T i v j ) i<j w ij (1 v T i v j ) = α OPT Bemerkung Die Berechnungsungenauigkeit bei Lösung von (APPROX) kann in den Approximationsfaktor verschoben werden. Die Güte von ist die bislang beste, bekannte Approximationsgüte (nach [Wa06]) Verbesserung auf Optimalwert (1.0615) ist in N PC (siehe [Has97])

46 MAX-CUT Zusammen gilt nun E w = 1 π i<j α 1 2 w ij arccos(v T i v j ) i<j w ij (1 v T i v j ) = α OPT Bemerkung Die Berechnungsungenauigkeit bei Lösung von (APPROX) kann in den Approximationsfaktor verschoben werden. Die Güte von ist die bislang beste, bekannte Approximationsgüte (nach [Wa06]) Verbesserung auf Optimalwert (1.0615) ist in N PC (siehe [Has97])

47 MAX-CUT Zusammen gilt nun E w = 1 π i<j α 1 2 w ij arccos(v T i v j ) i<j w ij (1 v T i v j ) = α OPT Bemerkung Die Berechnungsungenauigkeit bei Lösung von (APPROX) kann in den Approximationsfaktor verschoben werden. Die Güte von ist die bislang beste, bekannte Approximationsgüte (nach [Wa06]) Verbesserung auf Optimalwert (1.0615) ist in N PC (siehe [Has97])

48 MAX-CUT Zusammen gilt nun E w = 1 π i<j α 1 2 w ij arccos(v T i v j ) i<j w ij (1 v T i v j ) = α OPT Bemerkung Die Berechnungsungenauigkeit bei Lösung von (APPROX) kann in den Approximationsfaktor verschoben werden. Die Güte von ist die bislang beste, bekannte Approximationsgüte (nach [Wa06]) Verbesserung auf Optimalwert (1.0615) ist in N PC (siehe [Has97])

49 MAX-CUT Zusammen gilt nun E w = 1 π i<j α 1 2 w ij arccos(v T i v j ) i<j w ij (1 v T i v j ) = α OPT Bemerkung Die Berechnungsungenauigkeit bei Lösung von (APPROX) kann in den Approximationsfaktor verschoben werden. Die Güte von ist die bislang beste, bekannte Approximationsgüte (nach [Wa06]) Verbesserung auf Optimalwert (1.0615) ist in N PC (siehe [Has97])

50 MAX-BISECTION Beispiel: MAX-BISECTION Wir betrachten MAX-CUT mit der Zusatzbedingung, dass E 2N und dass beide Knotenmengen gleichmächtig sein sollen: maximiere so dass 1 w ij (1 y i y j ) 2 i<j y i { 1, 1} für alle i V V y i = 0 i=1

51 MAX-BISECTION MAX-BISECTION als SDP Beobachtung: Schreibe V y i=1 i = 0 als e T y = 0 mit e = (1) V i=1 R V und y = (y i ) V i=1 R V. Weiterhin setzen wir wieder Y = (y i y j ) V. i,j=1 Statt der Bedingung e T y = 0 setzen wir dann Dies ergibt: tr(ee T Y ) = 0 SDP (MAX-BISECTION) 1 maximiere w ij (1 Y ij ) 2 i<j so dass tr(ee T Y ) = 0 Y ii = 1 für alle i V Y 0 (MAX-BISEC)

52 MAX-BISECTION MAX-BISECTION als SDP Beobachtung: Schreibe V y i=1 i = 0 als e T y = 0 mit e = (1) V i=1 R V und y = (y i ) V i=1 R V. Weiterhin setzen wir wieder Y = (y i y j ) V. i,j=1 Statt der Bedingung e T y = 0 setzen wir dann Dies ergibt: tr(ee T Y ) = 0 SDP (MAX-BISECTION) 1 maximiere w ij (1 Y ij ) 2 i<j so dass tr(ee T Y ) = 0 Y ii = 1 für alle i V Y 0 (MAX-BISEC)

