Allgemeines zu Tests. Statistische Hypothesentests

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1 Statistische Hypothesentests Allgemeines zu Tests Allgemeines Tests in normalverteilten Grundgesamtheiten Asymptotische Tests Statistischer Test: Verfahren Entscheidungsregel), mit dem auf Basis einer einfachen Stichprobe X 1, X 2,..., X n anhand einer geeigneten Stichprobenfunktion = Teststatistik oder Prüfgröße) T n X 1,..., X n ) entschieden wird, ob eine Behauptung = statistische Hypothese) bezüglich der Verteilung der Grundgesamtheit abgelehnt wird oder nicht. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Einfache statistische) Verteilungs-) Hypothese: H : X folgt der Verteilung F X x; θ) mit θ = θ 0. Zusammengesetzte Hypothese: H : X folgt der Verteilung F X x; θ) mit θ θ 0. Beispiel: Sei X 1,..., X n einfache Zufallsstichprobe aus normalverteilter Grundgesamtheit mit unbekanntem Mittelwert und bekannter Varianz 2 = 36. Einfache Hypothese: H : µ = oder oder H : X folgt der Verteilung F X x; θ) mit θ θ 0. H : X folgt der Verteilung F X x; θ) mit θ θ 0. Mögliche Prüfgröße: Stichprobenmittel X n. Mögliche Entscheidungsregel: Lehne Hypothese ab, wenn Stichprobenmittel X n kleiner ist als 950 bzw. größer ist als Beispiel: Sei X 1,..., X n einfache Zufallsstichprobe aus normalverteilter Grundgesamtheit mit unbekanntem Mittelwert und bekannter Varianz 2 = 36. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 851

2 Zusammengesetzte Hypothese: H : µ 990. Mögliche Entscheidungsregel: Lehne Hypothese ab, wenn Stichprobenmittel kleiner ist als 950. Fragen: Warum Stichprobenmittel als Prüfgröße? Wie werden kritischen Grenzen festgelegt, ab denen die Hypothese abzulehnen ist? Wie gut ist eine solche Entscheidung? Für welche andere Hypothese entscheidet man sich, wenn Hypothese abgelehnt wird? Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Null- H 0 ) und Alternativhypothese H 1 ) Z.B. für einfache Hypothesen H 0 : F X x) = F X x; θ 0 ) gegen H 1 : F X x) = F X x; θ 1 ). Ziel: Entscheidung aufgrund einer Stichprobe zwischen H 0 und H 1. Beispiel: X Abfüllgewicht von Zuckertüten Beachte: Bleibt Alternativhypothese unspezifiziert, so umfasst sie alle Parameterwerte, die nicht in der Nullhypothese enthalten sind. Beispiel: führt zu H 0 : µ X 990g H 1 : µ X < 990g Bezeichnung: Θ 0 Θ 1 ) = Parameterbereich, der zur Null- Alternativ-) Hypothese gehört. H 0 : µ X = E[X] = 1000g gegen H 1 : µ X = E[X] = 1010g Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 855

3 Mögliche Fehler bei Alternativentscheidungen unter Unsicherheit Mögliche Entscheidungen: Zustand in der Testentscheidung Grundgesamtheit H 0 ablehnen H 0 nicht ablehnen H 0 ist richtig Fehler 1. Art kein Fehler H 0 ist falsch kein Fehler Fehler 2. Art Wahrscheinlichkeiten der möglichen Entscheidungen: Zustand in der Testentscheidung Grundgesamtheit H 0 ablehnen H 0 nicht ablehnen H 0 ist richtig α 1 α H 0 ist falsch 1 β β Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ α = Irrtumswahrscheinlichkeit = Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art = Wahrscheinlichkeit, Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie richtig ist. Bez.: Fehler 1. Art = α-fehler β = Wahrscheinscheinlichkeit des Fehlers 2. Art = Wahrscheinlichkeit, Nullhypothese nicht abzulehnen, obwohl sie falsch ist. Bez.: Fehler 2. Art = β-fehler Beispiel: Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art α Einfache Nullhypothese H 0 : µ = Entscheidungsregel:,,Lehne H 0 ab, wenn das Stichprobenmittel X n größer als k = 1005g ist. Seien n = 18 und = 12. α = P X n > 1005 H 0 ) = P X n > 1005 µ = 1000) ) n1005 µ) = 1 Φ ) ) = 1 Φ = 1 Φ1.768) = Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 859

