Lernstraße zum Thema geometrische Körper. Vorbemerkungen. Liebe 10 a, nun sämtliche Arbeitsblätter; aufgrund einer Erkrankung

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1 Vorbemerkungen Liebe, nun sämtliche Arbeitsblätter; aufgrund einer Erkrankung meiner Kinder am Wochenende etwas später und aufgrund einer Bemerkung von Arian in der letzten Stunde etwas kürzer. Weiteres folgt. Zur Bewertung: Wer eine 2 anstrebt, sollte auch an den Vertiefungen arbeiten. Ansonsten noch eine schöne freie Woche Christoph Holtiegel

2 I. Prismen Ein Prisma ist ein Körper im 3-dimensionalen Raum, der ein Vieleck als Grundfläche besitzt und dessen Deckfläche zur Grundfläche kongruent ist und so im Raum liegt, dass die übrigen Seitenflächen des Prismas, die sogenannten Mantelflächen, Rechtecke sind. Das regelmäßigste Prisma, das man sich vorstellen kann ist also der Würfel. Aber es gibt auch Prismen mit dreieckiger, fünfeckiger oder 42-eckiger Grundfläche. Im folgenden bezeichnet G den Flächeninhalt der Grundfläche und M den Flächeninhalt der Mantelfläche. Der Flächeninhalt O der Gesamtoberfläche des Prismas ist damit O=2G+M. Der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche ist die Höhe h des Prismas. Für den Rauminhalt gilt damit V =G h. Aufgabe 1: Gegeben ist ein Prisma, dessen Grundfläche ein Dreieck mit den Seitenlängen a=3 cm b=4 cm, und c =5cm ist. Die Höhe des Prismas beträgt h=7,5cm. Bestimme Oberflächeninhalt und Volumen des Prismas! Zeichne ein Schrägbild und das Netz des Prismas! Aufgabe 2: Gegeben ist ein Prisma, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Fünfeck mit Seitenlänge a=5 cm und der Höhe h=5 cm. Bestimme Oberflächeninhalt und Volumen des Prismas! Aufgabe 3: Leite allgemeine Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Prismas her, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Dreieck mit Seitenlänge a und dessen Höhe h ist! Vertiefung: Informiere dich über schiefe Prismen und den Satz von Cavalieri! Stelle das, was du herausgefunden hast, in eigenen Worten dar!

3 II. Zylinder Verschiebt man einen Kreis senkrecht zu der Ebene, in der er liegt, so überstreicht er einen Zylinder der Höhe h. Wie beim Prisma lässt sich das Volumen des Zylinders durch V =G h bestimmen, die Oberfläche O durch O=2 G +M. In Abhängigkeit vom Radius r der Grundfläche und der Höhe h des Zylinders gilt dann: V = r² h. Aufgabe 1: Begründe die Volumenformel für den Zylinder und leite eine entsprechende Formel zur Oberflächenberechnung her! Aufgabe 2: Gegeben ist ein Zylinder mit den Maßen r =2cm und h=4 cm. Bestimme Volumen und Oberfläche! Zeichne eine räumliche Ansicht des Zylinders und das Netz desselben! Aufgabe 3: Ein Zylinder hat das Volumen V =31,4 cm³ und die Oberfläche O=69,1 cm². Bestimme Höhe und Radius des Zylinders! Aufgabe 4: Wasserleitungen bestehen häufig aus Kupfer (Dichte =8,92g/cm³ ). Berechne die Masse eines 4 m langen Kupferrohres mit einem Außendurchmesser von 21mm und einer Wandstärke von 2mm! Wie schnell fließt das Wasser durch solch ein Rohr, wenn man damit einen 10 l Eimer in 22 Sekunden füllt? Vertiefung: Ein Zylinder soll ein Volumen von V =100 cm³ und eine minimale Oberfläche haben. Untersuche, wie r und h zu wählen sind!