53 MAX-BISECTION Algorithmus (MAX-BISECTION nach Frieze/Jerrum, [Ye99]) 1) Löse die Relaxation (MAX-BISEC) und bestimme den Schnitt S wie bei MAX-CUT 2) falls die erhaltenen Mengen nicht gleichmächtig sind, dann tausche solange leichte Knoten aus der gröÿeren Menge in die kleiner Menge, bis dies erfüllt ist Bemerkung Der oben angegebene Algorithmus hat einen erwarteten Wert von Optimalwert (1.536) Die Relaxation (MAX-BISEC) kann genutzt werden, um Näherungsalgorithmen zu konstruieren, deren erwarteter Wert gröÿer oder gleich Optimalwert ist. (1.4306, siehe [Ye99])

54 MAX-BISECTION Algorithmus (MAX-BISECTION nach Frieze/Jerrum, [Ye99]) 1) Löse die Relaxation (MAX-BISEC) und bestimme den Schnitt S wie bei MAX-CUT 2) falls die erhaltenen Mengen nicht gleichmächtig sind, dann tausche solange leichte Knoten aus der gröÿeren Menge in die kleiner Menge, bis dies erfüllt ist Bemerkung Der oben angegebene Algorithmus hat einen erwarteten Wert von Optimalwert (1.536) Die Relaxation (MAX-BISEC) kann genutzt werden, um Näherungsalgorithmen zu konstruieren, deren erwarteter Wert gröÿer oder gleich Optimalwert ist. (1.4306, siehe [Ye99])

55 MAX-2SAT Beispiel: MAX-2SAT Gegeben sei n N und eine Menge C = {C j C j = x αj 1 j1 von Klauseln. x αj 2, j {1,..., n}, α j2 j1, α j2 { 1, 1}} Dann ist MAX-2SAT die Maximierungsaufgabe Finde eine Belegung der Variablen x i derart, dass die Anzahl der gültigen Klauseln C j maximal wird.

56 MAX-2SAT Beispiel: MAX-2SAT Gegeben sei n N und eine Menge C = {C j C j = x αj 1 j1 von Klauseln. x αj 2, j {1,..., n}, α j2 j1, α j2 { 1, 1}} Dann ist MAX-2SAT die Maximierungsaufgabe Finde eine Belegung der Variablen x i derart, dass die Anzahl der gültigen Klauseln C j maximal wird.

57 MAX-2SAT MAX-2SAT als SDP Vorbetrachtungen assoziere mit jeder Variablen x i {true, false} eine Variable y i { 1, 1} Einführung einer weiteren Variablen y 0 { 1, 1} Wir setzen x i auf true dann und nur dann, wenn y 0 = y i gilt.

58 MAX-2SAT MAX-2SAT als SDP Vorbetrachtungen assoziere mit jeder Variablen x i {true, false} eine Variable y i { 1, 1} Einführung einer weiteren Variablen y 0 { 1, 1} Wir setzen x i auf true dann und nur dann, wenn y 0 = y i gilt.

59 MAX-2SAT MAX-2SAT als SDP Vorbetrachtungen assoziere mit jeder Variablen x i {true, false} eine Variable y i { 1, 1} Einführung einer weiteren Variablen y 0 { 1, 1} Wir setzen x i auf true dann und nur dann, wenn y 0 = y i gilt.

60 MAX-2SAT Ziel: Deniere Funktion v : C N, welche die wahren Klauseln zählt. Es bezeichne N die Anzahl der in C vorkommenden Variablen. Für die Variablen x i mit i {0,..., N} deniere { 0 falls xi = false v(x i ) = 1 falls x i = true oder mit Hilfe der Variablen y i : v(x i ) = 1 + y 0y i. 2 Entsprechend setze v(x i ) = 1 y 0y i. 2

61 MAX-2SAT Ziel: Deniere Funktion v : C N, welche die wahren Klauseln zählt. Es bezeichne N die Anzahl der in C vorkommenden Variablen. Für die Variablen x i mit i {0,..., N} deniere { 0 falls xi = false v(x i ) = 1 falls x i = true oder mit Hilfe der Variablen y i : v(x i ) = 1 + y 0y i. 2 Entsprechend setze v(x i ) = 1 y 0y i. 2

62 MAX-2SAT Ziel: Deniere Funktion v : C N, welche die wahren Klauseln zählt. Es bezeichne N die Anzahl der in C vorkommenden Variablen. Für die Variablen x i mit i {0,..., N} deniere { 0 falls xi = false v(x i ) = 1 falls x i = true oder mit Hilfe der Variablen y i : v(x i ) = 1 + y 0y i. 2 Entsprechend setze v(x i ) = 1 y 0y i. 2