4 Festlegung des kritischen Bereiches Ablehnungsbereich K kritischer Bereich) = Menge aller Stichprobenbefunde, für die die Nullhypothese abzulehnen ist. Strategie: Festlegung des kritischen Bereiches durch Vorgabe der Irrtumswahrscheinlichkeit α: D.h. K wird durch festgelegt. P X 1,..., X n ) K H 0 ) = α. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Beispiel: Mittelwerttest für eine normalverteilte Grundgesamtheit, d.h. X N µ, 2 ) mit bekanntem 2 Entscheidung zwischen zwei einfachen Hypothesen: H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ = µ 1 mit µ 1 > µ 0. Wahrscheinlichkeit α für Fehler 1. Art: α = P H 0 ablehnen H 0 gilt) = P X 1,..., X n ) K µ = µ 0 ) = P X n > k µ = µ 0 ) = 1 F N k; µ 0, 2 /n) = 1 Φ ) n k µ 0. Plausible Entscheidungsregel: Ablehnung der Nullhypothese, wenn Stichprobenmittel größer als eine kritische Schranke k ist. Verteilung der Prüfgröße unter H 0 : X n N µ 0, 2 /n). D.h. und n k µ 0 Φ ) n k µ 0 = 1 α = λ 1 α = k = µ 0 + λ 1 α / n. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 863

5 Kritischer Bereich: Lehne H 0 mit Irrtumswahrscheinlichkeit α ab, wenn Stichprobenbefund x 1,..., x n ) in kritischen Bereich fällt. K = { x 1,..., x n ) n X n µ 0 > λ 1 α } Zahlenbeispiel: µ 0 = 1000, µ 1 = 1010, = 12, n = 18, α = 0.05 k = λ 0.95 = D.h. K = {x 1,..., x 18 ) x 18 > }. Kritischer Wert: k = µ 0 + λ 1 α n. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Kann man H 0 annehmen? Wenn x 1,..., x n ) / K wird Nullhypothese nicht abgelehnt. Problem: Annahme von H 0 ist nicht möglich, da die Wahrscheinlichkeit, H 0 nicht abzulehnen, obwohl H 0 falsch ist =β-fehler) nicht kontrolliert werden kann. Sprachgebrauch statt Annahme von H 0 : H 0 kann nicht abgelehnt werden. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 867

6 Lösung für einfache Hypothesen: Berechnung der Wahrscheinlichkeit des β-fehlers β = P X 1,..., X n ) / K H 1 ) Sprachgebrauch: Wenn β relativ klein z.b. kleiner als α), dann kann H 0 angenommen werden. Beispiel: Mittelwerttest für eine normalverteilte Grundgesamtheit, d.h. X N µ, 2 ) mit bekanntem 2 Entscheidung zwischen zwei einfachen Hypothesen: H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ = µ 1 mit µ 1 > µ 0. Verteilung der Prüfgröße unter H 1 : X n N µ 1, 2 /n). Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art β: wegen β = P H 0 nicht ablehnen H 1 ) = P X 1,..., X n ) K µ = µ 1 ) = P X n k µ = µ 1 ) ) n = F N k; µ 1, 2 k µ 1 /n) = Φ = Φ λ 1 α + n µ ) 0 µ 1 k = µ 0 + λ 1 α n. Zahlenbeispiel: µ 0 = 1000, µ 1 = 1010, = 12, n = 18, α = k = λ 0.95 = D.h. β = Φ λ ) = Φ 1.891) = Da β < α = 0.05, kann H 0 nicht nur nicht abgelehnt, sondern sogar mit einer Wahrscheinlichkeit des β-fehlers von weniger als 5% angenommen werden, wenn der Stichprobenbefund einen empirischen Wert des Prüfmaßes liefert, der nicht in kritischen Bereich fällt. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 871

7 Warum kann man α nicht beliebig klein wählen? Problem: Je kleiner α, desto größer β. Via Formel im Beispiel des Mittelwerttestes für Normalverteilung für µ 0 < µ 1 : Sinkt α, steigt λ 1 α, steigt β = Φ λ 1 α + n µ ) 0 µ 1 Als Grafik: β =grüne Fläche) in Abhängigkeit von α blaue Fläche) Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Welchen Test nehmen? Existieren zwei Tests Entscheidungsregeln, kritische Bereiche) für dieselbe Testaufgabe einfache Hypothesen) und dieselbe Irrtumswahrscheinlichkeit = Entscheidung für Test mit kleinerer Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art. Beispiel: Mittelwerttest für Normalverteilung mit µ 0 < µ 1 Alternativer kritischer Bereich { K = x 1,..., x n ) n x } n µ 0 < λ α liefert ebenfalls Test mit der Wahrscheinlichkeit α. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 875

