Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Mathematik-Studienhilfen. Eine Einführung. 3., aktualisierte Auflage

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1 Günter M. Gramlich Mathematik-Studienhilfen Lineare Algebra Eine Einführung 3., aktualisierte Auflage

2 Günter M. Gramlich LineareAlgebra

3 Mathematik Studienhilfen Herausgegeben von Prof. Dr. Bernd Engelmann Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig, Fachbereich Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Zu dieser Buchreihe Die Reihe Mathematik-Studienhilfen richtet sich vor allem an Studenten technischer und wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen an Fachhochschulen und Universitäten. Die mathematische Theorie und die daraus resultierenden Methoden werden korrekt aber knapp dargestellt. Breiten Raum nehmen ausführlich durchgerechnete Beispiele ein, welche die Anwendung der Methoden demonstrieren und zur Übung zumindest teilweise selbstständig bearbeitet werden sollten. In der Reihe werden neben mehreren Bänden zu den mathematischen Grundlagen auch verschiedene Einzelgebiete behandelt, die je nach Studienrichtung ausgewählt werden können. Die Bände der Reihe können vorlesungsbegleitend oder zum Selbststudium eingesetzt werden. Bisher erschienen: Dobner/Engelmann, Analysis 1 Dobner/Engelmann, Analysis 2 Dobner/Dobner, Gewöhnliche Differenzialgleichungen Gramlich, Lineare Algebra Gramlich, Anwendungen der Linearen Algebra Knorrenschild, Numerische Mathematik Knorrenschild, Vorkurs Mathematik Martin, Finanzmathematik Nitschke, Geometrie Preuß, Funktionaltransformationen Sachs, Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik Stingl, Operations Research Linearoptimierung Tittmann, Graphentheorie

4 Lineare Algebra Eine Einführung von Prof. Dr. Günter M. Gramlich 3., aktualisierte Auflage mit 48 Bildern, 132 Beispielen und 80 Aufgaben Fachbuchverlag Leipzig im CarlHanser Verlag

5 Autor Prof. Dr. Günter M. Gramlich Hochschule Ulm Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN E-Book-ISBN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches, oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2011 Carl Hanser Verlag München Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Katrin Wulst Satz: Günter Gramlich, Ulm Coverconcept: Marc Müller-Bremer, München Coverrealisierung: Stephan Rönigk Druck und Binden: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza Printed in Germany

6 Vorwort Vorlesungen zur Linearen Algebra gehören zuden Pflichtveranstaltungen der mathematischen Grundausbildung von allen Studierenden der ingenieurwissenschaftlichen, wirtschaftwissenschaftlichen, naturwissenschaftlichen sowie informations- und kommunikationstechnischen Fachrichtungen an Fachhochschulen, Hochschulen und Universitäten. Das in einem Band erscheinende Arbeits- und Übungsbuch zur Linearen Algebra in der Reihe Mathematik-Studienhilfen gibt eine knappe, konzentrierte Darstellung der wesentlichen Begriffe, Ergebnisse und Methoden und stellt das Einüben und Trainieren dieser anhand zahlreicher Beispiele mit vollständigen Lösungen in den Mittelpunkt. Das Buch eignet sich daher insbesondere zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung. Die zentralen Gleichungen der Linearen Algebra sind lineare Gleichungssysteme Ax = b und Eigenwertgleichungen Ax = λx. Esist einfach faszinierend, wie viel man über diese beiden Gleichungen sagen (und lernen) kann. Viele Anwendungen sind diskret und nicht kontinuierlich, digital anstatt analog und linearisierbar anstatt unberechenbar und chaotisch. Dann aber sind Matrizen und Vektoren die geeigneten Objekte und die Lineare Algebra die richtige Sprache; an die Stelle von kontinuierlichen Funktionen treten Vektoren. Unser Buch ist so angelegt, dass es in der vorgegebenen Reihenfolge, ohne Auslassungen, sicher aber mit häufigem Zurückblättern, bearbeitet werden kann. Die Sätze sind grau unterlegt, durchnummeriert und (fast) jeder Satz mit einem Namen versehen. Eine Definition erkennt man nicht daran, dass davor Definition steht, sondern daran, dass der zu definierende Begriff fett gedruckt ist. An zahlreichen Beispielen können Sie die zentralen Begriffe und Methoden der Linearen Algebra trainieren. Jedes Kapitel beinhaltet Aufgaben, deren Lösungen am Ende abgedruckt sind. Sie finden zwei Sorten von Aufgaben. Zum einen ganz einfache Kästchenaufgaben bzw. Richtig- oder Falsch-Aufgaben, diese dienen zur unmittelbaren Selbstkontrolle und zum anderen die eigentlichen Aufgaben. Bei diesen habe ich mich bemüht, keine unnötigen Tricks einzubauen, sondern Ihnen Erfolgserlebnisse zu ermöglichen. Das Sachwortverzeichnis ist recht ausführlich angelegt, um das Auffinden von Definitionen und Erläuterungen beim Zurückblättern oder bei der späteren