63 MAX-2SAT Deniere nun v auf den Klauseln x i x k : v(x i x k ) = 1 (x i x k ) = 1 1 y 0y i 2 = 1 + y 0y i 4 1 y 0 y k y 0y k y i y k 4

64 MAX-2SAT Damit nun MAX-2SAT als Optimierungsaufgabe maximiere v(c) c C so dass y i { 1, 1} für alle i {0,..., N} (MAX-2SAT)

65 MAX-2SAT Es ist v(c) = a c C i<j ij(1 + y i y j ) + b ij (1 y i y j ). Dann kann die Optimierungsaufgabe (MAX-2SAT) geschrieben werden als maximiere a ij (1 + y i y j ) + b ij (1 y i y j ) i<j so dass y i S 0 für alle i {0,..., N}

66 MAX-2SAT Es ist v(c) = a c C i<j ij(1 + y i y j ) + b ij (1 y i y j ). Dann kann die Optimierungsaufgabe (MAX-2SAT) geschrieben werden als maximiere a ij (1 + y i y j ) + b ij (1 y i y j ) i<j so dass y i S 0 für alle i {0,..., N}

67 MAX-2SAT Schlieÿlich wieder die Relaxation: Lasse statt S 0 auch S n 1 zu: SDP (MAX-2SAT) maximiere so dass a ij (1 + Y ij ) + b ij (1 Y ij ) i<j Y ii = 1 für alle i {0,..., N}, Y 0 Bemerkung Wir erhalten damit als Lösung {v 0,..., v V }, wählen wieder r S n 1 zufällig und setzen alle Variablen x i auf true, die die Gleichung sgn v T r = sgn v T i 0 r erfüllen, den Rest auf false. Bemerkung Eine Verbesserung auf Optimalwert (also einer Güte von ) ist möglich!

68 MAX-2SAT Schlieÿlich wieder die Relaxation: Lasse statt S 0 auch S n 1 zu: SDP (MAX-2SAT) maximiere so dass a ij (1 + Y ij ) + b ij (1 Y ij ) i<j Y ii = 1 für alle i {0,..., N}, Y 0 Bemerkung Wir erhalten damit als Lösung {v 0,..., v V }, wählen wieder r S n 1 zufällig und setzen alle Variablen x i auf true, die die Gleichung sgn v T r = sgn v T i 0 r erfüllen, den Rest auf false. Bemerkung Eine Verbesserung auf Optimalwert (also einer Güte von ) ist möglich!

69 MAX-2SAT Schlieÿlich wieder die Relaxation: Lasse statt S 0 auch S n 1 zu: SDP (MAX-2SAT) maximiere so dass a ij (1 + Y ij ) + b ij (1 Y ij ) i<j Y ii = 1 für alle i {0,..., N}, Y 0 Bemerkung Wir erhalten damit als Lösung {v 0,..., v V }, wählen wieder r S n 1 zufällig und setzen alle Variablen x i auf true, die die Gleichung sgn v T r = sgn v T i 0 r erfüllen, den Rest auf false. Bemerkung Eine Verbesserung auf Optimalwert (also einer Güte von ) ist möglich!

70 Danke

71 Literaturhinweise I [Ali93] [BV04] [FJ95] Farid Alizadeh Interior Point Methods in Semidenite Programming with Applications to Combinatorial Optimization (online) Stephen Boyd und Lieven Vandenberghe Convex Optimization Cambridge University Press, 2004 Alan Frieze und Mark Jerrum Improved Approximation Algorithms for MAX k-cut and MAX-BISECTION (online)

72 Literaturhinweise II [GHL06] Carla P. Gomes et. al The Power of Semidenite Programming Relaxations for MAXSAT In Proc. Conf. Intregration of AI/OR (CPAIOR06), 2006 (online) [GW95] [Has97] Michel X. Goemans und David P. Williamson Improved Approximation Algorithms for Maximum Cut and Satisability Problems Using Semidenite Programming Proceedings of the 26th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, (online) Johan Håstad Some optimal inapproximability results (online)

73 Literaturhinweise III [helm] [Wa06] [Ye99] Christop Helmberg Semidenite Programming zu nden unter ~helmberg/semidef.html Rolf Wanka Approximationsalgorithmen Teubner Verlag, Wiesbaden, 2006 Yinyu Ye A.699-Approimation Algorithm for Max-Bisection (online)