Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

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1 Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg

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6 Argumentationstechniken PLUS Mathematik Direkter Beweis einer Implikation A B (analog Äquivalenz A B): A C 1 C 2... B Beweis von A B durch Gegenbeispiel Beweisprinzip der vollständigen Induktion für Allaussagen Induktionsanfang: Beweis der Aussage für kleinstmöglichen Wert von n (oft n = 0 oder n = 1 ) Induktionsvoraussetzung: Annahme, dass die Aussage für n wahr ist Induktionsschluss: Beweis (unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung), dass die Aussage auch für n + 1 gültig ist Beispiel (vollst. Induktion): A(n) = n i=1 i = n(n+1) 2 ; n N 1 Ind.-Anfang: n = 1 : i = 1 = = 1 i=1 Ind.-Schluss: n+1 i = n i + (n + 1) = n(n+1) 2 + (n + 1) = n(n+1)+2(n+1) 2 = i=1 i=1 (n+1)(n+2) 2 1. Aussagenlogik 1.1. Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren 2. Lineare Algebra 3. Lineare Programme 4. Folgen und Reihen 5. Finanzmathematik 6. Reelle Funktionen 7. Differenzieren 1 8. Differenzieren 2 9. Integration 10. DGLs 16

7 Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel PLUS Mathematik Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung Daraus: Gewinn = Umsatz Kosten A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich Damit gilt: A B, andererseits aber B A. Gegenbeispiel zur Bestätigung von B A: 1. Aussagenlogik 1.1. Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren 2. Lineare Algebra 3. Lineare Programme 4. Folgen und Reihen 5. Finanzmathematik 6. Reelle Funktionen 7. Differenzieren 1 8. Differenzieren 2 9. Integration 10. DGLs 17

8 Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel PLUS Mathematik Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung Daraus: Gewinn = Umsatz Kosten A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich Damit gilt: A B, andererseits aber B A. Gegenbeispiel zur Bestätigung von B A: Für zwei Produkte gegeben: Umsätze u 1 = 2, u 2 = 5 Kosten c 1 = 1, c 2 = 4 Dann ist g 1 = u 1 c 1 = 2 1 = 1 = u 2 c 2 = 5 4 = g 2, aber u 1 u 2, c 1 c Aussagenlogik 1.1. Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren 2. Lineare Algebra 3. Lineare Programme 4. Folgen und Reihen 5. Finanzmathematik 6. Reelle Funktionen 7. Differenzieren 1 8. Differenzieren 2 9. Integration 10. DGLs 17

9 Mathematik: Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 7 Differenzieren 1 8 Differenzieren 2 9 Integration 2 Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Matrixalgebra Punktmengen im R n Lineare Gleichungssysteme Inverse Matrizen Determinanten Eigenwerte 10 Differentialgleichungen

10 Mathematik Warum beschäftigen wir uns mit linearer Algebra? Quantitative tabellarische Daten (Excel) sind aus betriebs- und volkswirtschaftlichen Fragestellungen nicht wegzudenken Methoden der Matrizenrechnung erleichtern beziehungsweise ermöglichen die Analyse solcher Daten Wesentliche Lernziele Kennenlernen der Eigenschaften von Matrizen Beherrschen elementarer Matrixoperationen Fähigkeit, lineare Gleichungssysteme aufzustellen, zu lösen und diese Lösung darzustellen Beherrschen des Invertierens spezieller Matrizen 1. Aussagenlogik 2. Lineare Algebra 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 3. Lineare Programme 4. Folgen und Reihen 5. Finanzmathematik 6. Reelle Funktionen 7. Differenzieren 1 8. Differenzieren 2 9. Integration 10. DGLs 19

11 Einführung Mathematik Beispiel 1 Eine Unternehmung stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F 1, F 2, F 3 zwei Produkte P 1, P 2 her. Zur Produktion für jede Mengeneinheit von P j (j = 1,2) werden a ij Mengeneinheiten von F i (i = 1,2,3) verbraucht. Verbrauch für eine Einheit des Produkts P 1 P 2 von Einheiten F 1 a 11 a 12 der F 2 a 21 a 22 Produktionsfaktoren F 3 a 31 a 32 Grafisch dargestellt: F 1 F 2 F 3 a 11 a 12 a 21 a 22 P 1 P 2 a 31 a Aussagenlogik 2. Lineare Algebra 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 3. Lineare Programme 4. Folgen und Reihen 5. Finanzmathematik 6. Reelle Funktionen 7. Differenzieren 1 8. Differenzieren 2 9. Integration 10. DGLs 20

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13 Einführung Mathematik Beispiel 2 Für fünf gleichartige Produkte P 1,..., P 5 werden drei Merkmale erhoben, und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt nachfragt. Ergebnis: 1. Aussagenlogik 2. Lineare Algebra 2.1. Matrizen und Vektoren Fragen: Merkmale Preis Qualität Kundenkreis Produkte P 1 20 sehr gut A P 2 18 sehr gut B P 3 20 sehr gut A P 4 16 mäßig C P 5 18 ordentlich B 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 3. Lineare Programme 4. Folgen und Reihen 5. Finanzmathematik Ähnlichkeit von Produkten Finden von Kundensegmenten Zuordnen zu diesen Segmenten 6. Reelle Funktionen 7. Differenzieren 1 8. Differenzieren 2 9. Integration 10. DGLs Marktforschung 21