4 III. Pyramiden Verbindet man die Punkte eines ebenen Vielecks mit einem Punkt S, der den Abstand h von der Ebene, in der das Vieleck liegt, hat, so entsteht eine Pyramide mit der Höhe h. Die Seitenflächen der Pyramide sind Dreiecke. Die Anzahl der Seiten des Vielecks stimmt mit der Anzahl der Seitenflächen der Pyramide überein. Aufgabe 1: Gegeben ist eine regelmäßige Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit der Kantenlänge a=10 cm und der Höhe h=5 cm. Die Pyramide soll nun durch eine Stufenpyramide - wie in der Abbildung dargestellt - einmal von außen (mit fünf Stufen) und einmal von innen (mit vier Stufen) angenähert werden. Fertige eine 3-dimensionale Zeichnung einer der beiden Stufenpyramiden an! Berechne jeweils die Volumina der beiden Stufenpyramiden! Vergleiche den Mittelwert deiner Ergebnisse mit dem Volumen des Quaders, der mit der Pyramide in Grundfläche und Höhe übereinstimmt! Stelle eine Vermutung zur Volumenberechnung einer Pyramide auf! Aufgabe 2: Berechne die Oberfläche der Pyramide aus Aufgabe 1! Aufgabe 3: Eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, für die alle Kanten in der Länge übereinstimmen, ist ein regelmäßiges Tetraeder. Leite eine Formel für das Volumen [die Oberfläche] eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge a her! Vertiefung: Man kann Kugeln - wie in der Abbildung zu dreiseitigen Pyramiden stapeln. Für eine Pyramide mit zwei Stufen werden dann vier Bälle benötigt. Untersuche, wie die Anzahl der Bälle von der Anzahl der Stufen abhängt!

5 IV. Kegel Ein endlicher Kegel entsteht, wenn man alle Punkte einer Kreislinie gradlinig mit einem Punkt (der Spitze des Kegels) außerhalb des Kreises verbindet. Eine solche Verbindungslinie ist eine Mantellinie des Kegels. Liegt die Spitze des Kegels bei orthogonaler Projektion genau über dem Kreismittelpunkt, spricht man von einem symmetrischen Kegel, ansonsten von einem schiefen Kegel. Der Kegelmantel lässt sich zu einem Kreisaausschnitt abrollen. 1 Es gilt: V = r²h für den Rauminhalt V des Kegels und O= r² + rs für den 3 Oberflächeninhalt O des Kegels. Aufgabe 1: Berechne das Volumen und die Oberfläche eines Kegels mit dem Radius r =5cm der Grundfläche und der Höhe h=10 cm! Aufgabe 2: Aus einem Kreisausschnitt, der ein Drittel eines Kreises mit dem Radius überdeckt, wird ein Trichter geformt. Berechne dessen Volumen! Vertiefung: Untersuche für einen symmetrischen Kegel den Zusammenhang zwischen dem Öffnungswinkel α eines Kreisausschnitts und dem Winkel φ zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse!

6 V. Kugeln 4 Für das Volumen V einer Kugel mit Radius r gilt: V = πr³. 3 Für die Oberfläche O der Kugel gilt: O=4 π r². Es gibt die unterschiedlichsten Herleitungen zur diese Beziehungen. Möchte man sie ganz exakt herleiten, so benötigt man stets ein kleines bisschen höherer Mathematik. Hier folgt eine Herleitung für das Kugelvolumen, die ich persönlch sehr schön finde. Sie beruht auf dem Prinzip von Cavalieri. Diese lautet: Wenn bei zwei Körpern die zur Grundfläche parallelen Querschnitte in gleichen Höhen denselben Flächeninhalt haben, dann haben die Körper denselben Rauminhalt. Nun wird jede Querschnittsfläche einer Halbkugel mit der eines bereits bekannten Körpers verglichen, nämlich mit der eines Zylinders, aus dem ein Kegel gleicher Grundfläche und gleicher Höhe herausgeschnitten ist. Es muss begründet werden, weshalb der äußere Kreisring denselben Flächeninhalt hat wie die innere Kreisscheibe. Das bleibt aber als Aufgabe 1. Aufgabe 2: Die Kugel kann man sich aus unendlich vielen Pyramiden der Höhe r mit sehr kleiner Grundfläche zusammengesetzt vorstellen. Die Grundflächen dieser Pyramiden ergeben dann die Kugeloberfläche. Leite aus dieser Überlegung die Formel für den Flächeninhalt der

7 Kugel her! Die Volumenformeln für die Kugel und die Pyramide darfst du voraussetzen. Aufgabe 3: Berechne die Masse einer Hohlkugel aus Eisen, deren äußerer Radius 10 cm beträgt und die eine Wandstärke von 1 cm besitzt! Vertiefung: Auf dem Grabstein des Archimedes von Syrakus befindet sich das abgedruckte Bild. Lasse in Gedanken alle drei Figuren um die gemeinsame Höhenlinie rotieren und du erhälst einen Zylinder, einen Kegel und eine Kugel. In welchen Verhältnissen stehen ihre Volumina zueinander?