8 Aber: n β X n µ 1 = P > λ α + n µ 0 µ 1 = Φ λ 1 α n µ ) 0 µ 1 > Φ λ 1 α + n µ ) 0 µ 1 = β ) Zahlenbeispiel: µ 0 = 1000, µ 1 = 1010, = 12, n = 18, α = 0.05 β = Φ λ 0.95 ) = Φ6.736) = 1 > = β. 12 Grafik: Vergleich der Wahrscheinlichkeiten des β-fehlers für K und K wegen µ 0 < µ 1. D.h. Test mit K hat bei derselben Irrtumswahrscheinlichkeit α eine größere Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art = Entscheidung für Test mit kritischem Bereich K. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Wie misst man die Güte eines Testes für einfache Hypothesen? Wähle denjenigen Test = kritischen Bereich), der die Fehlerwahrscheinlichkeit β bei gegebener Wahrscheinlichkeit α für einen Fehler erster Art zumeist 1%, 5% oder 10%) minimiert. Test mit minimalem β bei gegebenem α wird bester, mächtigster oder trennscharfer Test genannt. Güte = Power = Macht) eines Testes = 1 β. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 879

9 Beispiel des Mittelwerttestes für normalverteilte Grundgesamtheiten für µ 0 < µ 1 : β = Φ λ 1 α + n µ ) 0 µ 1 Für n = 3, 12, 18, 100: Wirkung des Stichprobenumfanges: Wenn n steigt, wird λ 1 α + n µ 0 µ 1 kleiner und damit β kleiner bzw. 1 β größer. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Wirkung der Varianz der Grundgesamtheit: Je größer, desto kleiner λ 1 α + n µ 0 µ 1 und desto größer β. Für = 12, 20: Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 883

10 Wirkung von Differenz zwischen Null- und Alternativhypothese: Je negativer µ 0 µ 1, desto kleiner λ 1 α + n µ 0 µ 1 und desto kleiner β. Für µ 1 = 1007, 1010 und µ 0 = Zusammengesetzte Nullhypothese und Testniveau Sei Θ 0 der durch die Nullhypothese festgelegte Parameterbereich. Problem: Wahrscheinlichkeiten des Fehlers 1. Art P X 1,..., X n ) K θ) für alle θ Θ 0 Größe = Niveau) eines Testes: Maximale Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art α = sup P X 1,..., X n ) K θ) Θ 0 Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Beispiel des Mittelwertestes für normalverteilte Grundgesamtheiten für µ 0 < µ 1 und zusammengesetzte Nullhypothese H 0 : µ µ 0. Konsequenz: Bestimmung des kritischen Wertes k wie im Fall einer einfachen Nullhypothese als k = µ 0 + λ 1 α / n. Da ) n k µ P X 1,..., X n ) K µ) = P X n > k µ) = 1 Φ. monoton zunehmend in µ ist, gilt 1 Φ α = sup µ µ 0 n k µ 0 )). D.h. die Größe =Niveau) des Testes wird an der Grenze µ 0 des Parameterbereiches der Nullhypothese berechnet. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 887

11 Zusammengesetzte Alternativhypothese und Gütefunktion Sei Θ 1 Θ der durch die Nullhypothese festgelegte Parameterbereich. Problem: Wahrscheinlichkeiten des Fehlers 2. Art P X 1,..., X n ) / K θ) für alle θ Θ 1 Lösung: Gütefunktion Gθ) = P X 1,..., X n ) K θ) gibt für alle Parameterwerte die Wahrscheinlichkeit an, die Nullhypothese abzulehnen. Für θ Θ 0 misst die Gütefunktion die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, wenn sie richtig ist. Für θ Θ 1 misst die Gütefunktion die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, wenn sie falsch ist. D.h. je niedriger größer) die Werte der Gütefunktion für Θ 0 Θ 1 ), desto besser ist ein Test. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Beispiel: Mittelwerttest für eine normalverteilte Grundgesamtheit, d.h. X N µ, 2 ) mit bekanntem 2 Entscheidung zwischen zwei zusammengesetzten Hypothesen: H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ > µ 0 Verteilung der Prüfgröße unter H 1 : X n N µ 1, 2 /n). Für µ R ist Gµ) = P X 1,..., X n ) K µ) = P X n > k µ) ) n = 1 F N k; µ, 2 k µ /n) = 1 Φ / n = 1 Φ λ 1 α + n µ ) 0 µ wegen k = µ 0 + λ 1 α / n. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 891