7 6 Arbeitmit dem Buchzuerleichtern. Beweise habe ich nur dann geführt,wenn sie wesentlich zum Verständnis der betrachteten Zusammenhänge beitragen. In der Regel werden mathematische Sätze jedoch nur formuliert und ihre Bedeutung wird an Beispielen aufgezeigt. Sind Sie an vollständigen Beweisen interessiert, so verweise ich Sie auf die angegebene Literatur. Ich habe mich bemüht, Bezeichnungen konsistent über das ganze Buch hinweg zuverwenden. Punkte, Mengen und lineare Abbildungen werden mit großen lateinischen Buchstaben A, B, C usw. bezeichnet. Besonders wichtige Mengen, wie zum Beispiel die reellen Zahlen R werden ebenfalls mit großen lateinischen Buchstaben geschrieben, darüber hinaus sind sie aber noch fett gedruckt. Reelle Zahlen sind kleine lateinische a, b, c,... oder griechische Buchstaben α, β, γ, usw. Vektoren und Matrizen sind fett und kursiv geschrieben; Vektoren sind kleine (a, b, c usw.) und Matrizen sind große lateinische Buchstaben (A,B,Cusw.). Das vorliegende Buch habe ich vollständig in L A TEX mit der Hauptklasse scrbook des KOMA-Script Pakets erstellt. Die Literaturhinweise wurden mit BibTEXund der Index mit MakeIndex erzeugt. Alle Bilder wurden mithilfe von PSTricks erstellt. Ohne diese schönen Tools wäre dies alles viel schwieriger gewesen. Für jede Anregung, nützlichen Hinweis oder Verbesserungsvorschlag bin ich dankbar. Sie können mich über Post oder gramlich@hs-ulm.de erreichen. Auch nachdem das Buch in Druck gegangen ist, wird es weiterleben. So finden Sie auf meiner Homepage eine ständig aktualisierte Fehlerliste zu diesem Buch, die.bib-datei, in der die von mir angegebene Literatur steht und weitere interessante Links zur Linearen Algebra. Ich danke meinem Kollegen Klaus Ressel und meinen (ehemaligen) Studenten Karin Lehner, Christian Beck und Stefan Polzer, die durch Hinweise auf Druck- oder Denkfehler, oder einfach durch ihr fachliches oder didaktisches Interesse andiesem Buch und seinem Inhalt, zur Verbesserung des Textes beigetragen haben. Dank an Herrn Engelmann für die Aufnahme in diese Reihe, sowie an Frau Fritzsch und an Frau Wulst für die vielen Hinweise zur Gestaltung dieses Büchleins. In der dritten Auflage habe ich an zahlreichen Stellen Änderungen, Glättungen, Verbesserungen und Erweiterungen vorgenommen. Ulm, im Sommer 2011 Günter M. Gramlich