12 Zahlenbeispiel: µ 0 = 1000, = 12, n = 18 Gµ) = 1 Φ λ µ ). 12 Links-, rechtsseitige und zweiseitige Tests Es lassen sich für eine Prüfgröße T n folgende Entscheidungsregeln unterscheiden: Rechtsseitige Entscheidungsregel: Lehne H 0 ab, wenn T n > k ist. Linksseitige Entscheidungsregel: Lehne H 0 ab, wenn T n < k ist. Zweiseitige Entscheidungsregel: Lehne H 0 ab, wenn T n < k 1 oder T n > k 2 ist. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Sinnvolle Festlegung des kritischen Bereiches im Beispiel des Mittelwerttestes für normalverteilte Grundgesamtheiten: µ 0 < µ 1 = rechtsseitiger Test s.o.) µ 0 > µ 1 = linksseitiger Test µ 0 µ 1 = zweiseitiger Test Beispiel für linksseitigen Test: Lebensdauer von Glühbirnen Lebensdauer einer Glühbirne in Tagen: X N µ, 2 = 900). Einfache Zufallsstichprobe des Umfangs n = 16. Stichprobenergebnis: x 16 = 780Tage. Entscheidung zwischen zwei zusammengesetzten Hypothesen H 0 : µ µ 0 = 800 gegen H 1 : µ < µ 0. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 895

13 Verteilung der Prüfgröße an der Grenze des Parameterbereiches µ 0 unter H 0 : X 16 N 800, 900 ) 16 bzw. 16X16 800) N 0, 1). 900 Vorgegebenes Niveau des Testes: α = Festlegung des kritischen Bereiches der kritischen Schranke): 0.05 = α = P X 16 < k µ 0 = 800 ) ) 16X16 800) 16k 800) = P < µ 0 = = Φλ α ), so dass der kritische Wert k = λ = = ist. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Entscheidungsregel Linksseitiger Test): Lehne Nullhypothese mit 5%-Irrtumswahrscheinlichkeit ab, wenn der Stichprobenbefund x 1,..., x 16 ) in den kritischen Bereich K fällt mit Gütefunktion: Gµ) = P X 16 < k µ) = Φ ) µ 900 K = {x 1,..., x n ) x 16 < }. Testentscheidung: Einsetzen des Stichprobenbefundes x 16 = 780 in die Prüfgröße ergibt Stichprobenwert = empirischer Wert = realisierter Wert) der Prüfgröße. Wert ist kleiner als die kritische Schranke k = D.h. Stichprobenergebnis fällt in kritischen Bereich und Nullhypothese ist mit 5%-Irrtumswahrscheinlichkeit abzulehnen. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 899

14 Strategie 1: Testentscheidung mittels p-wert Vorgabe der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05, Berechnung der zugehörigen kritische Schranke k Prüfung, ob empirischer Wert der Prüfgröße e in den kritischen Bereich fällt. Strategie 2 für linksseitigen Test: Berechnung des empirischen Wertes der Prüfgröße e, Bestimmung der Wahrscheinlichkeit = p-wert), dass dieser Wert unterschritten wird bei Gültigkeit der Nullhypothese, Vergleich p-wert mit gewünschter Irrtumswahrscheinlichkeit z.b. 0.05) und Ablehnung der Nullhypothese, wenn p-wert kleiner oder gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit ist. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Strategie 2 für rechtsseitigen Test: Berechnung des empirischen Wertes der Prüfgröße e, Bestimmung der Wahrscheinlichkeit = p-wert), dass dieser Wert überschritten wird bei Gültigkeit der Nullhypothese, Vergleich p-wert mit gewünschter Irrtumswahrscheinlichkeit z.b. 0.05) und Ablehnung der Nullhypothese, wenn p-wert kleiner oder gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit ist. Vorteil des p-wertes: Nur eine Wahrscheinlichkeitsberechnung und Standardvergleich mit z.b. 0.05) nötig. Nachteil: Keine Vorstellung über die Größe, die Prüfgröße besitzen muss, damit H 0 abgelehnt werden kann =kritischer Wert) und keine Güteberechnung mittels p-wert möglich. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 903