8 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen Das Gauß- undgauß-jordan-verfahren Mehr über Matrizen Operationen mit Matrizen Die Matrixform eines linearen Gleichungssystems Lösen quadratischer Systeme durch Matrixinvertierung Weitere Bemerkungen und Hinweise Vektoren in der Ebene und im Raum Geometrische Vektoren Vektoren inkoordinatensystemen Rechenregeln für Vektoren inkoordinatendarstellung Die Länge von Vektoren Das Skalarprodukt Das Kreuzprodukt Weitere Bemerkungen und Hinweise Analytische Geometrie von Geraden und Ebenen Darstellungen von Geraden Darstellungen von Ebenen Weitere Bemerkungen und Hinweise Reelle Vektorräume und Unterräume Die Vektorraum-Definition Der Vektorraum R n Weitere Beispiele von reellen Vektorräumen Untervektorräume Der Nullraum und homogene lineare Gleichungssysteme Linearkombinationen Die vier Fundamentalräume einer Matrix Der Spaltenraum und lineare Gleichungssysteme

9 8 Inhaltsverzeichnis 4.9 Lineare Unabhängigkeit Basis und Dimension Die Struktur der Lösungsmenge von Ax = b Lineare Gleichungssysteme. Zeilen- und Spaltenbild Basen für die vier Fundamentalräume Die Dimensionen der vier Fundamentalräume Der Euklidische Vektorraum R n Die Orthogonalität der vier Fundamentalräume Orthogonale Projektionen Lineare Ausgleichsrechnung Orthogonal- und Orthonormalbasen Weitere Bemerkungen und Hinweise Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen von R n nach R m Weitere Beispiele linearer Abbildungen Anwendungen Weitere Bemerkungen und Hinweise Determinanten Die Determinante einer (2, 2)-Matrix Verallgemeinerung auf (n, n)-matrizen Determinanten und lineare Gleichungssysteme Weitere Bemerkungen und Hinweise Eigenwerte und Eigenvektoren Wie berechnet man Eigenwerte und Eigenvektoren? Diagonalisierung einer Matrix Orthogonale Matrizen Diagonalisierung mit orthogonalen Matrizen Weitere Bemerkungen und Hinweise Lösungen 194 Literaturverzeichnis 203 Sachwortverzeichnis 204

10 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen The simplest model in applied mathematics is a system of linear equations. It is also byfar the most important. Gilbert Strang In vielen realen, aber auch innermathematischen Problemen treten lineare Gleichungssysteme auf; ihre Behandlung ist eines der wichtigsten Themen der Linearen Algebra. In der Elektrotechnik etwa führt die Anwendung der Kirchhoffschen Knotenregel für Schaltkreise auf lineare Gleichungssysteme, Bilanzaufgaben in Technik und Ökonomie werden mit linearen Systemen modelliert. Innerhalb der Mathematik werden Lösungen nichtlinearer Gleichungssysteme und Optimierungsaufgaben mit linearen Systemen gesucht (Quasi-Newton-Verfahren). Interpolationen und Approximationen von Kurven und Flächen mittels Spline- und anderer Funktionen führen auf lineare Systeme. Die Integration von Anfangswertaufgaben bei Systemen gewöhnlicher Differenzialgleichungen, die Diskretisierung von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen mittels Differenzenverfahren oder finiter Elemente oder das Lösen von Anfangs- und Randwertaufgaben bei partiellen Differenzialgleichungen führt über lineare Gleichungssysteme zur Lösung. Zur sachgerechten Behandlung mathematischer Probleme der Technik und Wirtschaft, etwa zu Netzwerkberechnungen in der Elektrotechnik oder zur Berechnung von Fachwerken in der Statik, zur Lösung von Transportproblemen oder anderen Optimierungsaufgaben, zur qualitativen und quantitativen Diskussion mechanischer dynamischer Systeme bedient man sich der Matrizenrechnung. 1.1 Lineare Gleichungssysteme Die Gleichung 2x 5=3 ist eine lineare Gleichung, weil die Variable x linear in ihr vorkommt. Löst man die Gleichung 2x 5 = 3 nach der Unbekannten x auf, so erhält man die Lösung x =4.