15 p-wert am Beispiel des rechtsseitigen Mittelwertestes bei Normalverteilung und bekannter Varianz Zuckertüten) Allgemein für Stichprobenergebnis e: p = P X n > e H 0 ) = 1 Φ ) n e µ 0. Wenn Stichprobe e = x 18 = 1002 liefert, ist ) p = 1 Φ = D.h. p > α = 0.05 = H 0 : µ 1000 kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% nicht abgelehnt werden. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ p-wert am Beispiel des linksseitigen Mittelwertestes bei Normalverteilung und bekannter Varianz Glühbirnen) Allgemein für Stichprobenergebnis e: p = P X n < e H 0 ) = Φ n e µ 0 Stichprobe hat e = x 18 = 780 geliefert, womit ) p = Φ = ). D.h. p < α = 0.05 = H 0 : µ 800 kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% abgelehnt werden. Auswahl der zusammengesetzten Hypothesen Einfache Alternativhypothese: β lässt sich u.u. berechnen. Wenn β hinreichend klein ist und H 1 abgelehnt wird, kann H 0 als,,statistisch abgesichert signifikant) gelten. Problem für zusammengesetzte Alternativhypothese: Welches β, wenn β vom unbekannten Wert des Parameters θ abhängt? D.h. H 0 lässt sich bei einer zusammengesetzten Alternativhypothese) nicht mit einem quantifizierbaren Fehlerniveau statistisch absichern. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 907

16 Konsequenz für die Hypothesenformulierung: Soll Gültigkeit einer Hypothese statistisch abgesichert werden, so muß diese als Alternativhypothese H 1 formulieren werden. Bei einer Ablehnung von H 0 gilt H 1 zum Niveau α signifikant bestätigt. Eigenschaften von Hypothesentests Null- und Alternativhypothese lassen sich wie folgt verallgemeinern: mit H 0 : θ Θ 0 gegen H 1 : θ Θ 1 Θ 0 Θ, Θ 1 Θ, Θ 0 Θ 1 =. Eigenschaften eines Tests mit kritischem Bereich K = Eigenschaften der Gütefunktion Gθ) = P X 1,..., X n ) K θ). Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Unter H 0 d.h. für θ Θ 0 ) Gθ) = P X 1,..., X n ) K θ) gibt Gütefunktion θ Θ 0 Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art an. Unter H 1 d.h. für θ Θ 1 ) beschreibt Gθ) die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, wenn sie falsch ist = richtige Entscheidung). Problem: Ideale Tests für endliche Stichprobenumfänge? Lösung: n. Konsistenter Test: lim P X 1,..., X n ) K θ Θ 1 ) = 1. n D.h.: Ein konsistenter Test wird mit zunehmendem Stichprobenumfang trennschärfer. Idealer Test besitzt Gütefunktion G : { 0 falls θ G Θ0 θ) = 1 falls θ Θ 1 Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 911

17 Abschließendes Beispiel: Mittelwerttest für normalverteilte Grundgesamtheit mit bekanntem zweiseitig) Sei X die Abweichung des Durchmessers einer Lagerbuchse vom Plansoll in mm. Annahme: X N0, ) Einfache Stichprobe des Umfangs n = 100: e = x 100 = Zu testen: H 0 : µ = µ 0 = 0 gegen H 1 : µ µ 0 = 0. Kritischer Bereich: Bestimmung von k: K = {x 1,..., x n ) x n > k} α = P X n > k H 0 ) = P Xn > k µ 0 = 0 ) = 1 P X n k µ 0 = 0) + P X n k µ 0 = 0) ) ) n k n k = 1 Φ + Φ )) n k = 2 1 Φ. Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Damit ist so dass D.h. für α = 0.05 ist Φ ) n k = 1 α 2, k = λ 1 α/2 n. k = λ = Testentscheidung: e = > k = = Die mittlere Abweichung des Durchmessers ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% signifikant von 0 verschieden. p-wert: p = P X n > e H 0 ) = P Xn > e µ 0 = 0) = 1 P X n e µ 0 = 0) + P X n e µ 0 = 0) n e )) = 2 1 Φ = D.h. p = < α = 0.05 = Die mittlere Abweichung des Durchmessers ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% signifikant von 0 verschieden. Gütefunktion: ) ) n k µ n k + µ Gµ) = P X n > k µ) = 2 Φ Φ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/ Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 915

18 Gütefunktion für n = 10, 50, 100, 1000,,Konsistenz ): Ingo Klein: Statistik Wintersemester 2012/13 916